理论力学1.3力偶与力偶矩
理论力学 期末复习知识点
第一章静力学公理与物体的受力分析§1.1 静力学公理✧公理1 二力平衡公理（条件）作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
✧公理2 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。
（效应不变）✧公理3 力的平行四边形法则作用在物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力作用点也是该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
✧公理4 作用和反作用定律作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
✧公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
✓推论1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
✓推理2 三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三力的作用线通过汇交点。
§1.2 约束和约束力一、约束的概念•自由体：位移不受限制的物体。
•非自由体：位移受限制的物体。
•约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
二、约束反力（约束力）•约束力：约束对物体作用的力。
•在静力学中，约束力和物体受到的其它已知力（主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
三、工程常见约束•光滑平面约束•柔索约束•光滑铰链约束•固定铰链支座•止推轴承径向轴承•平面固定端约束§1.3 物体的受力分析和受力图受力分析：确定构件受了几个外力，每个力的作用位置和方向的分析过程。
•步骤：1．取研究对象（画分离体：按原方位画出简图）。
2．画主动力：主动力照搬。
3．画约束反力：根据约束性质确定。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2–1 平面汇交力系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
理论力学13力偶与力偶矩
习题: P.29 1-15、1-16
2020/4/30
19
谢谢大家!
2020/4/30
20
理论力学
主讲
广东海洋大学寸金学院
庞雪飞
2020/4/30
1
1.3 力偶与力偶矩
F ＝－F′
F' F
2020/4/30
2
F ＝－F′
■力偶的定义
F
两个大小相等、
作用线不重合的反
向平行力组成的力
系称为力偶
F′
(couple)。
2020/4/30
3
力偶中两个力的作
用线所确定的平面称 为力偶的作用面
(acting plane of a couple)，二力作用线 之间的垂直距离d称 为力偶臂(couple arm)。
x
黑版手书计算上例。
2020/4/30
17
练习
如图汽缸盖上4个相同的 孔，每个孔的切削力偶矩大 小为M1=M2=M3=M4=15 N.m。
求工件的总切削力偶矩
解：根据 M Mi 可得
M2
M1
M4
M3
M M 1 M 2 M 3 M 4
415 60N .m 负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向
2020/4/30
8
d1 M=F0×d1=F×d
平面问题
由于力偶的作用面总是与力系所在的平面 重合，力偶矩由矢量变成代数量
M = Fd
正负号用来区别 转向，通常规定: 逆时针为正 顺时针为负
+–
这里的逆时针或顺时针转向是指物体在力偶的作用下转
动202的0/4/方30 向。
10
■力偶是最简单的力系之一
理论力学第3章-力偶系
例 3-1 图示机构，各杆自重不计，在两力偶作用下处于平 衡。已知：M1 = 100 N · m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm。 试求力偶矩M2的大小。 B A FB F B FA
30 o
B
O1
B
A FA M2
M1 FO1 O1 A M1
M
2
O2
O2
FO2
解：取O1A杆为研究对象，受力如图所示，
若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力 偶等效。
两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即
M1 M2
(3-2) FR'
B'
证明：
A'
FR F1 FR F'
A B
FR' F1'
F
力偶(FR，FR' ) 代了原力偶(F，F' ) 并与原力偶等效。
A'
FR
FR'
B'
D F' C
比较(F,F')和(FR,FR')可得 M(F,F')=2△ABD=M(FR,FR') =2 △ABC
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 (280)2 1602 (800)2 862.55 kN m
M cos( M , i )
280 0.3246 M 862.55 My 160 cos( M , j ) 0.1855 M 862.55
1 3 200 280kN m 5 5 4 M y M y M 1 y M 2 y 0 200 160kN m 5 2 M z M z M1z M 2 z 400 5 0 800kN m 5 M x M x M1x M 2 x 400 5
理论力学全部教程
MOx (Fi ) MOy (Fi )
M M
x y
(Fi (Fi
) )
MOz MOz (Fi ) M z (Fi )
1 静力学基础
1.1 力和力矩
1.1.1 力的概念 力是物体间的相互作用，作用结果使物体的
运动状态发生改变，或使物体产生变形。 对刚体而言，力的作用只改变其运动状
态。
● 力是矢量
力的三要素(three elements of a force)
两个共点力的合成又满足平行四边形法则，因 而力是定位矢量(fixed vector) 。
M Oz
(F
)
=
xFy
yFx
1.1.3 力对轴的矩
z
