材料力学--弯曲正应力及其强度条件

(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
例11：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作
用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。
q
解：作弯矩图
支座位置直接影响支座
a
l
a
截面和跨中截面上的弯矩 值。当中性轴为截面的对
ql2 qla
82
称轴，最大拉、压应力相 等时，只有支座处截面与 跨中截面之弯矩的绝对值
⊕
qa2
＜
30MPa
梁满足强度要求
还需校核最大工作压应力吗？
例24:图示悬臂梁在自由端受集中力作用，P=20KN。
试在下列三种截面形状下，比较所耗材料： 140MPa
(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。
P=20KN 解:作弯矩图 M max P l 20KN m
l 1m
由强度条件
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
解：C点的应力 C E 200 103 6 104
120MPa
C截面的弯矩 MC CWz 640N m
由 MC 0.5RA 0.5 0.4P 0.2P 640N m
得 P 3.2 kN
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
梁的强度。 2、已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的
截面尺寸。 3、已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。
例12：两矩形截面梁，尺寸和材料的许
用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按 弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之 比 P1／P2＝？
l
解：
max 1
M max 1 Wz 1
P1l bh2
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。
横截面上的最大正应力：
max
M y1 IZ
max
M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
max
max
max
max
M ymax IZ
M WZ
Wz
Iz y max
Wz 抗弯截面模量
6
max 2
M max 2 Wz 2
P2l hb2
6
由 max 1 max 2 [ ] 得: P1 h
P2 b
例13：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度 减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁 的承载能力将是原来的多少倍？
解： 由公式
max
M max Wz
M max bh 2
6
可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
§5-3 弯曲正应力及其强度条件 一.弯曲正应力
工程中以弯曲变形为主的杆件称为
纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平 面
对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面
内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。
纯弯曲
纯弯曲：
FFSQ==00,，M=Mco=ncstonst
横力弯曲：
梁中，误差不超过1%。
横力弯曲时，弯矩不再是常量。
M (x) y Iz
复
圆环：
习
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64
其中 d
D
y
z
d D
bh3 I Z 12
d4
I Z 64
WZ
bh2 6
WZ
d 3
32
IZ
(D4
64
d4)
D4
64
max
M max Wz
Wz
M max
20 103 140106
m3
143cm3
Pl
(3)工字形
(1)矩形
Wz
bh2 6
b=6cm A1 72cm2 h=12cm
(2)圆形
Wz
d3
32
d≈11.3cm A2 100cm2
查型钢表，取16号工字钢 Wz 141cm3 A3 26.1cm2
2b A1 b
a A2
a
A3 d
解：由题意可知 Wz1 Wz2 Wz3
max
M max Wz
即 b(2b)2 a 3 d 3
6
6 32
b
0.6300a
d 1.193a
A1 :
A2
:
A3
2b2:a 2: d
4
2
0.794:1:1.12
2b A1 b
a A2
a
A3 d
例18：图示铸铁梁，许用拉应力
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
yE
A
y dA
M
令： Iz y2dA
1 M
A
EIz
截面对z轴的惯性矩
中性轴过截面形心
中性层的曲率公式： 1 M
EI z
正应力计算公式： M y
Iz
1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
y1
2
220 60 220
70mm
=24mm
Iz
24 2203 12
24 220 (210 110)2
220 603 12
220 60 (70 30)2
99.3106 mm4 99.3106 m4
M max
Pl 4
80 2 4
40KN
m
max
M max y1 Iz
28.3MPa
工字形截面最省料，圆形截面最费料。
你知道为什么吗？
合理选择截面形状是梁设计中的 一个重要问题
E
0
0 Wz E
l/2 P x
Pl2
dx
0 2Wz E
16Wz E
P
16Wz E AC l2
16 42
0.2 0.32 6
1010
5 103
150 kN
P
A
x
dx C
2m
2m
300 B
200
例22：我国营造法中，对矩形截面梁给
出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应 力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁， 上述尺寸比例接近最佳比值。
FQ≠0 , M≠const
FS ≠0，M ≠0
P
AC
a
P
l
≈
FQS
P
P
Da B P
M
Pa P
dA dA
dA dA M dA FS dA FS dA M
M FS
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成
弯矩M，只有切向内力元素dFS =τdA才能合成剪力FS
纯弯曲时梁横截面上的正应力
3、静力学关系
设中性轴为z
FN dA 0
A
M y z dA 0
A
M
y
z dA
Mz y dA M
A
FN dA 0 A
E y dA 0
A
E ydA 0
A
ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
