群时延

F = f – fo
(20)
射频相移有关系：
φ = 2πfτ
(21)
以 DC 延长线与频率轴交点为零点的特定频率变换，有关系
φ = 2πfτq
(22)
故可大致估计为
τq
=
fτ F
(23)
4 关于群时延的形象思维
(1)马群图
牧人赶着一群马在草原上游牧。某一时刻观察，马态各异：有的站，有的卧，有的吃草， 有的嬉戏；另一时刻又是另一种情形：有的走，有的跑，有的朝左，有的朝右。然而， 马群 之所以成为马群，必要条件是大采样时间下，各马运动的平均速度(方向和速率)必须相等。
实例 带通滤波器、带通放大器以及其他有选择功能的器件。
特点 实用段是φ(f)曲线的直线段 BC。线上每一点的时延（纵横坐标之比）都互不相等， 但该直线段有共同的斜率，此共同的斜率是线段内各频率的共有性质，此性质用群时延来表
征。直线段的斜率是唯一的，群时延是单一值。
通常的相位对频率的关系（简称相频关系）如图 2 中的 OP 线或 MN 线，相频关系（时 延τ）不随频率变化，这是正常电路，或称无色散电路（例如一段自由空间，或以某频率范 围的一段电缆）。图 2 中的 ABCD 段，相频关系（时延τ）随频率变化，这是一种相位色散 现象（某效应随频率而变化）。其中的直线部分 BC 段，称线性相位色散。线性相位色散用群 时延定量描述。
2.数学问题：全微分不全，变量当常量。
信号群体由频率为f1、f2、……fN 的简谐振荡，即正弦电磁场构成。通过器件后，f1信号 相移为φ1，时延为τ1；f2信号相移为φ2，时延为τ2；……fN信号相移为φN，时延为τN。 十分明显，τi 各不相同，写成函数关系与全微分关系，应为：
φi = −2πfiτ
时延与距离的对应离不开速度；同样，时延与相位的对应离不开频率。
(3）测路类比
群时延奇异性的表征方法，类似于测路面倾斜度与不平度的方法。 方法甲： 设路面宽 9 米，横向每隔 1 米取一中介点，共 10 个中介点 。将 5 米长的直杆 横放路面，杆的中点对准第一个中介点，杆两端头所示路面二点为第一对采样点，测出该二 点的高度差，这是第一个高度差；再将杆的中点对准第二个中介点，杆两端头所示路面二点 为第二对采样点，测出该二点的高度差，这是第二个高度差；依次将杆的中点对准各个中介 点，测出 10 个高度差。高度差的平均值与杆长之比为路面的倾斜度，各高度差对平均值的偏 离程度为路面的不平度。 这样做，使路外多点（-2.5m,-1.5m,-0.5m,9.5m,10.5m,11.5m）成为采样点，参与路面衡量， 不当。怎能用填平路旁水道的办法来修平路面本身！ 细一想，问题还不仅如此；岂只参与，简直是路外状况决定路面基本量，试看算高度差 平均值的求和操作(M——采样，G——路旁沟，L——路面)：
甲类： 图形 φ(f)线为过零点直线，或φ(f)线的延长线过零点。如图 2 中之 OP 与 MN 线。
↑φ
O A·
→f
·B
·M
·C
P
·N
D
图2 实例 自由空间，一定频率范围内的电缆。
特点 时延与传播时延为同一值， 无必要再引入群时延。必要时称说群时延，也只能是
该同一值。
乙类：
图形 φ(f)线为包含有直线段的曲线， 如图 2 中之 ABCD 线。实用段是准直线段 BC。 直线段的延长线不过零点。
设器件引入的相移为φ(f)
φ入 (t) = 2πft + φo
(7)
φ出(t) = 2πft + φ( f )φo
(8)
有
φ( f ) = φ出(t) − φ入 (t)
(9)
空间相位差φ(f)等效于一时延。(8)式可写为：
φ出(t) = 2πf (t − τ ) + φo
(10)
联立(8)式与(10)式，有
间延迟，但这时无相位色散，也就不必称说群时延。当直线段φ(fj)的延长线不过零点时，群
时延τq不是所对应频率fj或其集合E[fj]的时间延迟；而经频率变换，即取差拍之后，若对差频
Fj = fj – fo
(19)
而言的相频特性曲线φ(Fj)为过零点直线时，群时延τq是差频Fj及其集合E[Fj]的时延。
τ = − φ出(t) − φ入 (t) = − φ( f )
2πf
2πf
(11)
以上推导方法是同时观察，即在同一时刻看输出端、输入端的相位。
