离散数学习题五

习题五1、设个体域D={a,b,c},在D 中消去公式(()())x F x yG y ∀∧∃的量词。

甲乙用了不同的演算过程:甲的演算过程如下:(()())(()(()()()))(()(()()()))(()(()()()))(()(()()()))(()()())(()()())x F x yG y x F x G a G b G c F a G a G b G c F b G a G b G c F c G a G b G c F a F b F c G a G b G c ∀∧∃⇔∀∧∨∨⇔∧∨∨∧∧∨∨∧∧∨∨⇔∧∧∧∨∨乙的演算过程如下:(()())()()(()()())(()()())x F x yG y xF x yG y F a F b F c G a G b G c ∀∧∃⇔∀∧∃⇔∧∧∧∨∨ 显然,乙的演算过程简单,试指出乙在演算过程中的关键步骤。

解:乙在演算中的关键步骤就是,在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式,将量词的辖域缩小,因而演算简单。

2、 设个体域D={a,b,c},消去下列各式的量词:(1)(()())(2)(()())(3)()()(4)(,)())x y F x G y x y F x G y xF x yG y x F x y yG y ∀∃∧∀∃∨∀→∀∀→∃（解:（1）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∨∨∧∧∧（2）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∧∧∨∧∧（3）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∧∧→∧∧（4）))()()(()),(),(),((c G b G a G y c F y b F y a F ∨∨→∨∨在(1)(2)(4)中均将量词的辖域缩小,所以演算结果都比较简单3、 设个体域D={1,2},请给出两种不同的解释1I 与2I ,使得下面公式在1I 下都就是真命题,而在2I 下都就是假命题。

(1)(()())x F x G x ∀→(2)(()())x F x G x ∃∧解:解释I1为:个体为实数集合R,F(x):x 为自然数,G(x):x 为整数。

在I1下,(1)为自然数都就是整数,(2)为存在整数为自然数。

她们都就是真命题解释I2为:个体域仍为实数集R,F(x):x 就是无理数,G(x):x 能表示成分数,在I2下,(1)为无理数都能表示成分数,(2)为存在能表示成分数的无理数,她们都就是假命题4、 给定公式()()A xF x xF x =∃→∀(1)在解释1I 中,个体域1D ={a},证明公式A 在1I 下的真值为1、(2)在解释2I 中,个体域2D ={12,,,n a a a L },2n ≥,A 在2I 下的真值还一定就是1不？为什么？解:（1）在I1下,1)()()()()()(⇔∨⌝⇔→⇔∀→∃a F a F a F a F x xF x xF（2）在I2下))()()(())()()(()()(2121n n a F a F a F a F a F a F x xF x xF ∧∧∧→∨∨∨⇔∀→∃ΛΛ为可满足式,设F(x):x 为奇数,2,,2,1,≥==n n i i a i K ,此时,蕴涵式前件为真,后件为假,故蕴含式为假,若令F(x);x 为整数,则蕴含式前后件均为真,所以(2)中公式在I2下为可满足式5、 给定解释I 如下:(a)个体域D={3,4}; (b)()f x 为(3)4,(4)3;f f == (c)(,)F x y 为(3,3)(4,4)0,(3,4)(4,3) 1.F F F F ====试求下列公式在I 下的真值。

