离散数学第六章 群论
离散数学中的代数系统与群论
离散数学是数学中重要的一个分支，它研究离散对象和离散结构。
在离散数学的范畴中，代数系统是一个非常基础而重要的概念。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，它研究了这些操作的性质和规律。
而群论是代数系统研究的一个重要方向，它研究了代数系统中的群的性质和特点。
代数系统是离散数学的重要概念之一。
它是一个三元组(S, F, Ｏ) ，其中S是一个非空集合， F是定义在S上的一组操作，Ｏ是与操作F相适应的元素关系。
代数系统可以是代数学、逻辑学、计算机科学等领域的基本概念。
在代数系统中，操作具有封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质。
代数系统可以有多种形式，如群、环、域等。
而群论就是研究代数系统中的群的性质和规律。
群论是代数系统研究的一个重要方向。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质的代数系统。
在群论中，我们研究了群的基本性质和规律。
群论有两个基本概念：子群和同态。
子群是群中的一个子集，并且仍然满足群的定义。
同态是两个群之间的一个映射，并且保持了一些重要的性质。
群论在数学中有广泛的应用。
它在几何学、物理学、密码学等领域中都有应用。
在几何学中，群论被应用于对称性的研究，帮助我们理解对称性的本质和规律。
在物理学中，群论被用于对物理规律和物理现象的数学描述。
在密码学中，群论被应用于设计和分析密码系统，保证信息的安全性。
总的来说，离散数学中的代数系统与群论是数学中重要的研究方向。
代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，而群论研究了代数系统中的群的性质和规律。
群论在数学以及其他领域中有广泛的应用。
它不仅为我们解决实际问题提供了新的思路和方法，也帮助我们理解了离散数学中的一些基本概念和原理。
因此，学习和掌握离散数学中的代数系统与群论是非常重要的，它们对我们提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
离散数学中的群论和群表示
离散数学是研究离散结构的数学学科，而群论是其中一个重要的分支。
群论研究的是集合上的代数结构，它是数学中一种最基本、最抽象也是最重要的代数结构之一。
而群表示则是将一个群的元素用矩阵或线性变换表示的方法，它在研究群论以及其他数学领域中都有广泛的应用。
首先，让我们来了解一下群论的基本概念。
一个群是一个集合，配以一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等四个基本性质。
群论的研究对象可以是各种各样的集合，比如整数、矩阵、几何变换等，它们在群运算下具有不同的性质。
群论的基本性质包括群的封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等，这些性质很大程度上影响着群的结构和性质。
群论的应用范围十分广泛，从代数几何到量子力学，从密码学到编码理论，都离不开群论的应用。
群论在密码学中的应用，比如RSA加密算法、椭圆曲线加密算法等，能够保障数据的安全性。
在编码理论中，群论可以用来研究调制解调、编码纠错等问题。
群论在物理学中的应用也是非常重要的，比如量子力学中的对称群和轨道角动量的群表示等。
群表示是研究群的元素如何被矩阵或线性变换表示的方法。
群表示可以用来研究群的性质和结构，它将抽象的群元素转化为具体的矩阵或线性变换，使得我们能够更方便地研究群的性质。
群表示的基本概念包括等幺同态、不可约表示、经验公式等。
群表示的研究在量子力学、几何代数、图论等领域都有广泛的应用。
总之，离散数学中的群论和群表示是研究代数结构和抽象结构的基本工具。
群论研究的是集合上的代数运算，而群表示则是将群的元素用矩阵或线性变换表示的方法。
群论和群表示在密码学、编码理论以及物理学等领域都有重要的应用，它们为我们理解和解决问题提供了有效的数学工具。
对于离散数学的学习者来说，深入理解群论和群表示的概念和方法，对于提升数学素养和解决实际问题都是非常有帮助的。
离散数学 第六章的 ppt课件
例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。
符号化表示为： A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
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书本88页
例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章－的 ∪∩A)＝b。
26
6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
离散数学中的群论和置换群的逆元
群论是离散数学中一个重要的分支，它研究的是集合上的一种代数结构。
群论的研究对象是一种特殊的代数结构，即群。
群是一个有限或无限集合，上面定义了一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
在群论中，置换群是一种重要的群结构。
置换群是由一组有限的置换构成的群，它和对称性的概念密切相关。
在置换群中，逆元的概念也十分重要。
在置换群中，每个置换都可以看作是一种重排，它将集合中的元素按照一定规则进行了重新排列。
而置换群的逆元就是将这种重排的操作进行了逆向操作。
具体而言，对于一个置换群中的元素a，如果存在一个元素b在该群中，使得a 和b进行相互重排后得到的结果是集合中的每个元素都恰好一样，那么b就是a的逆元。