另一种推导方法是同相观察。认定某一相位， 求此相位在输出端、输入端出现的时间差。
φ入∗ (t ) = 2πft1 = φo
(12)
φ出∗ (t) = 2πft2 + φo + φ(t)
dω
2π df
(1)
从这个基本定义出发， 早期的群时延测量仪器都采用调制、解调、低频测相的方案。称
调制频率为裂频，以裂频充当定义式中的df [2]。近三十年来，由于矢量网络分析仪与精密相 位计的发展，可直接测量出表征相位对频率关系的相频特性曲线φ(f)。只是由于受传统概念 的束缚，数据处理方式、指标性能表达方式并未变化。
1 引言
群时延的概念由美国人[1]于二十世纪三十年代提出。本章指出： 在工程界流行了七十多
年的群时延概念，是个不恰当的概念。分析了现行群时延概念在逻辑、数学、物理以及应用
诸方面的问题， 提出关于群时延的新概念及相应的时延奇异性的表征方法与计算方法。
现行群时延定义为相位对角频率的微商：
τ = − dφ(ω ) = − 1 dφ( f )
(4)
φ( f ,τ ) = −2πfτ
(5)
dφ( f
,τ ) =
∂φ( f ,τ ) df
∂f
+
∂φ
(f
∂τ
,τ
)
d
=
−2πτdf
− 2πfdτ
(6)
现行群时延概念的提出者与阐述者们，误将变量当常量，没有写全(6)式，仅写出了其中 的一半（含 df 项）。对射频与中频的带通等选择性电路来说，恰恰是被忽略的一半(含 dτ项) 起主要作用。可见，现行群时延概念立论根基错误。
τgd(f)称群时延失真或相对群时延：
τgd（f） = τg(f) - τg(f)
(3)
以上是现行群时延概念的要点。
本文认为现行群时延概念有下列问题：
1.逻辑问题：外延不等。
定义是明确概念的逻辑方法[3]。下定义必须遵守的规则之一是定义者的外延与被定义者
的外延必须相等。现行群时延概念的基本定义式(1)式违反了这条规则。
群时延概念虽似艰涩，思路却像这个故事。
3.1 从相位到时延
相是样子、容貌。相位是正弦电磁场（简谐振荡信号）的态，是电磁矢量的角度。人们 从相位变化来认识电磁场的运动。人们从相位变化来认识电磁场的运动。频率以相位变化量 测量，时延从相位变化量求得。
电磁场的相位变化分时间部分和空间部分。时延一语表征的是相位差以时间来代替的等 效量，也就是器件引入的相移等效于延长了多少时间。
3.3 群时延的新定义
相频特性曲线φ(f)的直线段记为φ(fj)，直线段φ(fj)的斜率记为K。K通常为负值。 定义 群时延是载波或中频信号的线性相位色散，等效于解调后信息频率的群体的时延。
其数值等于相位角频率特性曲线直线段的负斜率：
τq
=
−K (ω ) =
−
K 2π
(18)
Fra Baidu bibliotek
当直线段φ(fj)的延长线过零点时，群时延τq退化为时延τ，是所对应频率群体E[fj]的时
对工作于射频或中频的带通等选择性电路来说，群时延不是射频或中频意义下的时延，
而是潜在的、经解调后将表现出的对信息频率而言的时延。
3.4 相频特性曲线的频率变换——群时延与时延的定量关系
相频特性曲线如图 2 之 ABCD。
工程应用中避开 AB 段与 CD 段，利用 BC 段。
f 表射频频率，则信息频率为：
群时延的新概念
史锦顺
中国电子科技集团公司第 27 研究所 郑州 450005
摘要 本文指出：在世界电讯工程界流行了七十多年的群时延概念，是个不恰当
的概念。分析了现行群时延概念在逻辑、数学、物理及应用诸方面的问题；提出 关于群时延的新概念。说明与新概念相应的时延奇异性的表征方法与计算方法。
关键词 时延 群时延 同相观察 相频特性曲线 频率变换
(13)
认定
φ
∗ 入
(t1
)
=
φ出∗
(t
2
)
(14)
有
τ
=
t2
− t1
=
−φ(f )
2πf
(15)
以上所述时延，现行理论称其为相位时延； 本文称其为时延——对它，不该加限定语而
降低其地位。
传播路径引入的时延称为传播时延，记为τo。电磁波在自由空间中的时空分布为：
φ
(t,
L)
=
2πft
−
2πL λ
+
φo
过一小河后，乙车比甲车落后 10 米。刚过河，二车上各有一只乌龟同时跳下，相互距离 10 米。车、龟原速前进。10 米距离等效于时间延迟多少? 这要看针对哪种速度。如指汽车或 乘车之龟，则时延为 1 秒；如指已跳下车之乌龟，则时延为 100 秒。
