第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷及参考答案和评分标准

第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷

题号一二三四五六七八总分

得分

复核

骤。只写出最后结果的不能得分。有数字计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程。

一、填空题．（本题共4小题，共25分）

1．图1所示的电阻丝网络，每一小段电阻同为r，两个端点A、

B间等效电阻R1= 。若在图1网络中再引入3段斜电阻丝，每

一段电阻也为r，如图2 所示，此时A、B间等效电阻R2= 。

2．右图为开尔文滴水起电机示意图。从三通管左右两管口

形成的水滴分别穿过铝筒A1、A2后滴进铝杯B1、B2，当滴了一段

时间后，原均不带电的两铝杯间会有几千伏的电势差。试分析其

原理。图中铝筒A1用导线与铝杯B2相连；铝筒A2用导线与B1相连。

3．受迫振动的稳定状态由下式给出)

cos(ϕ

ω+

=t

A

x，

2

2

2

2

2

4

)

(ω

β

ω

ω+

-

=

h

A，

2

2

arctan

ω

ω

βω

ϕ

-

-

=。其中

m

H

h=，而)

cos(t

Hω为胁迫力，m

γ

β=

2，其中

dt

dx

γ-是阻尼力。有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计，其中一条的固有

振动角频率为1

2727

.

39-

=s

ω，另外一条的固有振动角频率为1

'

5454

.

78-

=s

ω，在汽车运行的过程中，司机看到两条弹簧的振动幅度之比为7。设β为小量，计算中可以略去，已知汽车轮子的直径为1m，则汽车的运行速度为。

4．核潜艇中238

U核的半衰期为9

10

5.4⨯年，衰变中有%的概率成为234

U核，同时放出一个高能光子，这些光子中的93%被潜艇钢板吸收。1981年，前苏联编号U137的核潜艇透射到艇外的高能光子被距核源（处理为点状）处的探测仪测得。仪器正入射面积为22cm2，效率为%（每400个入射光子可产生一个脉冲讯号），每小时测得125个讯号。据上所述，可知238

U核的平均寿命τ= 年（693

.0

2

ln=），该核潜艇中238

U的质量m=

kg（保留两位有效数字）。

得分阅卷复核

二、（20分）如图所示，一内半径为R 的圆筒（图中2R 为其内直

径）位于水平地面上。筒内放一矩形物。矩形物中的A 、B 是两

根长度相等、质量皆为m 的细圆棍，它们平行地固连在一质量可以忽略不计的，长为R l 3=的矩形薄片的两端。初始时矩形物位

于水平位置且处于静止状态，A 、B 皆与圆筒内表面接触，已知A 、B 与圆筒内表面间的静摩擦系数μ都等于1。

现令圆筒绕其中心轴线非常缓慢地转动，使A 逐渐升高。

1．矩形物转过多大角度后，它开始与圆筒之间不再能保持相对静止？

答： （只要求写出数值，不要求写出推导过程） 2．如果矩形物与圆筒之间刚不能保持相对静止时，立即令圆筒停止转动。令θ表示A 的中点和B 的中点的连线与整直线之间的夹角，求此后θ等于多少度时，B 相对于圆筒开始滑动。（要求写出必要的推导过程。最后用计算器对方程式进行数值求解，最终结果要求保留三位数字）

三、（17分）斯泰瓦—托尔曼（Stewart-Tolman ）效应

1917年，斯泰瓦和托尔曼发现，一绕在圆柱上的闭合线圈，当

该圆柱以一定角加速度绕轴旋转时，线圈中会有电流流过。 设有许多匝线圈，每匝线圈的半径为r ，每匝线圈均用电阻为R

的细金属导线绕成，线圈均匀地绕在一很长的玻璃圆柱上，圆柱的内部为真空。每匝线圈的位置用粘胶固定在圆柱上，单位长度的线圈匝数为n ，包含每匝线圈的平面与圆柱的轴垂直。

从某一时刻开始，圆柱以角加速度α绕其轴旋转。经过足够长时间后，求圆柱中心处的磁场的磁感应强度B 。设电子的电量e 和质量m 为已知。

四、（20分）一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。如图所

示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千转轴到男孩质心的距离为u r ；而当男孩处于下蹲姿势时，秋千

转轴到男孩质心的距离为d r 。设比值072.12101

==u

d

r r ，即男孩站立与下蹲两种姿势时质心

相对于秋千转轴到男孩质心的平均距离只变化大约7%。

为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程（即A 到B ，E 到F ）与秋千摆动本身相比进行得足够快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程（从C 到D ，从G 到H ）也被假定是瞬间过程。 需要求解的问题是：男孩要将秋千摆动幅度增加一倍，或者说最大角速度增加一倍（即摆动幅度为初始幅度的两倍，或最大角速度为原来的两倍），需要进行多少次（可以用分数表示）摆动才行。

五、（20分）关于齐明点的讨论

1．半径为R 的透明球体，折射率为n ，P 为主轴上一点，位于球心左方

n

R

处，如图所示。求证：从P 点向右发出的任一条光线（不限于近轴光线）经球面折射后，将聚焦于一点，并求出该点Q 的位置。P 、Q 称为齐明点。

2．齐明点概念常用于显微镜的物镜中，以增大显微镜入射光的孔径角。设某显微镜的接物镜（接物镜前方有光射入）是折射率为n 1=，半径为R 1=3mm 的半球，其平底面与物同浸在折射率与物镜材料相同的油中，物即位于一个齐明点上。

试设计物镜组第二个月牙形透镜（在接物镜后）的两球面的半径R 2和R 3及其构形（可作图说明），使其物、像也是齐明点。已知该透镜材料的折射率为n 2=，透镜前球面与第一个透镜后球面的间距为d 1=，透镜中央厚度为d 2=，并估算从第二个透镜出射的光的孔径角 和经两个透镜成像后的放大率k 。

六、（18分）木星的卫食

远在科学家能精确测量光速之前，丹麦天文学家欧罗梅尔（）

就研究了木星卫星的星食时间。他通过观测木星的卫星绕木星运动的周期来确定光的速率。图1表示地球E 绕太阳S 的运动轨道和木

星的一个卫星M 绕木星J 的运动轨道。他观测木星的卫星M 相继两次从木星的太阳阴影中