置换群的逆元的存在性是群论中的重要性质之一。
事实上，逆元的存在性是群论中一个基本的公理，它是群运算的基础。
所有的群都满足逆元存在性，并且具有相应的性质。
置换群的逆元的求解方法也是群论中的一个重要问题。
根据置换群的性质和逆元的定义，可以使用多种方法来求解置换群的逆元。
其中一种常见的方法是通过交换和反转操作来求解逆元。
具体而言，对于一个置换群中的置换，可以通过先进行交换操作，然后再进行反转操作，来得到该置换的逆元。
置换群的逆元在离散数学中具有广泛的应用。
它在密码学中的应用尤为重要，例如在公钥密码学中，通过求解置换群的逆元问题，可以实现对称密钥的生成和加密解密过程的安全性。
此外，在图论、编码理论等领域中，置换群的逆元也有着重要的应用。
综上所述，离散数学中的群论和置换群的逆元是一个重要的研究内容。
通过对群的性质和逆元的定义进行深入研究，可以获得对离散数学和相关领域理论的深刻理解。
对于解决实际问题，如密码学和图论等领域的应用问题，群论和置换群的逆元给予了重要的方法和工具。
离散数学中的群论和有限群分类定理
群论是离散数学中的重要分支，研究集合上的一种二元运算，需要满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
在群论中，群是指一个集合G以及G上的一个二元运算组成的结构。
群需要满足四个性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。
封闭性指的是对于任意的a、b∈G，a b也属于G；结合律指的是对于任意的a、b、c∈G，(a b)c=a(b c)；单位元指的是存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a e=e a=a；逆元指的是对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a b=b a=e。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
有限群是指元素个数有限的群。
有限群分类定理说明了任意一个有限群都可以被分解成若干个单群的直积。
一个单群是指除了单位元外，没有其他真子群的群。
有限群分类定理指出，任意一个有限群都可以被表示为若干个单群的直积，其中每个单群可以有不同的重复次数。
这样的分解方法是唯一的。
有限群分类定理的证明十分复杂，涉及到许多高级群论的概念和工具，如正规子群、陪集、同态映射、共轭等。
证明过程中使用了许多数学技巧和方法，如数学归纳法、反证法、构造法等。
有限群分类定理的应用非常广泛。
在代数几何、组合数学、密码学等领域都有运用。
例如在密码学中，公钥密码体制中的群是密码算法的基础，有限群分类定理提供了使用一些特殊类别的群的可行性。
综上所述，群论和有限群分类定理是离散数学中的重要内容。
群论研究集合上的一种二元运算，有限群分类定理描述了有限群的分类和结构。
它的应用广泛且重要，对于理解和应用群论有着重要的意义。
对于研究者来说，深入理解群论和掌握有限群分类定理是探索数学更深层次的必经之路。
离散数学-群论-代数系统-深底
布尔代数
• 摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知 道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册 子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的 预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开 辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻 辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简 单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的"推 理"，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去 在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简 单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使 自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时 间里，又付出了不同寻常的努力。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。
• 但事情的发展似乎突然停了下来.
• 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式.
• 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴 黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了 , 不得不进入较普通的师范学校.
伽罗华
• 1828年，他把自己所写的论文送交法国 科学院审查，同年6月该科学院曾举行例 会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著 名数学家审查，但由于重视不够，原稿 被柯西弄丢了。
• 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论的创始人.
Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), France
Died: 31 May 1832 in Paris, France
环论
• 环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及 戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。
离散数学课件第六章(第2讲)
《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n
I+有（1）xmxn=xm+n
（2）(xm)n=xmn
证明： （1） xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
n
n-1
=….= xm+n
（2）(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
例：设M= {0º,60º,120º,240º,300º,180º}表示平面上几何图形 顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一 元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到 360º时即为0º，试验证<M ,*>是一个群。
* 0º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 0º 60º 120º 180º 240º 300º 60º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 120º 120º 180º 240º 300º 0º 60º 180º 180º 240º 300º 0º 60º 120º 240º 240º 300º 0º 60º 120º 180º 300º 300º 0º 60º 120º 180º 240º
例： <I ,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I ,min>， 其中min(x1,x2)取二者之小值，均不为独异点（不存在幺 元）。<N ,max>则为独异点，其中 e =0
《定义》：设< S ,* >是一半群，TS，且*在T上是封闭的， 那么< T ,* >也是半群，称< T ,* >是< S ,* >的子半群。
离散数学 群论
定理6.1 一个半群(S, O)，若它又一个子代数 (M, O)，则此子代数也是一个半群. 定义6.2 一个半群(S, O)的子代数(M, O)，也是 半群，叫做半群(S, O)的子半群. 一个半群(S, O)对它的任一元素a，可以定义 它的幂 a1=a，a2=aa，…，an+1=an a 有(1) aman=am+n，(2) (am)n=amn 若a2=a，称a为等幂元素.
群的第二定义
定义6.12 一个代数系统若满足下列条件，则 称为群 （1）满足结合律 （2）如果a，b ∈ G，则方程式a O x=b 与 y O a=b 在G内有唯一解
定义6.13 设（G，O ）与（H，*）是两个群， 若存在一个函数g：G→H,使得对每个a，b ∈ G有g(a O b)=g(a) * g(b)则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同态 如果g：G→H是一一对应的，则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同构
但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其 中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家 欧拉(Euler), 但没有一个人能找出五次 方程的求根公式.
拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在.他预见到一般 方程的可解性问题最后将归结到关于诸根 的某些排列置换问题。
他放弃了一切希望, 参加了国民卫 队. 在那里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫队即遭控告阴谋造反 而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗 议聚宴上, 伽罗华手中举着出鞘的刀提 议为国王干杯, 这一手势被同伙们解释 成是要国王的命；第2天他就被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释.
§ 6.1
半群与单位半群
定义6.1.1 设S是一个非空集合，若“O” 为S 上的二元代数运算，且满足结合律，则称 该代数系统（S，O ）为半群。即:对S内的 任意元素a,b,c,有(ab)c=a(bc) 一个半群，如果其运算又满足交换律， 则称其为可换半群. 例1 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算， 则（ρ（S），∩）为半群，（ρ（S），∪） 为半群。
离散数学第六章的课件
05 离散随机变量
随机变量的定义与性质
随机变量定义
随机变量是从样本空间到实数的可测 函数，用于描述随机现象的结果。
随机变量性质
随机变量具有可测性、可加性和可数 性等性质，这些性质在概率论和统计 学中具有重要应用。
离散概率分布
离散概率分布定义
离散概率分布描述的是随机变量取离散值时的概率规律，通 常用概率质量函数或概率函数表示。
离散概率分布性质
离散概率分布具有非负性、归一性和可数性等性质，这些性 质是离散概率分布的基本要求。
期望与方差
期望定义
期望是随机变量所有可能取值 的概率加权和，是描述随机变 量取值“平均水平”的重要指
标。
期望性质
期望具有线性性、可加性和正 定性等性质，这些性质在概率 论和统计学中具有重要应用。
方差定义
感谢您的观看
THANKS
方差是描述随机变量取值分散 程度的重要指标，是随机变量 与期望之差的平方的期望。
方差性质
方差具有非负性、归一性和可 加性等性质，这些性质是方差
的基本要求。
06 离散概率论的应用
蒙提霍尔问题
总结词
蒙提霍尔问题是一个著名的概率论问题，涉 及到概率论中的独立性概念和组合数学。
详细描述
蒙提霍尔问题是一个经典的组合数学问题， 它涉及到概率论中的独立性概念。该问题问 的是，如果有n个盒子，每个盒子被选中的 概率是1/2，那么在最优策略下，选中至少 一个盒子的最有可能的盒子数是多少？这个 问题涉及到概率论中的独立性概念和组合数
学。
抓阉问题
要点一
总结词
抓阉问题是一个经典的离散概率论问题，涉及到概率论中 的随机性和独立性概念。
要点二
离散数学第六章
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
离散数学 群论
(a ) a
nm
6.2.4 循环群
循环群：若一个群 (G ,) 的每一个元素均是它 的某一个固定元素a的某次方幂。
生成元
周期：设(G ,)是一个群，a∈G若存在m，使得
* e 0 1 e e 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
说明({0,1},*)不是(S,*)的子单元半群。
单 位 元？
解：在(S,*)中e*e= e*e= e e*1= 1*e=1 e是单位元。
e*0= 0*e=0
半群与单元半群
3.可换（单元）半群：一个（单元）
半群，如果其运算又满足交换律。
+4 [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
[i]+4[j]=[(i+j)mod4]
群-练习
在整数集合I上，定义二元运算为 a◦b=a+b-2 群？
代数系 统
生成集
半群与单元半群
半群的性质：
一个循环半群一定是可换半群
一个半群的任一元素a和它所有的幂
组成一个由a生成的循环子半群。
单元半群性质
☺一个有可列个元素的单元半群的运算组合表
的每行（列）内容均不相等； 例 设M={1,a,b,c,d,……}，(M,◦)是半群 ◦ 1 a b c d . . 1 1 a b c d a b c d …. a b c d …. …. …. …. ….
