信号与系统7_梅森公式的证明及应用

i
j,k
如果把△中与第k条前向通 道有关的回路去掉后，剩下的部 分叫做第k条前向通道的余子式， 并记为△k。由图可得，从输入到 R 1 输出的前向通道和其增益以及响 应的余子式如下表所示
f
m
h
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
前向通道
前向通道增益
余子式
RV1 V3 V2 C R V2 C R V1 V2 C
P1=bde P2=f P3=bg
△1=1 △2=1－m－ld △3=1
梅森逊公式的推导
前向通道
前向通道增益
余子式
RV1 V3 V2 C P1=bde
△1=1
R V2 C
P2=f
△2=1－m－ld
R V1 V2 C
P3=bg
△3=1
传递函数的分子等于系数行列式△２除以R(s)。而
2 R
恰好为
2
R
P11 P22 P33
k
Pk k bde f (1 m dl) bg
故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为
(s) C(s) k Pk k R(s)
梅森公式的推导
• 以上我们用一个比较简单但是又不是一般 性的图导出了梅森定理。对于一般性的情 况，证明也是类似的。
和
1 m bR l 2 g fR e (1 m) fR debR dlfR gbR
d 0 1 [bde f (1 m dl) bg]R
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2

2
1 (m
[bde f (1 m dl) bg]R dl ke h gkl) mh dlh
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
梅森公式
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔） 式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
C V2 gV1 hV2 eV3 fR
g
V3 dV1 kV2
以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程
1 m 0 l V1 b


g
1 h

e
V2



f

R
d k 1 V3 0
梅森公式的推导
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
0，
否则
因为每条支路只能有一个终点，故梅列也只能有 一个元素为1。
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，百度文库对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
j,k
而△值就是
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
i
j,k
可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
梅森逊公式的推导
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
于是可求得该方程组的系数行列式
1m 0 l g 1 h e (1 m)(1 h) gkl dl(1 h) (1 m)ke
d k 1 1 m h mh gkl dl dlh ke mke 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
梅森公式的证明及应用
电子工程系 无22班 喻浩 赵欣 肖元章 马存庆 蔡金蝉
梅森公式
梅森公式的回顾
大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P

1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
梅森逊公式的推导
图中所示信号流图共含有五个单 独回路和三对互不接触回路（回
路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ） R 1 所有单独回路增益之和为
Li m dl ke h gkl
i
两两互不接触回路增益乘积之和为
f
m
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
h
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
LjLk mke mh dlh
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
• 一般情况的证明是很麻烦的，下面简述其 证明过程中的关键步骤。
梅森公式的推导
• 梅森定理证明的关键步骤: • 从上面的证明可以看出，信号流图中的一些量与
写出来的节点方程组得系数矩阵的一些量是由一 定的联系的，事实上它们之间是必然联系的。 • 为了了解这其中的联系，我们引进信号流图的矩 阵描述。 • 信号流图有两个显著的特点，即支路和节点的关 联，即支路和节点的赋权。因此，我们自然联想 到用矩阵来描叙它。