[学习]概率论与数理统计课件第6章
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概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间
[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
解
(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y
uα
2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知，1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么？
1 2
2 1
概率论数理统计课件第6讲
(2) X的分布函数为
F x
x
5 3 5 3 (3) P X F F 2 2 2 2 1 0.9375 0.0625
2.3.3 常见的连续型随机变量
均匀分布、指数分布、正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量X 的概率密度为：
(2).
f ( x) dx 1；
这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与x轴所围 面积等于1。
(3). 对 f(x)的进一步理解：
若x是 f(x)的连续点，则 x x f (t )dt P( x X x x) x lim lim x 0 x 0 x x =f(x)， 故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量，f (x)相当于物理学中的线密度。
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 （a, b）; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2). 确定数据分组数 m = 7， 组距 d = (b − a) / m=28/7=4，
1
。
p k 0, k 1,2,,
2。
p
k 1
k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量X的 各个取值所 对应的概率
常用的离散型随机变量的分布
1.两点分布（ 0-1分布） 模型：一个人射击，射中的概率为p，不中的概 率为 q=1-p. 规定：
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 参数估计
最大概率的思想就是最大似然法的基本思想 .
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
《概率论与数理统计》第六章
所以，X是一个随机变量!
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
《概率论与数理统计》第六章样本及抽样分析共67页PPT
《概率论与数理统计》第六章样本及抽样 分析
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。•Biblioteka 48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。•Biblioteka 48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
概率论与数理统计PPT课件(共8章)第六章 数理统计的基本概念
代表性
每个样本Xi(i=1,2,…,n)与 总体X具有相同的分布
独立性
各个样本X1,X2,…,Xn的取 值互不影响，即X1,X2,…,Xn是 相互独立的随机变量．
6.1.3 样本的联合分布
若 X1 ，X2 ， ，Xn 为总体 X 的一个样本， X 的分布函数为 F(x) ，则 X1 ，X2 ， ，Xn
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1 ，
概
率
论
与
数 理
6.2
统
计
统计量与抽样分布
6.2.1 统计量
定义 6.2 不含任何未知参数的样本 X1 ，X2 ， ，Xn 的连续函数 g(X1 ，X2 ， ，Xn )
称为统计量．
下面列出一些常用的统计量．
（1）样本均值
X
1 n
n i1
Xi
（2）样本方差
概
率
论
与
数
理 统 计
数理统计的基本概念
第六章
概
率
论
与
数
理 统
壹 总体与样本
计
贰 统计量与抽样分布
目录
概
率
论
与
数 理
6.1
统
计
总体与样本
总体与个体
6.1.1 总体
在数理统计中，通常把研究对象的全体称为总体，把构 成总体的每个研究对象称为个体．
总体分布
为了便于数学上的处理，我们将总体定义为随机变量， 记作．随机变量的分布称为总体分布.
N
(1
，12
)
与
N
(2
，
2 2
)
的样本，且这两个样本相互独立．设
第六章《概率论与数理统计教程》课件
1
例5. 设X服从[0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求λ的最大似然估计. 1 解:由题意得: X ~ f ( x; )
1 L( x1 , x 2 ,..., x n ; ) n 0
0 x
0 其它 0 x1 , x 2 ,..., x n
dL n n1 0 d
其它
无解.