6.2.2 变换群
一个函数f:XX中,如果是一一对应函数,则此 函数称为X的变换。
例 设S={1,2}
离散数学——群论
群的性质
其中Z 【例3】设有群〈Z6，⊕6〉,其中 6={0,1,2,3,4,5}, 】设有群〈 其中 ⊕6是模 加法 试求出群〈Z6，⊕6〉中每一元素 是模6加法 试求出群〈 加法,试求出群 的阶。 的阶。
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群的性质
【练习3】求群<Z,+>, <Zn， ⊕n>及<P(S), ⊕>中 练习 】求群 及 中 各元素的阶。 各元素的阶。
8
群的基本概念
4) 每个元素存在逆元： 每个元素存在逆元： 对于任意a∈ 设 存在且a 对于任意 ∈S,设a-1存在且 -1 ∈S ，则
a ∗ a −1 = 0 −1 * a = 0 a
a + a −1 + a a −1 = 0 即 a −1 + a + a −1a = 0
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群的性质
6.群中元素的阶 群中元素的阶 定义】元素的阶(Order)： 【定义】元素的阶 ： 是群， ∈ ， 设<G, >是群，a∈G， 是群 的最小正整数k称 的阶 记作|a| 的阶， 使ak=e的最小正整数 称为a的阶，记作 。 的最小正整数 如果这样的 不存在，则称a的阶是无限的 这样的k不存在 的阶是无限的。 如果这样的 不存在，则称 的阶是无限的。 注: (1) |a| = |a-1| (2) |e| = 1
6
群的基本概念
2) 运算 满足结合律： 运算*满足结合律 满足结合律： 任意a， ， ∈ ， 任意 ，b，c∈S，有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc,且 且 a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc, 所以， 满足结合律。 所以，(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合律。 ， 满足结合律
离散数学 第五-六章
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群
#Ex2：(G,）是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则 ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍) 证明：⑴ 充分性，已知k=mn (m∈I) ak= amn=(an)m= em =e ⑵ 必要性，已知ak=e ， a的阶为n，即 an=e , 假设k不是n的整数倍，令 k=mn+t m,t∈I, 0<t<n t=k-mn at= ak-mn= aka-mn= e(an)-m =e-m = e 由于at=e，而 t<n，与 a的阶为n矛盾。 所以 k是n的整数倍。即 k=mn (m∈I)。 思考题：上例中R4=S; L4=S R和L的阶都为4；而R-1=L 由此可以得到什么结论？
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2.可换群（阿贝尔群）
定义2: 设（G, * ）是群,运算*是可交换的，则称它是可 换群。 例如（I,+）,（R,+） ,（P(E), ）都是可换群。
3.子群
定义3：设（G, * ）是群, 如果（G, * ）的子系统（H , *） 也是群，则称（H , * ）是（G, * ）的一个子群
即如果（H , * ）满足： ⑴ 任何a,b∈ H 有a * b∈ H, (封闭) ⑵幺元 e∈ H, (有幺元) ⑶任何a∈ H 有a-1∈ H, (可逆) 则称（H, * ）是（G, * ）的子群。 例如：（I,+）是（R,+）的子群。
例如： 判断（I,+）,（R,+） ，（P(E), ）， （R,×） 及（P(E), ∩）是否为群？请说明理由。 解：（I,+）,（R,+）幺元是 0，每个x的逆元是 -x 。 （P(E), ）幺元是Φ ，因任何X∈P(E) XX=Φ ∴X-1=X， ∴（I,+）,（R,+）,（P(E), ）是群。 而 （R,×） ,（P(E), ∩）都有幺元，但不是群。
第六章 群论
所以，三个对称面等价。
7
量子化学
3 对称点群
分子点群：对称操作的完全集合构成的群——对称点群。 例1： G = {v, v2 = E} 逆元素 v-1 = v 例2： G = {E, C2, v(1), v(2)} H2O： C2V 点群 FONO: Cs 点群
