高等材料力学课件第四章-应力应变关系
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座标轴的的弹性性质相 同； 2. 弹性性质与座标轴的任 意变换方位也无关
x C 11 x C 12 y C 13 z y C 21 x C 22 y C 23 z z C 31 x C 32 y C 33 z xy C 44 xy yz C 55 yz xz C 66 xz
• 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过 实验确定
• 复杂应力状态难以通过实验确定
§4.2胡克定理2
•应力应变一般关系
•对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成 泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。
§4.2 胡克定理3
ห้องสมุดไป่ตู้广义胡克定理
上式中( f 1)0代表初始应力。 根据无初始应力的假设，( f 1)0应为零。对于均匀材料， 材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数 为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为
学原理推导。
外力作用——弹性体变形 ——变形过程外力作功 ——弹性体内的能量也发生变化
§4.1 应变能原理3
设弹性体变形时，外力所做的功为dW，则
dW=dW1+dW2
dW1为表面力Fs所做的功
根据热力学第一定律 dW2 为体积力Fb所做的功
dW1+dW2=dE－dQ
dE为弹性体的内能增量 dQ为由外界输入热量
U01 2(2)(x2y2z2)(xyyzxz) 2(x2yy2zx2)z
§4.4应变能2
应力表示的应变能函数
U 021 E[x2y2z22(xyyzxz) 2(1)(x 2y y 2zx 2)z
泊松比恒小于1，所以U0恒大于零。
单位体积的应变能总是正的。
13个弹性常数
§4.2 胡克定理10
正交各向异性弹性体
§4.2 胡克定理11
x C11 x C12 y C13 z C15 yz
正交各向异性弹性体 y C 21 x C 22 y C 23 z C 25 yz
z C 31 x C 32 y C 33 z C 35 yz
• 物理意义——物体各个方向上的弹性性质 完全相同，即物理性质的完全对称。
• 数学反映——应力和应变关系在所有方位 不同的坐标系中都一样。
• 金属材料——各向同性弹性体，是最常见 的工程材料。
• 弹性力学主要讨论各向同性材料。
§4.2 胡克定理14
根据正交各向异性本构关系 1. 各向同性材料沿x，y和z
E (2 2 ),
v2 ( ),
G
两个独立的弹性常数
G E 2(1 v)
实验测定： 单向拉伸实验可以测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G
§4.4 弹性体的应变能函数
应变能
U 0 1 2 (xx yy zz xy x yyz y zxx z) z
应变表示的应变能函数
x
x' l1=-1 y' l2=-1 z' l3=-1
y m1=0 m2=0 m3=0
z n1=0 n2=0 n3=0
§4.2 胡克定理8
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
变换后的应力和应变关系保持不变
C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0
§4.2 胡克定理9
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
xy C 44 xy C 46 xz
yz C 51 x C 52 y C 53 z C 55 yz
xz C 64 xy C 66 xz
9个弹性常数
C15=C25=C35=C64=0
§4.2 胡克定理12
正交两各个向弹异性性对弹称性面体
x C 11 x C 12 y C 13 z y C 21 x C 22 y C 23 z z C 31 x C 32 y C 33 z
§4.2胡克定理5
广义胡克定理
•工程材料，应力应变关系受到一定的限制 工程材料 • 各向同性材料 • 各向异性材料
•一般金属材料为各向同性材料
•复合材料在工程中的应用日益广泛
§4.2 胡克定理6
完全各向异性弹性体
Cmn=Cnm
21个弹性常数
§4.2 胡克定理7
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
相互垂直的3个平面中有 两个弹性对称面， 第三个必为弹性对称面
9个弹性常数
xy C 44 xy yz C 55 yz xz C 66 xz
正应力仅与正应变有关； 切应力仅与对应的切应变 有关。
拉压与剪切变形 没有耦合作用
不同平面内的剪切之间
称为正交各向异性
§4.2 胡克定理13
各向同性弹性体
x C 11 x C 12 y C 12 z y C 12 x C 11 y C 12 z z C 12 x C 12 y C 11 z xy C 44 xy yz C 44 yz xz C 44 xz
§4.2 胡克定理15
各向同性材料广义胡克（Hooke）定理
第四章 应力应变关系
静力平衡和几何变形 通过具体物体的材料性质相联系 材料的应力应变的内在联系 材料固有特性，因此称为物理方程 或者本构关系
§4.1 应变能原理2
弹性体变形过程的功与能
• 能量守恒是一个物理学重要原理 • 利用能量原理可以使得问题分析简化 • 能量原理的推导是多样的，本节使用热力
ijkkij2ij
, 称为拉梅（Lame）弹性常数
§4.2 胡克定理18
各向同性材料 主应力状态
x 2x , xy xy y 2y , yz yz z 2z , xz xz
—对应的切应力分量均为零。
所有的切应变分量也为零。
所以，各向同性弹性体
应力主轴同时又是应变主轴
应力主方向和应变主方向是重合的
§4.3 拉梅常量与工程弹性常数
§4.1 应变能原理6
dQ=TdS，Q=TS
T 为绝对温度， TS为输入单位体积的热能
U0=E0 - TS ，所以在等温条
件下，功能公式仍然成立。 如果材料的应力应变关系是线弹性的，则由格林公式， 单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
§4.2 广义胡克定理
• 应力应变关系属于材料性能
• 称为物理方程或者本构方程
x 2x , xy xy y 2y , yz yz z 2z , xz xz
设体积应力为
将拉梅公式的前三式相加，可得
体积应变的胡克定理
§4.3 弹性常数2
应力表示本构方程
x
1 E
[ x v ( y z )]
1 E
[( 1 v ) x v ]
y
1 E
[ y v ( x z )]
1 E
x
y
z
x' l1=cos φ m1=sin φ n1=0
y' l2=-sinφ m2=cos φ n2=0
z' l3=0
m3=0
n3=1
§4.2 胡克定理16
各向同性材料广义胡克（Hooke）定理
2C44 = C11-C12
§4.2 胡克定理17
各向同性材料广义胡克（Hooke）定理
x 2x , xy xy y 2y , yz yz z 2z , xz xz
系数Cmn（m， n=1，2，…，6）
称为弹性常数， 一共有36个,一 般的讲,是坐标 的函数.
