平方和数列及立方和数列的前n项和的求解与证明

【专题】

平方和数列及立方和数列的前n 项和的求解与证明

【参考公式】

()3322()a b a b a ab b +=+-+立方和公式：

()3322()a b a b a ab b -=-++立方差公式：

【平方和数列的前n 项求和】

证明 2222(1)(21)1+2+3++=6

n n n n ++… 证明：33222(1)[(1)][(1)(1)]331n n n n n n n n n n --=----+-=-+

332(1)(2)3(1)3(1)1

n n n n ---=---+ ……

3322132321

-=⨯-⨯+ 333210131311

-==⨯-⨯+ 把以上n 个式子相加可得：

322223(1+2+3++)3(123)n n n n

=-+++++ (32222)

323(123)1+2+3++3

3[(1)]23

1(2332)6

1(1)(21)6n n n n n n n n n n n n n n +++++-=++-==++-=++ …

【立方和数列的前n 项求和】

求和并证明 3333

1+2+3++=

n …？ 证明：4432(1)4641n n n n n +-=+++

4432(1)4(1)6(1)4(1)1n n n n n --=-+-+-+

……

4432214161411-=⨯+⨯+⨯+

把以上n 个式子相加可得： 4433332222(1)14(1+2+3++)6(1+2+3++)4(123)n n n n n +-=+++++++ …… 2222(1)(21)1+2+3++=6

n n n n ++ … (1)1232

n n n +++++= 443333(1)(21)(1)(1)14(1+2+3++)6[]4[]62

n n n n n n n n ++++-=+++… 33334224(1+2+3++)(1)(1)(1)(21)2(1)(1)n n n n n n n n n n ∴=+-++++++=+…

223333

2(1)(1)1+2+3++[]42n n n n n ++==…

【总结】

2222(1)(21)1+2+3++=6

n n n n ++… 333322(1)1+2+3++=(123)[]2n n n n +++++= …