2010复旦大学插班生模拟题答案

2010复旦大学插班生数学模拟题答案

参考答案：

一．原式=12

2sin 222111222sin 2000(1sin 2)2lim lim 2(1sin 2)2lim[(1sin 2)]sin x x x x x x x x x x dx x x x →→→-⋅=-=- 220sin2lim 22222x x x e

e →-⋅-== 22233331211111(1)(1)(1())1()22266x x x e x x x x x o x x o x -+

=-+++++=++，

1333231(1)1()2

x x o x =+=++

332330011()(1)132lim lim 3

x x x x o x x x e x x →→-+-+==-

二． 解：

（1）若12,αα均为10λ=的特征向量，则有

1212122()000A A A ααααααα+=+=⋅+⋅=≠，矛盾。

若12,αα均为231λλ==的特征向量，则有1212122()11A A A ααααααα+=+=⋅+⋅≠，同样矛盾。

可见12,αα是属于实对称矩阵A 的两个不同特征值的特征向量，且1α是属于特征值10λ=的特征向量，2α是属于特征值231λλ==的特征向量，根据实对阵矩阵的性质，12,αα必

正交，故有1210T a αα=-=，得1a =。

（2）因为A 可对角化，且011A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，可见秩r （A ）=2，于是齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为1。而1100A αα=⋅=，因此1α可作为Ax=0的基础解系。

故2Ax α=的通解为21111110x k k αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，其中k 为任意常数。

（3）设231λλ==的另一特征向量为1323x x x α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，则3α与1α正交，不妨进一步要求3α与2α也正交，则有131********T T x x x x x αααα⎧=+=⎨=-+=⎩，解得3112α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。 故1

1112233123011111[,,][,,]011111012012A λαλαλαααα----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 110220113301110112220622012112001⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。 （4）因为123,,ααα已经两两正交，只需单位化：

11111||0αηα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，22211||1αηα⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，33311||2αηα-⎡⎤⎥==⎥⎥⎦

令[]123,,Q ηηη=，则Q 为正交矩阵，且有000010001T Q AQ ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。 三．．由Gauss 公式，V

dxdydz V ⎰⎰⎰原式=3，由为曲面|x+y-z|+|x+z-y|+|y+z-x|=1所围立体，

作变换u=x-y+z, v=y-z+x, w=z-x+y, 则111D u,v,w)1114(,,)111u

u u x

y z v v v D x y z x

y z w

w w x y z

∂∂∂∂∂∂-∂∂∂==-=∂∂∂-∂∂∂∂∂∂（，因而(,,)1D(u,v,w)4D x y z =。 又区域V 变为|u|+|v|+|w|《1,这是一个对称于坐标原点的正八面体，且在第一封限的部分由平面u+v+w=1,u=0,v=0,w=0围成，体积为1111326⋅

⋅=，故八面体的体积为14863⋅=。 故原式=143143

⋅⋅=。

四．解：

'2200001arctan (arctan )((1))1x x

x n n n x x dx dx x dx x ∞====-+∑⎰⎰⎰ 200(1)

x n n n x dx ∞

==-∑⎰ 210(1)21n n n x n ∞

+=-=+∑, (1,1)x ∈-. 在1x =±处，上述级数收敛，arctan x 在1x =±处亦连续，所以

210(1)arctan 21n

n n x x n ∞

+=-=+∑，[1,1]x ∈-。于是

222222000

1(1)(1)(1)arctan (1)212121n

n

n

n n n n n n x x x x x x x n n n ∞∞∞+===+---=+=++++∑∑∑ 1

222011(1)(1)111(1)()21212121n

n n n n n n n n x x x n n n n -∞

∞∞===--=+=+--+-+-∑∑∑ 222211(2)(1)21(1)14114n n

n n n n x x n n ∞∞==--=+-=+--∑∑，[1,1]x ∈-，0x ≠ 但x=0时，上述右边级数收敛于1(0)f =。故221(1)2()114n n n f x x n ∞

=-=+-∑，[1,1]x ∈-。 因21(1)11[(1)1]14242n n f n π∞

=-=-=--∑。

五．当a 《0时，方程显然无解。故不妨设a>0对于函数2()x f x e ax =-有(0)10f =>及

lim ()x f x →-∞=-∞，所以在(,0)-∞内方程()0f x =至少有一实根。

又当0x -∞<<时，'()20x f x e ax =->，所以，()0f x =在(,0)-∞内只有唯一实根。

当x>0时，方程2x e ax =可转化为方程ln 2ln (0,0)x a x x a =+>>

设()ln 2ln g x x a x =--，则2'()1g x x

=-

令'()0g x =得x=2

当02x <<时，'()0g x <；当2x <<+∞时，'()0g x > 所以2

(2)ln 4e g a

=为极小值，又0lim (),lim ()x x g x g x →→+∞=+∞=+∞