应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现 取 max( x1 , x 2 ,..., x n ) 此时,L取值最大, 所以,所求最大似然估计为 max( x1 , x 2 ,..., x n )
考虑L的取值,要使L取值最大,λ应最小, 0 x1 , x 2 ,..., x n
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) ,其中 及 2 都是未知参数，如
果取得样本观测值为 x1 ,, x n , 求 及 2 的矩估计值。
解： 因为总体X的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶 原点矩，我们有 v1 ( X ) E ( X )
v 2 ( X ) E( X 2 ) D( X ) [ E( X )]2 2 2
e
e
1 2
2
2
( x )2 2 2
e
L( x1 , x 2 ,..., x n ; , )
2
i 1
1 2
2
( xi )2
(
2
1 2
2
1 2 2
) e
n
i 1
n
( xi )2
1 n 2 n 1 n 2 2 ) 2 ( x i ) ln 2 ln L n ln( ( xi ) 2 i 1 2 2 2 n 2 2 i 1 1 ln L 1 n Xi X 2 ( xi ) 0 n i 1 i 1 1 n 2 1 n n ln L n 1 ( xi )2 ( xi X )2 2 2 4 ( x i ) 0 n i 1 n i 1 2 2 2 i 1
[学习]概率论与数理统计课件第6章
![[学习]概率论与数理统计课件第6章](https://img.taocdn.com/s3/m/e63f4cbf9f3143323968011ca300a6c30c22f1c6.png)
为样本，构造一个统计量 (X1, X2, , Xn ) 来估计 参数，则称 (X1, X2, , Xn ) 为参数的估计量。
将样本观测值 x1, x2 , , xn 代入 (X1, X2, , Xn ) ， 得到的值 (x1, x2, , xn ) 称为参数的估计值。
点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量
1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
1——置信下限 2——置信上限
几点说明
或 Uk (1,2,
,m )
1 n
n i 1
(Xi
X )k
(k 1, 2,
, m)
得m个方程构成方程组，解得的 1,2, ,m 即为参数 1,2 , ,m的矩估计量，代入样本观测值，即得参数
的矩估计值。
例2 设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1， X2，…，Xn为样本，试求和2的矩估计量。
X
1 n
n i 1
Xi
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
S
2 n
估计值为
x
1 n
n i 1
xi
2
1 n
n i 1
( xi
x )2
例3 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 分布参数的矩估计量。
(1) X ~ N , 2 (2)X ~ B N, p(N已知）(3）X ~ P()
将样本观测值 x1, x2 , , xn 代入 (X1, X2, , Xn ) ， 得到的值 (x1, x2, , xn ) 称为参数的估计值。
点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量
1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
1——置信下限 2——置信上限
几点说明
或 Uk (1,2,
,m )
1 n
n i 1
(Xi
X )k
(k 1, 2,
, m)
得m个方程构成方程组，解得的 1,2, ,m 即为参数 1,2 , ,m的矩估计量，代入样本观测值，即得参数
的矩估计值。
例2 设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1， X2，…，Xn为样本，试求和2的矩估计量。
X
1 n
n i 1
Xi
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
S
2 n
估计值为
x
1 n
n i 1
xi
2
1 n
n i 1
( xi
x )2
例3 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 分布参数的矩估计量。
(1) X ~ N , 2 (2)X ~ B N, p(N已知）(3）X ~ P()
大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第6章
第6章数理统计的基本概念一. 统计的基本概念二. 统计量的分布三. 抽样分布，由大数定律：（3）则在 8.1，需确定估计区间（）。