§4.2 胡克定理4
广义胡克定理
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的
弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如 果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有 相同的应变，必承受同样的应力。 这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。
x C11 x C12 y C13 z C15 yz y C 21 x C 22 y C 23 z C 25 yz z C 31 x C 32 y C 33 z C 35 yz xy C 44 xy C 46 xz yz C 51 x C 52 y C 53 z C 55 yz xz C 64 xy C 66 xz
§4.1 应变能原理4
回代可得
如果加载很快，变形在极短的时间内完成，
变形过程中没有进行热交换称为绝热过程。 绝热过程中，dQ=0
dW1+dW2=dE
对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，
设U0为弹性体单位体积的应变能
§4.1 应变能原理5
设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分
因此得格林公式
如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但 物体的温度保持不变，称为等温过程。设等温过程中， 输入物体的单位体积热量为dQ，熵的增量为dS，对于 弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律
[( 1 v ) y v ]
z
1 E
[ z v ( x y )]
1 E
[( 1 v ) z v ]
xy
xy G
yz
yz G
xz
xz G
•E为弹性模量 •G为剪切弹性模量 •v为横向变形系数——泊松比
§4.3 弹性常数3
杨
泊松
§4.3 弹性常数4
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为
x C 11 x C 12 y C 13 z y C 21 x C 22 y C 23 z z C 31 x C 32 y C 33 z xy C 44 xy yz C 55 yz xz C 66 xz
• 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过 实验确定
• 复杂应力状态难以通过实验确定
§4.2胡克定理2
•应力应变一般关系
•对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成 泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。
§4.2 胡克定理3
ห้องสมุดไป่ตู้广义胡克定理
上式中( f 1)0代表初始应力。 根据无初始应力的假设，( f 1)0应为零。对于均匀材料， 材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数 为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为
学原理推导。
外力作用——弹性体变形 ——变形过程外力作功 ——弹性体内的能量也发生变化
§4.1 应变能原理3
设弹性体变形时，外力所做的功为dW，则
dW=dW1+dW2
dW1为表面力Fs所做的功
根据热力学第一定律 dW2 为体积力Fb所做的功
dW1+dW2=dE－dQ
dE为弹性体的内能增量 dQ为由外界输入热量
U01 2(2)(x2y2z2)(xyyzxz) 2(x2yy2zx2)z
§4.4应变能2
应力表示的应变能函数
U 021 E[x2y2z22(xyyzxz) 2(1)(x 2y y 2zx 2)z
泊松比恒小于1，所以U0恒大于零。
单位体积的应变能总是正的。
13个弹性常数
§4.2 胡克定理10
正交各向异性弹性体
§4.2 胡克定理11
x C11 x C12 y C13 z C15 yz
正交各向异性弹性体 y C 21 x C 22 y C 23 z C 25 yz
z C 31 x C 32 y C 33 z C 35 yz
• 物理意义——物体各个方向上的弹性性质 完全相同，即物理性质的完全对称。
• 数学反映——应力和应变关系在所有方位 不同的坐标系中都一样。
• 金属材料——各向同性弹性体，是最常见 的工程材料。
• 弹性力学主要讨论各向同性材料。
§4.2 胡克定理14
根据正交各向异性本构关系 1. 各向同性材料沿x，y和z
E (2 2 ),
v2 ( ),
G
两个独立的弹性常数
G E 2(1 v)
实验测定： 单向拉伸实验可以测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G
§4.4 弹性体的应变能函数
应变能
U 0 1 2 (xx yy zz xy x yyz y zxx z) z
应变表示的应变能函数
x
x' l1=-1 y' l2=-1 z' l3=-1
y m1=0 m2=0 m3=0
z n1=0 n2=0 n3=0
§4.2 胡克定理8
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
变换后的应力和应变关系保持不变
C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0
§4.2 胡克定理9
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
xy C 44 xy C 46 xz
