第4章小波变换(2)

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同理，我们可以一直这样推广下去做scale， 同理，我们可以一直这样推广下去做 ， 得到4n， ， 下的basis function。当然 得到 ，8n，…….下的 下的 。 在这个例子里，我们信号长度就是8， 在这个例子里，我们信号长度就是 ，所以做 就够了。 到4n就够了。但推广来说，就是这种 就够了 但推广来说，就是这种scaling对 对 母小波的作用为
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第二种选择能给我们带来额外的好处， 第二种选择能给我们带来额外的好处，那就是 我们可以循环不断地用上一级子空间的 scaling function以及 以及wavelet function的组 以及 的组 合来作为当前子空间的基。换句话说， 合来作为当前子空间的基。换句话说，如果针 V3这个子空间 它实际上就有四种不同的， 这个子空间， 对V3这个子空间，它实际上就有四种不同的， 但是等价的orthonormal basis： 但是等价的 ：
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母小波举例
假设我们有这样一个信号
：
该信号长度为8，是离散的一维信号。 该信号长度为 ，是离散的一维信号。 我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。 我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。 为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波， 为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波， 哈尔小波。下面是它的一种母小波： 哈尔小波。下面是它的一种母小波：
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4. 上上上一级(V0)的scaling function + 上上上一级(V0)的wavelet function + 上上一级(V1)的wavelet function + 上一级(V2)的wavelet function
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1. 本级 本级(V3)的scaling function basis set 的
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2. 上一级(V2)的scaling function + wavelet function;
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3 . 上上一级 上上一级(V1)的scaling function + 上上一 的 上一级(V2)的 级(V1)的wavelet function + 上一级 的 的 wavelet function;
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那如何构建基于这个母小波的基呢？ 那如何构建基于这个母小波的基呢？ 要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是ψ(2n)： 要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是 ：
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但这样的话，它与自己的内积就不是 了 但这样的话，它与自己的内积就不是1了， 不符合小波基orthonormal的要求，所以我们 的要求， 不符合小波基 的要求 要在前面加一个系数根号二， 要在前面加一个系数根号二，这样我们就得 到了另一个哈尔小波的basis function： 到了另一个哈尔小波的 ：
多看几次这三个图，你会惊讶地发现， 中的scaling 多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在V0中的 中的 function和wavelet function的组合，其实就是 中的 的组合， 和 的组合 其实就是V1中的 basis！ ！
然后V1中对应的 然后 中对应的wavelet function是 中对应的 是
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空间中， 在L^2(R)空间中，我们可以找出一个嵌套的空 空间中 间序列，并有下列性质： 间序列，并有下列性质： (i) (ii) (iii) (iv)
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第二点注意：是所有的子集相交为空集。 第二点注意：是所有的子集相交为空集。 假如有一个函数f(t)他属于一个某空间， 假如有一个函数 他属于一个某空间，那你 他属于一个某空间 将其在时域上平移，它还是属于这个空间。 将其在时域上平移，它还是属于这个空间。但 如果你对它频域的放大或缩小， 如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移 到下一个或者上一个空间了。 到下一个或者上一个空间了。
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什么是多分辨率分析方程
通过刚才的讲解， 属于 属于V1， 通过刚才的讲解，V0属于 ，那scaling function是在 是在 V0中的，自然也在 中了。我们把他写成 的基的线性 中的， 中了。 中的 自然也在V1中了 我们把他写成V1的基的线性 组合， 组合，那就是
其中的h(n)是scaling function的系数，也叫做 是 的系数， 其中的 的系数 也叫做scaling filter或者 或者scaling vector，可以是实数，也可以是虚数。 或者 ，可以是实数，也可以是虚数。 根号2是为了维持归一化 是为了维持归一化。 根号 是为了维持归一化。 同理，我们可以循环如此，把属于V0的在 的在V2, V3, …, Vn 同理，我们可以循环如此，把属于 的在 中表示出来。这些方程就是MRA equation，也叫 中表示出来。这些方程就是 ， refinement equation，它是 理论的基础， ，它是scaling function理论的基础， 理论的基础 也是小波分析的基础之一。 也是小波分析的基础之一。 23
ຫໍສະໝຸດ Baidu2011-7-5
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三角函数与小波函数的比较
无穷大的能量在 整个无穷大的区 间振荡
能量是有限的， 而且集中在某一 点附近
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小波变换的本质
精心挑选的basis来表示信号方程。 来表示信号方程。 精心挑选的 来表示信号方程 每个小波变换都会有一个mother wavelet， 每个小波变换都会有一个 ， 我们称之为母小波，同时还有一个scaling 我们称之为母小波，同时还有一个 function，中文是尺度函数，也被成为父小波。 ，中文是尺度函数，也被成为父小波。 任何小波变换的basis函数，其实就是对这个 函数， 任何小波变换的 函数 母小波和父小波缩放和平移后的集合。 母小波和父小波缩放和平移后的集合。
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某种小波的示意图： 某种小波的示意图：
从这里看出， 从这里看出，这里 的缩放倍数都是2 的缩放倍数都是 的级数， 的级数，平移的大 小和当前其缩放的 程度有关。 程度有关。这样的 好处是， 好处是，小波的 basis函数既有高 函数既有高 频又有低频， 频又有低频，同时 还覆盖了时域。 还覆盖了时域。
这是归一化后的表示形式。 这是归一化后的表示形式。