力对轴的矩(moment
of a force about an axis)
F
用来量度力对其所作
用的刚体绕某固定轴
转动的效应。
矩轴 (axis of moment) Oz
● 力对轴的矩的概念
作用于刚体的力F 对 z 轴的矩定义为
M z (F ) = MO (Fxy ) = Fxyh
cos(F, i) Fx / F
cos(F, j) Fy / F
cos(F, k)
Fz
/
F
1.1.2 力对点的矩
力矩(moment of a force)是用来量度力使物体 产生转动效应的概念。 ● 力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空间任意一点O的力矩 定义为
MO(F) = r F
M z (F ) = MOz (F )
我们得到一个说明力对轴之矩与力对点 之矩的关系的重要结论：力对任意轴之 矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该 轴上的投影。
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
力矩力偶
力偶系的合成和平衡
空间力偶系的合成：
M Mi
M x M xi M y M yi M z M zi
合力偶矩的大小：
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力偶矩矢的方向：
cos(M , i )
M x
cos(M ,
MO (F) = MO (F cos)+MO(F sin )
例题 1
如 图 所 示 圆 柱 直 齿 轮 ， 受 到 啮 合 力 Fn 的 作 用 。 设 Fn=1400N。压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60
mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。
解： 计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
其力偶矩矢为：
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象：
∑M = 0：
M 2 FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M2 4M1 8 kN m
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
例题 4
图示三角柱刚体是正方体的一半，其上作用着三个力偶。已知力 偶（F1，F1）的矩 M1= 20 N·m；力偶（F2， F2）的矩 M2= 20 N·m；力偶（F3，F3）的矩 M3= 20 N·m，试求合力偶矩矢 M。 又问若要使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶？
0
0l
3
力偶及其性质
力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
力偶的实例
理论力学力偶理论
)2
cos(M , i) M x
M
cos(M , j) M y
M
cos(M , k) M z
M
（3-7）
3.3.2 空间力偶系旳平衡方程
空间力偶系平衡旳充分必要条件为：合力偶相应 旳力偶矩矢量为零矢量。
M 0
（3-8）
空间力偶系旳平衡方程
M M
x y
0 0
M z 0
（3-8）
B
F
d
A
F
F
图3-1
由二力平衡公理可知，力偶不是平衡力系，它是一种
特殊旳力系。在力偶旳作用下，刚体会产生转动效应。例 如，汽车司机用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，电 动机转子受到电磁力作用旋转等等，都是力偶作用下刚体 旳转动效应。
力偶是力学中旳一种基本量。 力偶没有合力。
力偶不能与单个力等效，也不能与单个力平衡。
对于平面力偶系，各力偶作用面相互重叠，所 以各力偶矩矢旳方位相同。这时，力偶矩矢可用一 代数量体现(见图3-3)，即
M Fd
M
图3-3
一般要求，当力偶使刚体产生逆时针旳转动时， 力偶矩取正号，反之则取负号。力偶矩旳单位为牛·米 （N ·m），或千牛·米（kN ·m）。
3.1.3 力偶旳等效
若两个力偶对刚体旳作用效应相同，则称这二力偶 等效。
3 力偶理论
与力一样，力偶是力学中旳一种基本量。作 用于刚体上旳力偶不能使刚体产生移动效应，只 能使刚体产生转动效应。
力偶是一种特殊旳力系，没有合力，不能与 单个力平衡。
但它具有可移转性、可变化性等主要性质， 它对刚体旳转动效应完全取决于力偶矩矢。
3.1 力偶、力偶矩矢
3.1.1 力偶旳概念
第三章 力矩和力偶理论
o F’
B
m F
d
A
力偶没有合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力 与之平衡。它是力学中的又一基本要素，其作用使物体 发生转动，以力偶矩表示。
m(F , F ) mo (F ) mo (F ) F OA F OB Fd
m + 逆时针 – 顺时针
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
2. 力对轴之矩
力对轴之矩等于力在垂直于该轴 的平面上的投影对轴和平面的交 点之矩
m z ( F ) mo ( Fxy ) Fxy h 2 Aoab
F
z Fz a mz(F) o
Fxy
mx 0
my 0
mz 0
三个方程，解三个未知量。 一个方程，解一个未知量。
p.9
平面力偶系的平衡条件
m 0
理论力学
理论力学
本章主要内容
一、力矩和合力矩定理
1. 力对点之矩 2. 力对轴之矩
3. 力对点之矩和力对轴之矩的关系
4. 合力矩定理
二、力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
p.5
理论力学
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
4. 合力矩定理
mo ( R) mo ( F1 ) mo ( F2 ) mo ( Fn ) mo ( F ) m z ( R) m z ( F1 ) m z ( F2 ) m z ( Fn ) mz (F )
力_力矩_力偶.