（2）构造2σ甲μ甲μ乙μμ−→−PX1.8=x统计工作最基本内容：1.估计电视机寿命的平均值µ，估计电视机寿命的方差2.比较两厂电视机寿命值有无差别，方差有无差别。
总体样本统计量参数点估计假设检验区间估计目的：（方差同理）方法：()··21是否一致与μμ()··2221是否一致与σσ()··0是否一致与μμ()··22是否一致与σσ().,...,21n x x x 统计工作的基本步骤1.收集资料：2.统计分析：对数据整理和分析3.统计推断：i ）点估计：确定未知参数θ的估计量ii ）区间估计：确定（左，右）区间（1）参数估计：（2）假设检验：i ）推断两个总体均数是否一致ii ）推断两个总体方差是否一致iii ）推断一个总体均数有无变化iv ）推断一个总体方差有无变化⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-2221212σσμμσμθ一. 统计的基本概念()为样本一组观察值。
,21n x x x ⎩⎨⎧总体有限总体（观察值有限个）无限总体（观察值无穷多个）随机变量 X 总体⇔（n 为样本容量）研究对象观察值的全体（样本是从总体中抽取的部分个体）n X X X 21,个体：每个观察值。
独立同分布，则称()n X X X 21,为简单随机样本，简称为样本。
(),,21n X X XnX X X 21,(),...2,1,===i p x X P i i ()n n x X x X x X P ===,...,2211()∏===ni i x X P 1样本联合分布列：（1）代表性：保证总体中每个个体有同等机会被抽到。
（2）独立性：每次抽取独立进行，各个体值互不影响。
（1）离散型：总体X 的分布列()发生的概率x x x 样本点n 21,与总体同分布()n x x x F ,...,21()n x x x f ,...,21（2）连续型：总体X 的分布密度f (x )样本联合密度：（3）总体X 的分布函数F (x )样本联合分布函数为：()()()n x f x f x f 21=()()()n x F x F x F 21=()发生的可能性x x x 样本点n 21,n X X X ,,21n X X X ,,21()n X X X 21,设为总体X 的样本，()n X X X T T 21,=函数，且不含任何未知参数，称T 为统计量。
概率论与数理统计第六章
Ch 6 数理统计的基本概念§6.1 基本概念 一、总体与样本1、总体——研究对象的全体，记为X 。
2、个体——构成总体的每一个对象，记为i X 。
3、总体容量——总体中包含的个体的个数。
有限总体——容量有限；无限总体——容量无限。
为推断总体X 的分布，从总体中抽取n 个个体，则对应n 个r.v.n X X X .....2,1——来自于总体X 的一个样本。
n X X X ......,21的取值（（n x x x ,.....,21）--观测结果）称为样本的观测值，简称为样本值，整个抽取过程称之为抽样。
抽取的目的是根据样本的取值情况推断总体情况，因此应尽可能的使抽取的样本能反映总体的状况，故要求抽取的样本具有以下性质：文档收集自网络，仅用于个人学习⑴ 代表性：样本中每个r.v.i X 与总体X 具有相同的分布。
文档收集自网络，仅用于个人学习⑵ 独立性：n X X X ......,21相互独立。
——简单的随机抽样所得的样本称为简单的随机样本；若总体X 的分布函数为F （x ），则样本n X X X .....2,1的联合分布函数)().....,(121*i ni n x F x x x F =∏=。
文档收集自网络，仅用于个人学习若X 为连续型，且d.f 为f(x),且联合p.d.f 为：)()....,(121*i ni n x f x x x f =∏= 若X 为离散型，且分布律为：....2,1,)(===k p x X P k k 则联合分布律：in i i in n i i p p p x X x X x X P ....).....,(212211⋅⋅====。
...2,1.....3,2,1=in i i i 二、统计量Def:不含有任何未知数的关于样本空本空间的函数称为统计量。
e.g.1 设总体X~),(2σμN ，其中2,σμ未知，（n X X X .....2,1）为取自总体X 的一个样本，则：∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1均为统计量。
概率论与数理统计第6章
, xi
解
f x1 , x2 , , x6 ; e
x
1
x1 !
e
x
2
x2 !
e
x
6
x6 !
e
6
6
xi
i 1
n
x !
i 1 i
， x , x ,, x
1 2
6
0,1,2,
二、样本
第6章 统计量和抽样分布
14
例5
设总体 X ~ U (0, ) , ( X1 , X 2 ,L , X n ) 是取自上均匀分布总体 X 的一个样本， 0 未知， 求样本( X1 , X 2 ,
⑵当总体 X 是连续型随机变量时, 定义总体分布为
f x; θ ˆ f X x; θ , 即为总体 X 的概率密度函数.
一、总体
第6章 统计量和抽样分布
6
例1 解
设总体
X ~ B 1 ，p ，试写出总体分布律 f x; p .