单位元: E; 封闭性. v v = v2 = E, vE = v
1+2=3 1 + 2 + 3 = ( 1 + 2 ) + 3 = 1+ ( 2 + 3 ) = 6
满足封闭性 满足结合律 0是单位元素 n有逆元素-n
0+3=3+0=3
n + ( -n ) = 0
乘法表
由于所有对称元素 都经过一个共同点， 因此把这种群称为 点群
2
量子化学
2 群的乘法表 a. 重排定理： 群的乘法表中每一行或每一列中每个元素都出现一 次，只是排列次序有所不同，这称为重排定理。 b. 构造乘法表
F F S F F
21
F F
量子化学
4 分子对称性的分类
c. Ih 群：正三角形二十面体或正五边 形十二面体的对称操作的 集合构成这个群。
22
量子化学
6.3 群的表示
1 群的表示矩阵
C2V 点群
选择x, y, z 为基 ——— 三维表示 在对称操作下，点的变换
23
量子化学
6.3 群的表示
1 群的表示矩阵
Sn仅当n为偶数时存在，对于n为 奇时恒等于Cnh群。
S4
1,3,5,7-四甲基环辛四稀
S2 = I
16
量子化学
4 分子对称性的分类
离散数学第六章
离散数学第六章第二部分集合论引言集合是数学中最为基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。
集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。
G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。
1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。
1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。
1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。
然而，朴素集合论中包含着悖论。
第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。
1901年罗素发现了有名的罗素悖论。
1932年康托尔也发表了关于最大基数的悖论。
集合论的现代公理化开始于1908年E.策梅罗所发表的一组公理，经过A.弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。
另外一种系统是冯*诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。
K.哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，P.J.科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。
现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
本部分主要介绍朴素集合论的主要内容，其中包括集合代数（第六章）、二元关系（第七章）、函数（第八章）、集合的基数（第九章）等。
本部分的先行知识及各部分的关系如下图所示：6.1 集合的基本概念一．集合的表示集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；……集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，前一种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。
群论及应用ppt课件
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
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第6章 群论 章
定义6.9 一个群 ，° )如果它的一个子代数 ，° ) 一个群(G， 如果它的一个子代数 如果它的一个子代数(H， 定义 也是一个群，则称 ， 是 ， 的一个群 的一个群。 也是一个群，则称(H，° )是(G，° )的一个群。 定义6.10 一个群 ，° )如果它的元素个数是有限 一个群(G， 如果它的元素个数是有限 定义 的，则称为有限群。如果它的元素个数是无限的， 则称为有限群。如果它的元素个数是无限的， 则称为无限群。 则称为无限群。 定义6.11 一个群 ，° )的阶记为 ，如果一个群 一个群(G， 的阶记为 的阶记为|G|， 定义 是有限群，则阶为元素个数，如果一个群为无限群， 是有限群，则阶为元素个数，如果一个群为无限群， 则阶为无穷大。 则阶为无穷大。
