有限元讲义

§ 1.4 协调、非协调、广义协调及分电检验 1、4、0 引

以有限元数值分析的技术实现为目的本门课程，不仅要求学生能够进行实际的工程运算；另一方面也需要对解的收敛及精确性有所了解，是能从细节计算到理论性质都有所把握，这样，才能做到全面深入有助于对解结果得理论分析，此为基本之目的。 1、4、1 协调、非协调介绍

位移法有限元以Ritz 的结构最小有限元为基础，该原理在数学上是一个泛函极值（变分）问题，系统势能可以表为以下数学形式：

π=νϖ+=1/2⎰Ω

Ωd T εσ - ⎰Ω

Ωd p u T ' - ⎰Ωt

T d p u '' (1)

δπ＝0 。

表述为：在所有满足内部连续性和运动学边界条件的位移中满足平衡方程的位移使系统势能取驻值。如果驻值是极小点的，则平分行是稳定阶。

又：对于精确于问题的位移函数，系统势能的变分可求得关于问题应满足的所有微分方程：平衡方程边界条件（几何关系及物理方程是自然满足的）

遗憾的是精确位移难得寻找，故一般采用泛函的极小化序列逼近方法。类似于傅立叶级数逼近函数那样，把无穷维空间用有限空间去逼近。在有限元当中，当元素尺寸趋近于0时（即节点数目或节点自由度数趋于∞时），最后的解答若能无限逼近准确解，那么这样的位移函数（或形状函数）就称为收敛的，因此从收敛性及算收敛速度方面提出几点对形状函数的要求： ①、函数本身及其导数应在元素上连续，并含有常数部分；

②、元素之间的位移协调，不仅节点处的位移应当协调，沿整个内边界上的位移也应当协调（或称相容 ）。

③、多项式的项数越多越好，因用高次比低次多项式收敛快。 ④、含有刚体位移（平动包含常数项，转动包含线性项）。

协调之： 即满足①、②条件的形状函数的元素，当然能满足3) 4)条件协调 元的收敛率就更高。 协调元的性质：

1) 能够以单调趋势逼近于正确解。如曲线①. 2) 势能总是大于最小状态，故解得上界。 3) 近似刚度k 偏大，即元素偏“硬”。 4) 近似的位移偏小，即求得位移的下界。 能够以单调趋势逼近于正确解。如曲线②.

势能总是大于最小状态，故解得上界。 近似刚度k 偏大，即元素偏“硬”。 近似的位移偏小，即求得位移的下界

非协调元：在弹性力学中，如板弯曲，相邻元素不仅要求位移本身连续，而且要求位移的导数连续（板弯边界上的相容性）

。而在工程上能够保证导数相容的

内力势能 体力势能 面力势能

给点数 ①

② ③

④

形变往往难以找到，以致工程上只能采用违反相容原则的一些形状函数，由违反相容原则的形函所构成的元素称为非协调元。 非协调元性质：

①、不能以最小位能原理作为它的理论基础。 ②、解的趋势可能收敛，可能不收敛，（取决于网格划分）。对于收敛的趋势也未必满足单调性。可能收敛曲线如图中②。

例：

节点位移系统：｛e δ｝＝⎪⎪⎪

⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂k k k j j j i i i y w x w w y w x w w y w x w w ,

,,,,,

位移形函：

W=C 1L 3

1+C 2L 21L 2+C 3L 21L 3+C 4L 32+C 5L 22L 1+C 6L 22L 3+C 7L 33+ C 8L 23L 2+C 9L 23L 2+C 10L 1L 2L 3

L i =( a i + b i x + d i y )/2∆

a i = x j y k - x k y j ;

b i = y j - y k ; d i = - x j + x k 。 代入节点位移参数：

可得：w=[ N 1 … N 10 ]{e δ}

变换一下写法：w=[ H 1 H X ,1H Y 1 H 2 H X 2 H Y 2 H 3 H X 3H Y 3 H 4 ] {e δ} H i = L 2i (3 – 2L i ) –7L 1L 2L 3

H x i , = L 2i ( d 2+i L 1+i – d 1+i L 2+i ) + ( d 1+i – d 2+i )L 1L 2L 3 H y i , = L 2i ( b 1+i L 2+i – b 2+i L 1+i ) + ( b 2+i – b 1+i ) L 1L 2L 3 H 4 = 27 L 1L 2L 3

下标按循环计算

上述元素只能在结构上做到位移导数连续，在边界上其他点处，位移的法向导

i j Q i x

Q i y

i

j k

i +2=k

数并不连续，这因为：由于法向导数是一个完全的二次多项式，在元素的每条边上，其变化规律位一条二次抛物线，需要三个点上法向导数的相等条件才能维一确定，故相邻两条曲线一般不全重合。 故所举三角板弯元为非协调元。

例 ②书P 53的矩形元，由于坐标的交叉双乘积（不完备），可发现不该是w 或其导数

y

x ∂∂，y w

∂∂ 都是连续的，这样只要节点的这些参数相同，边界上的这些是没有问题的，但展开 N 的项，可以发现x 2y 2项，或者说缺少了代表热率变形的一项，因此，作为形状函数，是不能保证向正确的解答收敛，因而是非协调元。

改进方案之一，是在节点处增加节点参数y

x w

∂∂∂2，并采用完全的埃尔米特三次多

项式。 §1、4、2 非协调元的排先检检验

协调元虽可以保证总位能从上往下地正确结果单调收敛，但往往过于复杂，使用麻烦。

在工程上往往使用形式简单的非协调元，自然，最小位能原理对此不再适用，那么在什么条件下，这类元素才能导致向正确解收敛呢？ Irons 提出了一个称作“拼片实验”（patch test ） 的检验方法。实践表明，这种检验方法是有效的，但“拼片实验”的理论证明尚不清楚。拼片试验内容为“假设由若干元素拼成的一个任意拼片处于等应力状态，这时，其位移函数w( x , y ) 一般可用一m 阶完全多项式函数 P m ( x , y ) 表示，（入在薄板问题中，m=2） ，而且，在这一拼片的边界上，也设置了符合等应变状态的位移边界条件。然后，将需要检验的某种元素按此条件进行计算。如果最后得到的有限元法解答能和P m ( x , y ) 一致，那么，称这种元素能够通过拼片试验，而通过拼片试验的元素将给出收敛的结果。注：P m ( x , y ) 至少应能代表各种等应变状态。 如： 拼片： 9节点参数三角变元

*拼片test 实 际上成为非协调元的收敛准则 （1） ②