,n
f ( x; p) P( X x) (1 p)1 x p x , x 0,1, 2,
二、样本
第6章 统计量和抽样分布
11
⑵ 设 X 为连续型随机变量, 概率密度函数为 f x; θ ,
则样本
X1 , X 2 ,
, X n 的联合概率密度函数为:
,Xn
f x1 , x2 ,
, xn ; θ ˆ f X1 , X 2
x1 , x2 ,
, xn
f X1 x1 f X2 x2 f x1; θ f x2 ;θ
《概率论与数理统计教学课件》6第六章.ppt
一. 总体和个体 定义 将研究对象的某项数量指标的值的全体称
为总体(母体)；将总体中的每个元素称为 个体 例1.(1) 当研究某地区中职工收入平均水平时，这地区 所有职工的月收入组成了总体；而每个职工月 收入就是个体。
(2) 研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体 就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
概率统计
随机抽样法
在概率论中所研究和讨论的随机变量，它的分布 都是已知的，在这前提下去进一步的研究它的性质、 特点和规律性。而在数理统计中所研究和讨论的随机 变量，它的分布是未知的或不完全知道的。于是就必 须通过对所研究和讨论的随机变量进行重复独立的观 察和试验，得到许多观察值(数据)，对这些数据进行 分析后才能对其分布作出种种判断。得到这些数据最 常用的方法是----随机抽样法。
的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无 限的)。但当有限总体它所含的个体的个 数很 大时也可视其为无限总体。
概率统计
二. 抽样和样本
抽样
为推断总体分布及各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以
获得有关总体的信息，这一抽取过程称为
“抽样”，所抽取的部分个体称为 样本，
样本中所包含的个体数目称为 样本容量。 例如:
同时随着计算机的诞生与发展，为数据处 理提供了强有力的技术支持，这就导致了数理 统计与计算机结合的必然的发展趋势。
目前国内外著名的统计软件包：R, SAS，SPSS， STAT 等，都提供了快速、简便地进行数据处理 和分析的方法与工具。
概率统计
数理统计研究的对象 --- 带有随机性的数据
数理统计的任务 数理统计学是一门应用性很强的学科， 它
从某批国产轿车中抽 5 辆进行耗油量试验。 这一过程即为“抽样”
为总体(母体)；将总体中的每个元素称为 个体 例1.(1) 当研究某地区中职工收入平均水平时，这地区 所有职工的月收入组成了总体；而每个职工月 收入就是个体。
(2) 研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体 就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
概率统计
随机抽样法
在概率论中所研究和讨论的随机变量，它的分布 都是已知的，在这前提下去进一步的研究它的性质、 特点和规律性。而在数理统计中所研究和讨论的随机 变量，它的分布是未知的或不完全知道的。于是就必 须通过对所研究和讨论的随机变量进行重复独立的观 察和试验，得到许多观察值(数据)，对这些数据进行 分析后才能对其分布作出种种判断。得到这些数据最 常用的方法是----随机抽样法。
的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无 限的)。但当有限总体它所含的个体的个 数很 大时也可视其为无限总体。
概率统计
二. 抽样和样本
抽样
为推断总体分布及各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以
获得有关总体的信息，这一抽取过程称为
“抽样”，所抽取的部分个体称为 样本，
样本中所包含的个体数目称为 样本容量。 例如:
同时随着计算机的诞生与发展，为数据处 理提供了强有力的技术支持，这就导致了数理 统计与计算机结合的必然的发展趋势。
目前国内外著名的统计软件包：R, SAS，SPSS， STAT 等，都提供了快速、简便地进行数据处理 和分析的方法与工具。
概率统计
数理统计研究的对象 --- 带有随机性的数据
数理统计的任务 数理统计学是一门应用性很强的学科， 它
从某批国产轿车中抽 5 辆进行耗油量试验。 这一过程即为“抽样”
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•所以
•
•结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 •的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即
•估计值为
•
•例3 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 •分布参数的矩估计量。
•解 （1）由于 •所以参数和2的矩估计量为
•（2）由于 •所以 •得参数p的矩估计量为
•
•例3 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 •分布参数的矩估计量。
•
•可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， •但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ •如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计 •量可知
•由
•查表得
•
•置信水平、置信区间
• 设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 •由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量 • 1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， •使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 •参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
•或
•
•参数的矩法估计
•矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
•或
•得m个方程构成方程组，解得的
即为参数
•的矩估计量，代入样本观测值，即得参数
•的矩估计值。
•
•例2 设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1， •X2，…，Xn为样本，试求和2的矩估计量。 •解 总体的k阶原点矩为
•样本的k阶原点矩为 •由矩法估计，应有
•解 （3）由于 •所以参数的矩估计量为
•或
•一阶矩
•二阶矩
•可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量
•存在“优、劣”之分。
•
•例4 设总体X服从[1， 2]上的均匀分布， 1<2，求 •1， 2的矩估计量， X1，X2，…，Xn为X的一个样本。 •解 由于
•所以由矩法估计，得
•解得 •区间长度的矩估计量为
•值
的邻域内的概率L()达到最大，即
•则称 为参数的极大似然估计值。
•
•参数的极大似然估计法