落后一定距离等效于到达目的地迟到一定时间。求此时间延迟， 必须借助于实际运行的 速度。抹煞了速度，无从谈起时延与距离的对应。
3 群时延的新概念
引子
路程以长度单位计算，古时用里，现在用公里，这是人们所熟知的。但是，自古以来， 人们就有以时间论里程的习惯。常说还有几日路程或说耽搁了几日行程。
小时听启蒙老师讲故事，说古时有个举子进京赶考，路上问一老者到京城还有几天路程。 老者说：你向前走一百步再来问我。举子照办，老人这才回答。老者并非刁难，这是因为只 有了解举子行进速度后，方好作答。走得慢，要多走几天；走得快，可以少走几天。这是个 简单明白的道理：一段路程转化为行路时间，必须以速度为前提条件。
把马群的速度定义为每匹马的速度是不妥的。试想，倘老虎闯入马群，受惊之马狂奔乱 跳，四处逃窜，各马虽有各自的速度，但马群已散，无从再谈起马群的速度。
谈群体的共性必须是针对有共性的群体；不能用个性代替共性。
(2)龟行图
甲乙两辆汽车，各载两只乌龟。二车横排，齐头并进。车上乌龟横排车尾，向前爬。车 速 10 米/秒；龟速 0.1 米/秒。
3.物理问题：抹煞相位对时间变换的关键——频率。 正弦电磁场的相、时、频存在一一对应关系。相位与时延对应的基础是频率，是实际存 在的运行频率。裂频不是运行频率。仅在特殊的情况下，即当φ(f)曲线为过零点直线时，时 延τ为常数，方可由裂频代替运行频率而计算出常数τ来。工作于射频或中频的带通等选择 性电路，φ(f)曲线的直线段不过零点，裂频不能代替运行频率。 忽视运行频率，而利用随意选取的裂频Δf， 现行群时延概念遂成为无源之水，无本之 木；以至物理意义费解：说不清是什么频率下的时延。 4.应用问题 (1)定义为微商，实行起来很难办。理论上，Δf 很小才符合定义，但因Δf 当分母，越小 则误差越大。越符合定义越不精确。 (2)Δf 选取的随意性。 (3)实用中Δf选得很大，常为带宽，于是出现 "改带外性能，善带内指标"这一怪现象[4]。 (4)非线性指标，常取决于线性区大小的选取，这又是一个矛盾。 (5)每两点算一时延，再比较，这是一种抽样比较法，比较不完全。 现实中常遇到这样的问题：对某微波器件，给出群时延 100ns，按现行群时延概念，将理 解为微波能量传输时间是 100ns。这可能是虚夸了上百倍。这种误解并非个人理解问题，而是 现行群时延本身之误。正确认识了器件的时延，也必然认识到现行群时延概念确实不妥。
本文在深入研究时间、频率、相位三者关系的基础上， 分析了现行群时延概念的诸多问
题， 指出这个概念的要害是抹煞频率在相位对时间变换中的关键作用。本文提出关于群时延
的新概念。其中的数据处理方法，已在一项航天测控工程设备研制中应用。
2 现行群时延概念的问题
现行群时延的定义如式（1），实际应用公式为：
φ⎜⎛ f + Δf ⎟⎞ − φ⎜⎛ f − Δf ⎟⎞
(16)
φ(t,0) = 2πft + φo
距离 L 的时延为：
τ
− 2πL =− λ
2πf
=
L fλ
=
L c
=
τo
(17)
传播时延τo是时延τ的特例。式中c是光速，即电磁波的传播速度。
3.2 相频特性曲线
信号通过器件(或网络或系统)产生相移。频率不同， 相移不同。相移对频率关系的特性 曲线，称相频特性曲线，简称φ(f)曲线。
被定义者群时延是群体的特性，它共属于该群体之f1、f2、……fN 各频率信号，是各频率 共有的性质，是共性，必须是个不随频率编号而变的值。而定义者是相位对频率的微商，通
常依各频率而不同。等式两边不等。
承认了定义式(1)，实际是承认了τg随频率而变，这就否定了τg做为群体特性表征量的 资格，也就无法称其为群时延了。
τ
g
(
f
)
=
−
1 2π
⎝
2⎠ ⎝ Δf
2⎠
(2)
群时延测量仪器的基本模型如图 1[2]。
载波信号 发生器
→ 调制器 → 被测 → 解调器 → 测
电路
相
↑
电
裂频信号
→ 调零
→
发生器
电路
路
图1
用矢量网络分析仪测量群时延的现行方法是先测出φ(f)曲线，再按(2)式求τg(f)。 有如下称谓：
τg(f)称群时延特性或绝对群时延；