yz C 51 x C 52 y C 53 z C 55 yz
xz C 64 xy C 66 xz
9个弹性常数
C15=C25=C35=C64=0
§4.2 胡克定理12
正交两各个向弹异性性对弹称性面体
x C 11 x C 12 y C 13 z y C 21 x C 22 y C 23 z z C 31 x C 32 y C 33 z
§4.2胡克定理5
广义胡克定理
•工程材料，应力应变关系受到一定的限制 工程材料 • 各向同性材料 • 各向异性材料
•一般金属材料为各向同性材料
•复合材料在工程中的应用日益广泛
§4.2 胡克定理6
完全各向异性弹性体
Cmn=Cnm
21个弹性常数
§4.2 胡克定理7
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
相互垂直的3个平面中有 两个弹性对称面， 第三个必为弹性对称面
9个弹性常数
xy C 44 xy yz C 55 yz xz C 66 xz
正应力仅与正应变有关； 切应力仅与对应的切应变 有关。
拉压与剪切变形 没有耦合作用
不同平面内的剪切之间
称为正交各向异性
§4.2 胡克定理13
各向同性弹性体
x C 11 x C 12 y C 12 z y C 12 x C 11 y C 12 z z C 12 x C 12 y C 11 z xy C 44 xy yz C 44 yz xz C 44 xz
§4.2 胡克定理15
各向同性材料广义胡克（Hooke）定理
第四章 应力应变关系
静力平衡和几何变形 通过具体物体的材料性质相联系 材料的应力应变的内在联系 材料固有特性，因此称为物理方程 或者本构关系
§4.1 应变能原理2
弹性体变形过程的功与能
• 能量守恒是一个物理学重要原理 • 利用能量原理可以使得问题分析简化 • 能量原理的推导是多样的，本节使用热力
ijkkij2ij
, 称为拉梅（Lame）弹性常数
§4.2 胡克定理18
各向同性材料 主应力状态
x 2x , xy xy y 2y , yz yz z 2z , xz xz
—对应的切应力分量均为零。
所有的切应变分量也为零。
所以，各向同性弹性体
应力主轴同时又是应变主轴
应力主方向和应变主方向是重合的
§4.3 拉梅常量与工程弹性常数
§4.1 应变能原理6
dQ=TdS，Q=TS
T 为绝对温度， TS为输入单位体积的热能
U0=E0 - TS ，所以在等温条
件下，功能公式仍然成立。 如果材料的应力应变关系是线弹性的，则由格林公式， 单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
§4.2 广义胡克定理
• 应力应变关系属于材料性能
• 称为物理方程或者本构方程
x 2x , xy xy y 2y , yz yz z 2z , xz xz
设体积应力为
将拉梅公式的前三式相加，可得
体积应变的胡克定理
§4.3 弹性常数2
应力表示本构方程
x
1 E
[ x v ( y z )]
1 E
[( 1 v ) x v ]
y
1 E
[ y v ( x z )]
1 E
x
y
z
x' l1=cos φ m1=sin φ n1=0
y' l2=-sinφ m2=cos φ n2=0
z' l3=0
m3=0
n3=1
§4.2 胡克定理16
各向同性材料广义胡克（Hooke）定理
2C44 = C11-C12
§4.2 胡克定理17
各向同性材料广义胡克（Hooke）定理
x 2x , xy xy y 2y , yz yz z 2z , xz xz
系数Cmn（m， n=1，2，…，6）
称为弹性常数， 一共有36个,一 般的讲,是坐标 的函数.
§4.2 胡克定理4
广义胡克定理
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的
弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如 果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有 相同的应变，必承受同样的应力。 这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。
x C11 x C12 y C13 z C15 yz y C 21 x C 22 y C 23 z C 25 yz z C 31 x C 32 y C 33 z C 35 yz xy C 44 xy C 46 xz yz C 51 x C 52 y C 53 z C 55 yz xz C 64 xy C 66 xz
§4.1 应变能原理4
回代可得
如果加载很快，变形在极短的时间内完成，
变形过程中没有进行热交换称为绝热过程。 绝热过程中，dQ=0
dW1+dW2=dE
对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，
设U0为弹性体单位体积的应变能
§4.1 应变能原理5
设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分
因此得格林公式
如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但 物体的温度保持不变，称为等温过程。设等温过程中， 输入物体的单位体积热量为dQ，熵的增量为dS，对于 弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律
[( 1 v ) y v ]
z
1 E
[ z v ( x y )]
1 E
[( 1 v ) z v ]
xy
xy G
yz
yz G
xz
xz G
•E为弹性模量 •G为剪切弹性模量 •v为横向变形系数——泊松比
§4.3 弹性常数3
杨
泊松
§4.3 弹性常数4
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为