•求解方法： •（1）构造似然函数 •（2）取自然对数 •（3）令
•其解 即为参数的极大似然估计值。 •若总体的密度函数中有多个参数1，2，…，n，则将 •第（3）步改为 •解方程组即可。
•
•例6 假设（X1，X2，…，Xn）是取自正态总体N(,2) •的样本，求和2的极大似然估计量。 •解 构造似然函数
•
•区间估计的思想
• 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， •区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 •区间范围。
•引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 •随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， •1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
•取对数
•
•续解 •求偏导数，并令其为0
•解得 •所以μ，2的极大似然估计量为
•与矩估计量 • 相同
•
•估计量的评选标准
•——无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性*
•无偏估计量：设 是 的估计量，如果 •则称 是 的无偏估计量（unbiased estimation）
•例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在， •证明：样本均值 、样本方差 •分别是EX、DX的无偏估计。
•
•例如 及 •估计，但 比
（其中
）都是EX的无偏
有效。
•因为
•算术平均≤几何平均
•
•小 结
•参数估计的点估计方法 •数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差
•
的估计量。
•矩法估计：以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。
•或
•
•作业 P130 1，2，4 •预习 第三节 区间估计
•
•区间估计
•区间估计（interval estimation） ：如果构造两个 •统计量
•而用
来作为参数可能取值范围的估计，称为
•参数的区间估计。
•
•参数的点估计
•点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法。 •样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体 •数字特征的估计量。 •以样本均值 作为总体均值 的点估计量，即
[学习]概率论与数理统计课 件第6章
•
• 数理统计问题：如何选取样本来对总体的种种统计 •特征作出判断。 • 参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型， •但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这 •类问题称为参数估计（paramentric estimation）。
•参数估计的类型——点估计、区间估计
•点估计值 •以样本方差 作为总体方差 的点估计量，即
•点估计值
•
•例1 一批钢件的20个样品的屈服点（t/cm2）为 •4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 •5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 •4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 •试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。
•
•例5 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 的 •矩估计量。
•解 由于 •所以由矩法估计，得 •解得 •所以，参数 的矩估计量为
•
•参数的极大似然估计法
•思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则 •样本（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为
•令
•参数的估计量 ，使得样本（X1,X2,…,Xn）落在观测
•
•参数的估计量
•设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn
•为样本，构造一个统计量
来估计
•参数，则称
为参数的估计量。
•将样本观测值 •得到的值
代入
，
称为参数的估计值。
•
•点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
•
来作为参数的估计量，则称为
•参数的点估计。
•
•例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在， •证明：样本均值 、样本方差 •分别是EX、DX的无偏估计。
•证明
•
•证明
•
•有 效 性
•设 是 的无偏估计量，当样本容量n固定时，使
•
达到最小的 称为 的有效估计
•比较：若
，则 比 有效。
•例如 及 •估计，但 比
（其中
）都是EX的无偏
有效。
•解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为
•
•阶矩的概念
•定义 设 为随机变量，若
•为 的 阶原点矩，记作
•Hale Waihona Puke 存在，则称•中心矩，记作
存在，则称 ；若 为的阶
•样本的 阶原点矩，记作
•样本的 阶中心矩，记作
•
•参数的矩法估计
•矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
•若总体X的分布函数中含有m个参数1， 2， …， m， •总体的k阶矩Vk或Uk存在，则
•
•结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 •的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即
•估计值为
•
•例3 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 •分布参数的矩估计量。
•解 （1）由于 •所以参数和2的矩估计量为
•（2）由于 •所以 •得参数p的矩估计量为
•
•例3 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 •分布参数的矩估计量。
•
•可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， •但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ •如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计 •量可知
•由
•查表得
•
•置信水平、置信区间
