导数在实际生活中的应用.
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1 令L 0，即 q 21 0 求得唯一的极值点 4
'
q 84
Fra Baidu bibliotek
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
练习1: 如图,在二次函数 y 2 f(x)=4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这 个矩形的 最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
3.4 导数在实际生活中的应用
泗洪县兴洪中学高二数学组
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f ( x ) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 3 9
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
11年应用题是全卷的焦点 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等 的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合 于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个 端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问 x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。
4.问题类型
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底 边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x 解:设箱底边长为x cm，则箱高 h 2 2 3 60 x x (0 x 60) 箱子容积为V=x2 h 2
60
x
V ´=60x－3x² /2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000
当x (0,40)时，V ( x） 0; 当x (40,60)时，V ( x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值 。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
2、实际应用问题的表现形式，常常不是 以纯数学模式反映出来。
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
3、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。
1 1 2 解：收入R q p q 25 q 25q q 8 8 1 2 利润L R C 25q q (100 4q ) 8 1 ' 1 2 L q 21 q 21q 100 (0 q 200) 4 8
D P O C
A
B
10 10 y OA OB OP 10 10 tan cos cos
20 10sin y 10 cos
2
0 4
y x 2 x 20 x 200 0 x 10
10cos cos 20 10sin sin 10 2sin 1 y 2 cos cos 2
'
＝ 时ymin 10 10 3
6
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
1 价格p与产量q的函数关系式为 p 25 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
D C
A
x
E
F x
B
• 2008－17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝ 10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域 上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水 处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管 道的总长度为ykm． • （1）按下列要求建立函数关系式： • （i）设 BAO （rad），将表示成的函数； x km），将表示成的函数； • （ii）设 OP （ • （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的 位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 • 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
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q 84
Fra Baidu bibliotek
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
练习1: 如图,在二次函数 y 2 f(x)=4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这 个矩形的 最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
3.4 导数在实际生活中的应用
泗洪县兴洪中学高二数学组
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f ( x ) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 3 9
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
11年应用题是全卷的焦点 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等 的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合 于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个 端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问 x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。
4.问题类型
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底 边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x 解:设箱底边长为x cm，则箱高 h 2 2 3 60 x x (0 x 60) 箱子容积为V=x2 h 2
60
x
V ´=60x－3x² /2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000
当x (0,40)时，V ( x） 0; 当x (40,60)时，V ( x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值 。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
2、实际应用问题的表现形式，常常不是 以纯数学模式反映出来。
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
3、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。
1 1 2 解：收入R q p q 25 q 25q q 8 8 1 2 利润L R C 25q q (100 4q ) 8 1 ' 1 2 L q 21 q 21q 100 (0 q 200) 4 8
D P O C
A
B
10 10 y OA OB OP 10 10 tan cos cos
20 10sin y 10 cos
2
0 4
y x 2 x 20 x 200 0 x 10
10cos cos 20 10sin sin 10 2sin 1 y 2 cos cos 2
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＝ 时ymin 10 10 3
6
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
1 价格p与产量q的函数关系式为 p 25 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
D C
A
x
E
F x
B
• 2008－17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝ 10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域 上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水 处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管 道的总长度为ykm． • （1）按下列要求建立函数关系式： • （i）设 BAO （rad），将表示成的函数； x km），将表示成的函数； • （ii）设 OP （ • （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的 位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 • 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．