公理1 作用力和反作用力定律 作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相
等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互 作用的物体上。
N N’
公理2 力的平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力可合成一个合力， 此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力 矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。
3. 力矩平衡条件 作用在物体上同一平面内的各力，对支点
或转轴之矩的代数和应为0。 ∑MA(Fi)＝0
例1：已知P1=P2=P3=2kN，a=4m,求∑mA(Pi)。
A a/2
P1
P2
300
C
B
P3
a/2
解：
P1y P1 300 P1x
M A (P3) 0kN m
M A(P1) M A(P1x ) M A(P1y ) 0 P1 sin 300 0.5a
1. 刚体 力作用下，物体内部任意两点的距离不变 理想的力学模型 理论力学的基本假设
2. 力 force
物体间相互的机械作用
力的效应：
外部效应－－运动效应 F
内部效应－－形变效应 A
力的三要素F 大小，方向，作用点
力的单位 国际单位制：牛顿(N) 千牛(kN)
F1 力系 作用在物体上的一群力
平衡力系
例3：钢筋混凝土柱，h=3m，受风荷载作用q=10kN/m， 求风荷载对A点的矩。
q
B
B
0.5qh 等效
h 2/3h
A 分析： 合力矩定理
A 三角形的面积和形心
解： B
0.5qh
推广： B
q
q1
B
2/3h h h
A
A
A
q2
理论力学课件 力矩、主矩、力的作用量、力偶
力对轴之矩正负由右手法则确定，从轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
FxFyr三、平面上力对点的矩平面上力对点的矩为代数量。
()()kF r F M xy xy O v v vv ⋅×=例1-9 已知α，AO =h ，OC =r ，求水平力F 对C 点的矩。
()ααcos sin Fh Fr r F h F F M y x C −=+−=vxFyF 解F v分解力αcos F F x =αsin F F y =板式的、均匀的，且沿翁。
绘出不倒翁的重心大体在什么范围才能保证不倒翁真正不倒？门轴略内倾。
这种柜子可以自动关门，定性说明其原因。
思考题1、如图所示的楔形块A、B自重不计，接触处光滑，则A、B的平衡情况是怎样的？不平衡2、根据力的可传性,可以将力F沿其作用线移至那里?A，B二、力偶的特征量0v v v v =′+=F F F V F r F r r OB OA v v v v v ×=×−=)()(F r F r OB OA v v v v −×+×=力偶的主矢为对任意点主矩恒等于矢量积，而与矩心的位置无关。
F r v v ×主矩与矩心无关,力偶只能使刚体转动主矢为零.力偶不能使刚体移动力偶对任意点O 的主矩为F r F r M OB OA O v v v v v ′×+×=力偶矩矢量是自由矢量（大小、方向）4.01+×−×=F F F m。
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
力偶矩
力偶矩力偶矩简称为“力偶的力矩”，亦称“力偶的转矩”。
力偶是两个相等的平行力，它们的合力矩等于平行力中的一个力与平行力之间距离（称力偶臂）的乘积，称作“力偶矩”，力偶矩与转动轴的位置无关。
目录1力偶矩的定义2基本性质3力偶矩特性4计算方法1力偶矩的定义大小相等,方向相反.不在同一作用线上的一对平行力称为“力偶”；力偶所在的平面称为“力偶作用面”；平行的两力的作用线间的距离称为“力偶臂”；平行力中的一个力与力偶臂的乘积称作“力偶矩”。
2基本性质力偶矩的单位和力矩一样，常用“牛×米(千克×米方/秒方)”表示；力偶矩是矢量，其方向和组成力偶的两个力的方向间的关系，遵从右手螺旋法则。
对于有固定轴的物体，在力偶的作用下，物体将绕固定轴转动；没有固定轴的物体，在力偶的作用下物体将绕通过质心的轴转动。