(1)(,)(2)(,)(3)(,)((),()))x yF x y x yF x y x yF x y F f x f y ∀∃∃∀∀∀→解:(1) 111))4,4()3,4(())4,3()3,3(())4,()3,((),(⇔∧⇔∨∧∨⇔∨∀⇔∃∀F F F F x F x F x y x yF x (2))4,4()3,4(())4,3()3,3(())4,()3,((⇔∧∨∧⇔∧∃⇔F F F F x F x F x(3)1))))4(),4(()4,4(()))3(),4(()3,4(((())))4(),3(()4,3(()))3(),3(()3,3(((())))4(),(()4,(()))3(),(()3,(((⇔→∧→∧→∧→⇔→∧→∀⇔f f F F f f F F f f F F f f F F f x f F x F f x f F x F x6.甲使用量词辖域收缩与扩张等值式进行如下演算),()()),()((y x G x xF y x G x F x →∃⇔→∀乙说甲错了,乙说的对不？为什么？解:乙说的对,甲错了,全称量词∀的指导变元x,辖域为)),()((y x G x F →,其中F(x)与G(x,y)都就是x 的约束变元,因而不能讲量词的辖域变小7.请指出下面等值运算的两处错误)),())()((()),()(()(()),()(()((y x H y G x F y x y x H y G x F y x y x H y G x F y x →∧∃∀⇔→∧∃∀⇔→∧∀⌝∃解:演算的第一步,应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定连接词⌝,演算的第二步,在原错的基础上又用错了等值式)),()()((y x H y G x F →∧与)),()()((y x H y G x F →∧不等值8.在一阶逻辑中将下列命题符号化,要求用两种不同的等值形式（1）没有小于负数的正数（2）相等的两个角未必都就是对顶角解:（1）))()(())()((x F x G x x G x F x ⌝→∀⇔∧⌝∃ 其中F(x):x 小于负数,G(x):x 就是正数（2）)),(),()()((),(),()()((y x L y x H y F x F y x y x L y x H y F x F y x ⌝∧∧∧∃∃⇔→∧∧∀⌝∀其中F(x):x 就是角,H(x,y):x=y,L(x,y):x 与y 就是对顶角9.设个体域D 为实数集合,命题“有的实数既就是有理数又就是无理数”,这显然就是个假命题。

可就是某人却说这就是真命题,其理由如下设F(x):x 就是有理数,G(x):x 就是无理数。

)(),(x xG x xF ∃∃都就是真命题,于就是,))()(()()(x G x F x x xG x xF ∧∃⇔∃∧∃由于)()(x xG x xF ∃∧∃就是真命题,故))()((x G x F x ∧∃也就是真命题,即有的实数就是有理数,也就是无理数这个人的结论对不？为什么？解:存在量词对∧无分配律10.在求前束范式时有人说)),()((y x G x F x ∧⌝∃已就是前束范式,理由就是量词已在公式的前面,她说的对不？为什么？解:在前束范式中,否定联结词不能在量词前面出现11.有人说无法求公式),())()((y x xG x G x F x ∃→→∀的前束范式,因为公式中的两个量词的指导变元相同。