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平移母小波得到的小波基
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正交小波基的表示
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这样，我们就有了针对此信号空间的哈尔小波 组合： 这样，我们就有了针对此信号空间的哈尔小波basis组合： 组合
可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层， 可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层， 小波的数量都是上面一层的两倍。在图中， 小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数 的表达形式都写在了波形的下面。 的表达形式都写在了波形的下面。
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更加精细的scale： ： 更加精细的
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在不同的子空间， 在不同的子空间，对同一信号的诠释
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尺度函数和小波函数的结合
对于子空间V0， 对于子空间 ，basis是scaling function： 是 ：
对应的小波函数是：
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子空间V1的 集合是： 子空间 的basis集合是： 集合是
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结论： 结论：在scale j的wavelet function，可以被 的 ， 用来将Vj的 扩展到V(j+1)中去！这是一 中去！ 用来将 的basis扩展到 扩展到 中去 个非常非常关键的性质，因为这代表着， 个非常非常关键的性质，因为这代表着，对任 何一个子空间Vj， 何一个子空间 ，我们现在有两种方法去得到 它的orthonormal basis： 它的orthonormal basis： 1. 一种就是它本来的 一种就是它本来的basis 对任意k。 ，对任意 。 2. 第二种就是它上一个子空间的基 ， 对任意k，以及上一级子空间的wavelet 对任意 ，以及上一级子空间的 function 对任意k。 ，对任意 。
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用三角信号模拟方波(吉布斯现象 用三角信号模拟方波 吉布斯现象) 吉布斯现象
通俗一点解释，就是当变化太剧烈的时候，三角波拟合不过来了，就凑合出Gibbs了
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用小波拟合
只要小波basis不和 不和 只要小波 这个信号变化重叠 ，它所对应的级数 系数都为0！ 系数都为 ！也就是 说，假如我们就用 这个三级小波对此 信号展开， 信号展开，那么只 有3个级数系数不为 个级数系数不为 0。
第4章 图像变换 章
4.4 小波变换
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什么是变换？ 什么是变换？
变换什么意思呢？是一种映射。 变换什么意思呢？是一种映射。 在线性代数里， 在线性代数里，基（basis）是指空间里一系列线性独立的 ） 向量，而这个空间里的任何其他向量， 向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些向量 的线性组合来表示。 的线性组合来表示。 basis在变换里面啥用呢？ 在变换里面啥用呢？ 在变换里面啥用呢 举例：傅立叶展开的本质，就是把一个信号用三角波的线 举例：傅立叶展开的本质， 性组合表示出来。 性组合表示出来。 小波变换与傅里叶变换的不同之处在于基函数的不一样。 小波变换与傅里叶变换的不同之处在于基函数的不一样。
scaling function或者频率变换之后的 或者频率变换之后的scaling function， 或者频率变换之后的 ， 如下图所示： 如下图所示：
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上图就是四个子空间的basis集合的展览。通 集合的展览。 上图就是四个子空间的 集合的展览 过前面的讨论，我们还知道， 过前面的讨论，我们还知道，一开始的 scaling function可以通过更精细的子空间的 可以通过更精细的子空间的 scaling function（它们都是对应子空间的 （ basis）来构建。 basis）来构建。比如
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为什么要变换
为了满足不同的应用目的。 为了满足不同的应用目的。 傅里叶变换。 如：要分析信号的频谱图——傅里叶变换。 要分析信号的频谱图 傅里叶变换 要对信号进行压缩——希望这个基函数能用最 希望这个基函数能用最 要对信号进行压缩 少的向量来最大程度地表示信号。 少的向量来最大程度地表示信号。
任何小波和常量函数的内积都趋近于0。 任何小波和常量函数的内积都趋近于 。
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小波变换的定义
其中 是母小波， 是父小波（为多分辨率 是母小波， 是父小波（ 分析）。 分析）。 需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波 需要提醒一点的是， 分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换 分析的方便而引入的特性， 的基就一定必须是正交的。 的基就一定必须是正交的。
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尺度函数（ 尺度函数（scaling function ）
父函数用 表示
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Lebesgue空间 空间
在数学定义中，有一种空间叫 空间， 在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间， 空间 对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示， 表示， 对于信号处理非常重要，可以用 表示 指的是由p次可积函数所组成的函数空间 次可积函数所组成的函数空间。 指的是由 次可积函数所组成的函数空间。我 们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R) 们在小波变换中要研究的信号都是属于 空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积 空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积 的可测函数的集合， 的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了 一个限制，就是信号能量必须是有限的， 一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则 它就不可积了。 它就不可积了。
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小波变换与傅里叶变换区别举例
用傅里叶变换 表示较简单只 需一个系数a0 需一个系数
所有的傅立叶级数都 为非0了 为非 了！因为傅立 叶必须用三角波来展 开信号，对于这种变 开信号， 换突然而剧烈的信号 来讲， 来讲，即使只有一小 段变换，傅立叶也不 段变换， 得不用大量的三角波 去拟合。 去拟合。