A
横截面对Z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
中性层与横截面的交线称为中性轴
中性层
中性轴
中性层
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
2、物理关系
E
E
y
正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的 正应力为零 (中性层y=0)
上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：
1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定； 2）式中未知.（若已知M，与M有何关系？）
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
（使Wz最大）
dh b
解： b2 h2 d 2
bh2 b(d 2 b2 )
Wz 6
6
Wz d 2 b2 0 b 6 2
由此得 b d
3 h d2 b2 2 d
3
h 2 ≈3:2
d
dh b
例23:跨长l=2m的铸铁梁受力如图示，已知材料
许用拉、压应力分别为 30MPa 和 90MPa
P M max AB 4 (l a)
Pa 副梁CD的最大弯矩 M max CD 4
由 M max AB M max CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
例15：图示梁的截面为T形，材料的许用拉
应力和许用压应力分别为［σ+］和［ σ-］， 则 y1 和 y2 的最佳比值为多少? (Ｃ为截面形心)
28.8 MPa
满足强度要求
4
C max
B截面：
B
max
2.5 52 Iz 17.0 MPa
4 52 Iz 27.3MPa
本题
C max
和
B
max可不必计算
为什么？
B max
4 88 Iz
46.1MPa
例19：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一
应变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的 弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
[σ+ ]=30MPa，许用压应力[σ- ]=60MPa,Ｉ z=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5kN
10.5kN
M( kN m) 2.5
C截面：
C
max
2.5 88
Iz
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
弧 线的aa，bb垂直 (3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。
梁在纯弯曲时的平面假设：
qa2
相等，才能使该梁的最大 弯矩的绝对值为最小，从 而使其最大正应力为最小。
2
2
ql2 qla qa2
取有效值 a 0.207 l
82 2
二.梁的正应力强度条件
强度条件：
等直梁强度条件
max
max
M max Wz
对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用 弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的
一个参数，并校核此梁的强度。 P=80KN
A 1m 2m
B y2
y1
220
z
60
220
解：设z轴过形心 最为合理时
y1 70mm
y2 210mm
y1 y2
max max
P=80KN
A
B y2
220
1m 2m
y1
z
60
220
220 (60 220) 60 22030
max
max
请注意：梁的最大工作拉应
力和最大工作压应力有时并不 发生在同一截面上。
一般情况下，许用弯曲正应力比许用拉(压)应力 略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力 外，其余各处应力较小。而轴向拉(压)时，截面上 的应力是均匀分布的。
利用强度条件可以进行三方面的强度计算： 1、已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核
公式适用条件：
1）符合平面弯曲条件(平面假设，横截面具有一对称轴）
2）p(材料服从胡克定律）
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，
使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于5时，剪应
力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此
由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的
200
2m
4m
Q(kN) 25 45kN
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15kN 解：由弯矩图可见
Mmax 20 kN m
20 M (kN m)
15 11.25
t
M max Wz
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
该梁满足强度条件，安全 20
例17：图示三种截面梁，材质、截面内
Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并 指出哪种截面最经济。
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并 仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴 旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间 互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉 或受压的状态。
推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短， 下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维 既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵 向纤维层称为中性层。
例14：主梁AB，跨度为L，采用加副梁
CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材 料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长 度a为多少？
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
P
解：
2
主梁AB A
P 2
B
La M2
M max AB
P (l a) 4
La 2
副梁CD
P
C
D
a
Pa
M
M max CD 4
主梁AB的最大弯矩