• 设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 •由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量 • 1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， •使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 •参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
•或
•
•参数的矩法估计
•矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
•或
•得m个方程构成方程组，解得的
即为参数
•的矩估计量，代入样本观测值，即得参数
•的矩估计值。
•
•例2 设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1， •X2，…，Xn为样本，试求和2的矩估计量。 •解 总体的k阶原点矩为
•样本的k阶原点矩为 •由矩法估计，应有
•解 （3）由于 •所以参数的矩估计量为
•或
•一阶矩
•二阶矩
•可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量
•存在“优、劣”之分。
•
•例4 设总体X服从[1， 2]上的均匀分布， 1<2，求 •1， 2的矩估计量， X1，X2，…，Xn为X的一个样本。 •解 由于
•所以由矩法估计，得
•解得 •区间长度的矩估计量为
•值
的邻域内的概率L()达到最大，即
•则称 为参数的极大似然估计值。
•
•参数的极大似然估计法
•求解方法： •（1）构造似然函数 •（2）取自然对数 •（3）令
•其解 即为参数的极大似然估计值。 •若总体的密度函数中有多个参数1，2，…，n，则将 •第（3）步改为 •解方程组即可。
•
•例6 假设（X1，X2，…，Xn）是取自正态总体N(,2) •的样本，求和2的极大似然估计量。 •解 构造似然函数
•
•区间估计的思想
• 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， •区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 •区间范围。
•引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 •随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， •1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
•取对数
•
•续解 •求偏导数，并令其为0
•解得 •所以μ，2的极大似然估计量为
•与矩估计量 • 相同
•
•估计量的评选标准
•——无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性*
•无偏估计量：设 是 的估计量，如果 •则称 是 的无偏估计量（unbiased estimation）
•例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在， •证明：样本均值 、样本方差 •分别是EX、DX的无偏估计。
•
•例如 及 •估计，但 比
（其中
）都是EX的无偏
有效。
•因为
•算术平均≤几何平均
•
•小 结
•参数估计的点估计方法 •数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差
•
的估计量。
•矩法估计：以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。
•或
•
•作业 P130 1，2，4 •预习 第三节 区间估计
•
•区间估计
•区间估计（interval estimation） ：如果构造两个 •统计量
•而用
来作为参数可能取值范围的估计，称为
•参数的区间估计。
•
•参数的点估计
•点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法。 •样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体 •数字特征的估计量。 •以样本均值 作为总体均值 的点估计量，即
[学习]概率论与数理统计课 件第6章
•
• 数理统计问题：如何选取样本来对总体的种种统计 •特征作出判断。 • 参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型， •但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这 •类问题称为参数估计（paramentric estimation）。
•参数估计的类型——点估计、区间估计
•点估计值 •以样本方差 作为总体方差 的点估计量，即
•点估计值
•
•例1 一批钢件的20个样品的屈服点（t/cm2）为 •4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 •5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 •4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 •试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。
•
•例5 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 的 •矩估计量。
•解 由于 •所以由矩法估计，得 •解得 •所以，参数 的矩估计量为
•
•参数的极大似然估计法
•思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则 •样本（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为
•令
•参数的估计量 ，使得样本（X1,X2,…,Xn）落在观测
•
•参数的估计量
•设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn
•为样本，构造一个统计量
来估计
•参数，则称
为参数的估计量。
•将样本观测值 •得到的值
代入
，
称为参数的估计值。
•
•点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
•
来作为参数的估计量，则称为
•参数的点估计。
•
•例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在， •证明：样本均值 、样本方差 •分别是EX、DX的无偏估计。
•证明
•
•证明
•
•有 效 性
•设 是 的无偏估计量，当样本容量n固定时，使
•
达到最小的 称为 的有效估计
•比较：若
，则 比 有效。
•例如 及 •估计，但 比
（其中
）都是EX的无偏
有效。
•解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为
•
•阶矩的概念
•定义 设 为随机变量，若
•为 的 阶原点矩，记作
•Hale Waihona Puke 存在，则称•中心矩，记作
存在，则称 ；若 为的阶
•样本的 阶原点矩，记作
•样本的 阶中心矩，记作
•
•参数的矩法估计
•矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
•若总体X的分布函数中含有m个参数1， 2， …， m， •总体的k阶矩Vk或Uk存在，则