微分方程与差分方程建模

~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt
>1
i i0
1-1/
di 1 / i[i (1 )] dt
>1
i i0
1
di/dt < 0
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [i (t t ) i (t )] Ns(t )i (t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
传染病蔓延 传染病不蔓延
阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0
s0 i0 r0 1
群体免疫
的估计
r
N (t ) 0 p(s, t )ds
rm
f (t )
t
生育率的分解
k (r , t ) ~ (女性)性别比函数
b(r , t ) ~ (女性)生育数
r2
1
[r1 , r2 ] ~ 育龄区间
h( r , t ) h( r )
f (t ) r b(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
一阶偏微分方程
p p (r , t ) p(r , t ) r t
p p 人口发展方程 r t ( r , t ) p ( r , t ) p ( r ,0) p0 ( r ), r 0 ~已知函数（人口调查） p (0, t ) f (t ), t 0 ~生育率（控制人口手段）
di i dt i (0) i0
i (t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i (t ), s (t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
背景
世界人口增长概况
中国人口增长概况
研究人口变化规律，控制人口过快增长
模型1：马尔萨斯模型
x t t 时刻的人口
x0 今年人口
k
r 人口相对增长率（常数）
模型建立 模型求解
xk x0 1 r
x(t ) x0 e
rt
短期内与人口实际增长吻合的比较好，但时间越长， 误差越大。
p(r , t )dr p(r dr1 , t dt)dr (r, t ) p(r, t )drdt
[ p(r dr1 , t dt ) p(r , t dt )] [ p(r , t dt ) p(r , t )] (r , t ) p(r , t )dt , dt dr1
人口发展方程和生育率
f (t ) (t )r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
(t ) ~总和生育率——控制生育的多少
h ( r , t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p (r t )e ( s ) ds , 0 t r 0 p(r , t ) f (t r )e ( s ) ds , t r
r r xm 0 s xm
dx x r (1 ) x 此时得到微分方程： dt xm
（3.8）
用分离变量法求解得到
满足初始条件 x 0 x0 的解为：
x(t ) 1 ( xm xm 1)e rt x0
（3.9）
模型3
差分形式的Logistic模型
0
1-1/
1 i
i0
0 1 , 1 1 i ( ) 0, 1
接触数 =1 ~ 阈值
t
0
t
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu 1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i (t )按S形曲线增长

r r t r 0
p0 ( r )
• 正反馈系统 • 滞后作用很大
f (t )
p p (r , t ) p(r , t ) r t
p(r , t )
(t )
人口指数
1）人口总数
N (t ) 0 p(r, t )dr
rm
m
r 1 2）平均年龄 R (t ) 0 rp ( r , t ) dr N (t )
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i (s ) 的图形，进行分析
0
D
s
1
模型4
相轨线 i (s ) 及其分析
di i 1 si i di dt 1 s ds s 1 1 i(s) ( s0 i0 ) s ln ds s0 si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
dx 在Logistic模型中， 以差分形式 yk 1 yk 代替， dt
yk yk 1 yk ryk 1 x0
人口发展方程
t , 年龄[ r , r dr]人数
(r , t ) ~ 死亡率
(t , t dt )内
dt dr1 死亡人数
t dt, 年龄[ r dr , 1 r dr dr]人数 1
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni(t )t
di si dt
s(t ) i (t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
Logistic 模型
1 1 t 1 1e i 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i (t ), s (t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
建模示例1
司机饮酒模型
设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规 定为不超过80%（mg/ml）,现有一起交通事故， 在事故发生3个小时后，测得司机血液中酒精含 量是56%（mg/ml），又过两个小时后，测得其 酒精含量降为40%（mg/ml），试判断：事故发 生时司机是否违反了酒精含量的规定？
x 设 t 0 为事故发生的时刻， t 为时刻 t 血液中酒精 的浓度，需要求解 x 0 .
模型建立：
dx kx（k 0是比例常数） dt
模型求解：
0 e kt x(t ) x
x 3 56 初始条件 x 5 40
建模示例2：如何预报人口的增长
0
SIR模型
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
1/ ~
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
模型2
Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x) 从而有：
dx r ( x) x (r sx) x dt
（3.7）
r(x)最简单的形式是常数， 此时得到的就是马尔萨 斯模型。对马尔萨斯模 型的最简单的改进 就是 设 r x 是 x 的线性函数
xm 人口容量（资源环境能容纳的最大数量）
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
需建立 i (t ), s (t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N [i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i 无法求出 i (t ), s (t ) ds si 的解析解 dt i (0) i0 , s (0) s0 在相平面 s ~ i 上 研究解的性质 i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
3）平均寿命
S (t ) t e


0 ( r ,t ) dr
t
d
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数
控制生育率
(t ) R(t ) / S (t )
控制 N(t)不过 大 控制 (t)不过 高
Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。

r r t
(r , t ) (r )
r
p (r t )e ( s ) ds , 0 t r 0 p(r , t ) ( s ) ds f (t r )e , tr
r 0
tr
p0 ( r )
0
t r t r
F (r , t ) 0 p(s, t )ds
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i (s ) 的定义域
s i( s) ( s0 i0 ) s ln s0
b(r , t ) (t )h(r , t )
h(r , t )dr 1
r2 r 1
0
r1
r2
r
(t ) r b(r , t )dr
r2
1
h~生育模 式 ~总和生育率
f (t ) (t ) r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1