第6章 群论 章
由群表可知，一个阶为 的有限群 的有限群(G， ， 由群表可知，一个阶为n的有限群 ，* )，它 的每个元素对应G的一个置换，就是说： 的每个元素对应 的一个置换，就是说： 的一个置换 设有有限群(G， ，其中G={a1, a2, …, an}，则 设有有限群 ，* )，其中 ， 存在一个函数φ： 存在一个函数 ：
第6章 群论 章
4、群的同构 、 定义6.13 设(G，° )与(H，*)是两个群，若存在一 是两个群， 定义 ， 与 ， 是两个群 个函数 g : G → H，使得对每个 b ∈G ，有 ，使得对每个a, g (a ° b) = g (a ) * g (b ) 则称g是从 (G，° ) 到 ( H, * ) 的群同态。 的群同态。 则称 是从 ， 是一一对应的， 若 g : G → H 是一一对应的，则称 g 是从 (G，° ) ， 到 ( H, * ) 的群同构。 的群同构。
a1 ϕ (a i ) = a i ∗ a1 a2 L an = p ki ai ∗ a2 L ai ∗ an ( i = 1, 2, L , n)
第6章 群论 章
群表的特性： 群表的特性： (1) 总存在一行（或一列）其元素与横线上（或竖 总存在一行（或一列）其元素与横线上（ 线左边）的元素一样。 线左边）的元素一样。 (2) 每一行（列）内元素各不相同，且任两行（列） 每一行（ 内元素各不相同，且任两行（ 对应元素间也均不相同，故群表每一行（列）是 对应元素间也均不相同，故群表每一行（ G中元素的一个全排列。 中元素的一个全排列。 中元素的一个全排列 (3) 若群是可换群，则群表是对称的。 若群是可换群，则群表是对称的。
仍是字母串。 得Computer仍是字母串。 仍是字母串
第6章 群论 章
定理6.1 一个半群 ，°)，如果它有一个子代 一个半群(S， ， 定理 则此子代数也是一个半群。 数 (M，° ) ，则此子代数也是一个半群。 ， 定义6.2 一个半群(S，°)的子代数 (M，° )也是 定义 一个半群 ， 的子代数 ， 也是 半群，称为 ， 的子半群 的子半群。 半群，称为(S，°)的子半群。
第6章 群论 章
2、群的一些性质 、 （1） 群满足消去律 ） （2） 一个阶大于 的群一定没有零元 ） 一个阶大于1的群一定没有零元 （3）除了单位元外，一个群一定没有等幂元素。 ）除了单位元外，一个群一定没有等幂元素。 （4）一个群(G，° )的方程：a °x = b 与 y °a = b，其 ）一个群 ， 的方程： 的方程 在群内有唯一解。 中 a, b ∈G 在群内有唯一解。
第6章 群论 章
定理6.5 一个单位半群 ，°)，如果存在一个 一个单位半群(S， ， 定理 子代数 (M，° ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M，° ) ， ， 也是一个单位半群。 也是一个单位半群。 定义6.5 一个单位半群 ，°)，如果存在一个 一个单位半群(S， ， 定义 子代数 (M，° ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M，° ) ， ， 也是一个单位半群，称为 ， 的子单位半群 也是一个单位半群，称为(S，°)的子单位半群 。
第6章 群论 章
例：下面半群都是单位半群 (I,+)单位元素是 ，可记为 单位元素是0，可记为(I,+,0); 单位元素是 (I,×)单位元素是 ，可记为 ×,1) ； × 单位元素是 单位元素是1 可记为(I,× ( X *，° )单位元素是 空串 ， 单位元素是Λ(空串 单位元素是 空串) 可记为( X *，° ,Λ) ； 可记为 (ρ( E), ∪)单位元素是 ，可记为 E), ∪, φ) ； 单位元素是φ 可记为(ρ( 单位元素是 (ρ( E), ∩)单位元素是 ，可记为 E), ∩,E) 。 单位元素是E 可记为(ρ( 单位元素是 (N4，+4)单位元素是 ，可记为 4，+4， [0] ) 单位元素是[0] 可记为(N ， ， 单位元素是 ， (N4， ×4)单位元素是 ，可记为 4， ×4 ， [1] ) 单位元素是[1] 可记为(N ， 单位元素是 ，
第6章 群论 章
定理6.9 ：设(G，° )与(H，*)是两个群，有一个函数 是两个群， 定理 ， 与 ， 是两个群 g : G → H 使其群同态，则有 使其群同态，
g (e G) = e H
g (a-1) = g (a)-1