她的理由对不？为什么？ 换名规则可以使两个指导变元不相同12.求下列各式的前束范式:(1)),()(y x yG x xF ∀→∀(2))),,(),((z y x yG y x F x ∃→∀(3)),(),(y x xG y x xF ∃↔∀(4))),()(()),()((323222111x x L x x H x x x G x F x ∃→∃→→∀(5))),()((),(2121211x x G x x F x x F x ⌝∃→→∃解:(1))),()((y z G x F y x →∀∃(2))),,(),((z t x G t x F t x →∃∀(3)))),(),(()),(),(((43214321y x F y x G y x G y x F x x x x →∧→∀∀∃∃(4)))),()(()),()(((322211321y x L y H x y G y F y y y →→→∃∀∃(5)))),()(()((2112,121y x G x F x y F y y ⌝→→∀∀13.将下列命题符号化,要求符号化的公式权威前束范式:（1）有点火车比有的汽车跑的快（2）有的火车比所有的汽车跑的快（3）说有的火车比所有汽车跑得快就是不对的（4）说有的飞机比有的汽车慢也就是不对的解:(1))),()()((y x H y G x F y x ∧∧∃∃ 其中F(x):x 就是汽车 G(y):y 就是 火车 H(x,y):x 比y 跑得快(2)))),()(()((y x H y G x F y x →∧∀∃ 其中F(x):x 就是火车 G(y):y 就是 汽车H(x,y):x比y跑得快(3)))FxGx⌝∧∃其中F(x):x就是火车 G(y):y就是汽车∃y∧y()()(x(y,HH(x,y):x比y跑得快(4)))yFxx⌝∧G∀其中F(x):x就是飞机 G(y):y就是汽车∀→,(y())Hx(y(H(x,y):x比y跑得慢14.在自然推理系统F中,指出下面各证明序列中的错误:（1）①)xxGF∃→前提引入(x()②)F→①EI规则cG)(c(（2）①)xF∃→∃前提引入xyG)(y(②)aF→①EI规则F(b)(（3）①)yF→前提引入G()(y②))xFx→G∃①EG规则(x)((（4）①)aF∧前提引入F(b()②))xF∃①EG规则Gx∧(x)((（5）①)cGF→前提引入()(c②))Fxx→∀①UG规则(()(xG解:(1)对)F∃(x→不能使用EI规则,它不就是前束范式,首先化成前束范)(xxG式))∃⇔∃x→,因为量词辖域) F→xGyF→中,除了x还(x()(G()()(()FxyG(xx有自由出现的y所以不能用EI规则(2)对)→∃也应该先化成前束范式才能消去量词,其前束范式为xxF∃yG()(yFy∀,要消去量词,既要用UI规则,又要用EI规则∃xx→(G)))((y(3)这里A(y)=F(y)→G(y)满足要求(4)这里,使F(a)为真的a不一定使G(a)为真,同样的,使G(b)为真的b不一定使F(b)为真(5)这里,c为个体常项,不能对F(c)→G(c)引入全称量词15.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明:（1）前提:)yxFyGyxF∃→∀∨→∃())(()),()((yxF(x)R结论:)(x xR ∃（2）前提:)())),()(()((x xF x R a G x F x ∃∧→∀结论:))()((x R x F x ∧∃（3）前提:)()),()((x xG x G x F x ⌝∃∨∀结论:)(x xF ∃（4）前提:)()),()(()),()((x xR x R x G x x G x F x ∀⌝∨⌝∀∨∀结论:)(x xF ∃(1)证明:1 ()xF x ∃ 前提引入2 ()((()())R(y))xF x y F y G y ∃→∀∨→ 前提引入3 ((()())R(y)y F y G y ∀∨→ 1 2假言推理4 ()F c 1 EI5 (()())R(c)F c G c ∨→ 3 UI6 ()()F c G c ∨ 4 附加7 R(c) 5 6假言推理8 ()xR x ∃ 7EG(2)证明:1 ()xF x ∃ 前提引入2 ((x)),x (x)(F(a)G(a))),G(a)I(y)H(a)(G(a)H(a)I(a))x H F x x ∀∨∃⌝∀→→⌝∧∨∀∧→((x)(G(a)R(x)))x F ∀→∧前提引入3 (c)F 1 EI4 (c)(G(a)R(c))F →∧ 2 UI5 G(a)R(c)∧ 3 4假言推理6 R(c) 5化简7 (c)R(c)F ∧ 3 6合取8 ((x)R(x))x F ∃∧ 7EG(3)证明:1 (x)xF ⌝∃ 前提引入2 x (x)F ∀⌝ 1置换3 F(c)⌝ 2UI4 x((x)())F G x ∀∨ 前提引入5 F(c)()G c ∨ 4UI6F(c) 3 5析取三段论7 (x)xF ∃ 6EG(4)证明:1 x((x)())F G x ∀∨ 前提引入2 (y)()F G y ∨ 1 UI3 x(G(x)())R X ∀⌝∨⌝ 前提引入4 G(y)()R y ⌝∨⌝ 3 UI5 (x)xR ∀ 前提引入6 (y)R 5UI7 ()G y ⌝ 4 6析取三段论8(y)F 27析取三段论9 xF(x)∀ UG16、找一个解释I,在I 下,使得()()xF x xG x ∀→∀为真,而使得(()())x F x G x ∀→∀为假,从而说明()()(()())xF x xG x x F x G x ∀→∀≠∀→∀。