定理6.9 ：设(G，° )是一个群，若(G，° )与(H，*)满 是一个群， 定理 ， 是一个群 ， ， 满 同态或同构，则(H，*)也构成群。 同态或同构， ， 也构成群。 也构成群
第6章 群论 章
例如： 是群， 例如：(I,+)是群，因 a ∈I 都有逆元 - a ； 是群 (N4，+4)是群 的逆元是 ，[1]的逆元是 ， 是群,[0]的逆元是 的逆元是[3]， 是群 的逆元是[0]， 的逆元是 [2]的逆元是 。 的逆元是[2]。 的逆元是 (I,×)， ( X *，° )，(ρ( E), ∪) ，(ρ( E), ∩), ×， ， ， (N4，× 4)均不是群。 均不是群。 均不是群 定义6.8 一个群 ，° )如果满足交换律，则称为 一个群(G， 如果满足交换律 如果满足交换律， 定义 可交换群或称阿贝尔群。 可交换群或称阿贝尔群。 例如： 都是阿贝尔群。 例如：群(I,+)， (N4，+4)都是阿贝尔群。 ， 都是阿贝尔群
第6章 群论 章
定理6.2：一个循环半群一定是可交换半群。 定理 ：一个循环半群一定是可交换半群。 定理6.3： 定理 ：一个半群内的任一元素 a 和它所有的 所生成的循环子半群。 幂组成一个由 a 所生成的循环子半群。 (3) 单元半群（或单位半群）：有单位元素 的半 单元半群（或单位半群）：有单位元素e的半 ）：有单位元素 群(S，°)，常记为 ，°，e)。 ， ，常记为(S， 。
第6章 群论 章
2、一些特殊半群。 一些特殊半群。 一些特殊半群 (1) 可交换半群： 如果半群 ，°)中二元运算°是可 可交换半群： 如果半群(S， 中二元运算 中二元运算° 交换的，则称(S， 是可交换半群。 交换的，则称 ，°) 是可交换半群。 例如： 例如：(I,+)，(I,×)， (ρ( E), ∪) ，(ρ( E), ∩) (N4， ， ×， + 4) , (N4，×4)均是可交换半群。但( X *，° )不是 均是可交换半群。 不是 均是可交换半群 可交换半群。 可交换半群。 (2) 循环半群：一个半群 ，°)如果它的每个元素 循环半群：一个半群(S， 如果它的每个元素 均为S内某一固定元素 的某一方幂， 均为 内某一固定元素 a 的某一方幂，则此半群 称为由 a 所生成的循环半群，元素 a 称为此半群 所生成的循环半群， 的生成元素。 的生成元素。
第6章 群论 章
二、变换群 定义6.14 集合 上的若干个变换与复合运算若构 集合S上的若干个变换与复合运算若构 定义 成群，则此种群叫变换群。 成群，则此种群叫变换群。 定理6.9 ：任一个群均与一个变换群同构。 任一个群均与一个变换群同构。 定理
第6章 群论 章
三、有限群 群表：对有限群， 群表：对有限群，可用一张组合表将其运算表示出 来，称为群表。 称为群表。 设有限群(G， ，其中G={1，2，3}，这个 设有限群 ，* )，其中 ， ， ， 群可用表6.3所示的群表定义 群可用表 所示的群表定义 表6.3 * 1 2 3 1 2 3 1 2群
一、群与群的同构 1、群的有关定义 、 定义6.7 如果代数系统 ，° )满足 如果代数系统(G， 满足 定义 （1） (G，° )为一半群； 为一半群； ） ， 为一半群 中有单位元e； （2） (G，° )中有单位元 ； ） ， 中有单位元 中每一元素a∈ 都有逆元 （3） (G，°)中每一元素 ∈G都有逆元 a-1 ） ， 中每一元素 则称代数系统(G， 为群 为群。 则称代数系统 ，° )为群。
第6章 群论 章
半群 群
图 6.1.1
第6章 群论 章
一、半群 1、半群的有关定义 、 定义6.1 设(S，°)是代数系统，°是二元运算， 是代数系统， 定义 ， 是代数系统 是二元运算， 如果°运算满足结合律，则称它为半群。 如果°运算满足结合律，则称它为半群。 换言之，a, b, c∈S, 若°是S上的封闭运算且 换言之， ∀ ∈ 上的封闭运算且 满足(a ） 是半群。 满足 ° b）° c=a °（b ° c），则(S，°)是半群。 ） ， 是半群 许多代数系统都是半群。例如： 许多代数系统都是半群。例如：(I,+)，(I,×)， ， ×， (ρ( E), ∪) ，(ρ( E), ∩), (N4，+ 4) , (N4，×4)均是半 均是半 群。
第6章 群论 章
定义6.5 ：一个单位半群 ，°)如果由它的一个 一个单位半群(S， 如果由它的一个 定义 元素a 所生成， 元素 所生成，则称为由 a 所生成的循环单位半 称为此单位半群的生成元素。 群，元素 a 称为此单位半群的生成元素。 定理6.6 ：一个循环单位半群是一个可换单位半 定理 群。
第6章 群论 章