3力偶矩特性1.力偶在力偶作用面任意一点的合力均为零；因此它不会改变物体的平动状态。
2.通常，力偶只能用力偶来平衡；但在定轴转动中，可用圆周力（即力矩）来平衡。
3.保持力偶矩的大小及转向不变，同时改变力偶中力的大小及力偶臂的长短不会改变其对刚体的作用。
4.空间合力偶矩为各力偶矩的矢量和；平面合力偶矩等于各分力偶矩的代数。
力偶矩是由两不同作用线上之力产生，两力大小相等方向相反，力偶矩会产生纯旋转效果。
力偶矩为自由向量，因此不管作用于物体任何地方会产生相同效果。
4计算方法计算两力偶产生之力矩可对任意点取力矩合，但为了方便常取力作用在线之一点以消除一力之力矩。
在三维系统中，力偶矩常以向量法计算，M=r F，其中r 为一力上任一点至另一力上任一点之位置向量。
力偶矩之合成可由力偶系中之向量和求得。
由理论力学可知N=MωN单位为KW ω单位为r/min所以得M=9549*N/n (N.M。
汽车机械基础课件1.理论力学基础
1.1 静力分析基础
四、受力图
(2)以重物为研究对象。解除H处约束，画出其分离体图。画出主动力重力W 。在H还有绳索的拉力FTH＇，它与FTH是作用与反作用的关系。其受力图如 图所示。
1.1 静力分析基础
一、基本概念 2、刚体的概念 所谓刚体是指在受力状态下保持其几何形状和尺寸不变的物体。
3、平衡的概念 如果一个刚体受到几个力的作用而处于静止或匀速直线运动状态，那么 称这个物体处于平衡状态 。
一般来说，静止或平衡总是相对地球而言的。
1.1 静力分析基础
二、静力学公理
1、二力平衡公理 刚体受两力作用而保持平衡状态的必要和充分条件是：
1.2平面汇交力系
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
2．解析法 （1） ．确定整个制动装置（包括踏板和拉杆）为研究对象。受力分析如 下：整个制动装置受到三个力的作用，即踩踏板的主动力F，拉杆拉力Q和 支座反力RB的作用而处于平衡状态。其中，F和Q方向为已知，RB方向待定。 根据三力平衡汇交定理可得RB的作用线必通过F和Q的作用线的交点O。画 受力图如图 1-2-9a所示。 （2） ．选取坐标轴，如图所示，计算诸力在坐标轴x、y上的投影。 （3） ．列平衡方程，求解未知力。
如果已知力F的投影Fx和Fy，则力F的大小和它与x轴所夹的锐角α可按下式计算：
1.2平面汇交力系
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法 如图所示，试分析a、b两种情况下，力F沿x、y轴方向的分力F1、F2与力F在 x 、y轴上的投影Fx、Fy是否相等？
1.2平面汇交力系
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法 2、合力投影定理 合力F的投影与分力F1、F2的投影之间的一般关系： 合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和
理论力学-力偶理论
力偶的力矩计算公式
力偶的力矩可以通过力偶力的大小和力偶臂的长度来计算。力偶力和力偶臂之间的乘积可以表示力偶的 力矩。力偶力矩的计算公式为力偶力乘以力偶臂长。
力偶在力矩运算中的应用
力偶在力矩运算中有广泛的应用，可以帮助我们计算物体的平衡条件和力的 效果。通过计算力偶的力矩，我们可以确定物体在平衡时所受到的外力。
几何矢量法和辛普森法解力偶 问题
几何矢量法和辛普森法是解决力偶问题的两种常用方法。几何矢量法利用几 何图形和矢量知识进行分析，而辛普森法则通过数值计算来解决力偶问题。
力偶主要应用领域
力偶在工程力学、机械设计、结构分析等领域有着广泛的应用。它可以帮助我们分析和计算力的效果， 从而实现结构的稳定和均衡。
总结与回顾
力偶是由两个同大小、方向相反的力组成的力对，在力学中有着重要的应用。通过理解力偶的特点、表 示方法和力矩计算公式，我们可以更好地分析和解决力偶两个大小相等、方向相反的力组成的力对。力偶的力 矩计算公式可以帮助我们解决许多力矩运算中的问题。
力偶的概念介绍
力偶是由两个同大小、涉及相反的力构成的，它们的作用线并不重叠的力对。 力偶可以用于描述一对作用在线上的力的效果。
力偶的特点与表示方法
力偶的特点是力的大小相等、方向相反；力的作用线不重合。力偶可以通过表示法来描述，如表示为向 量形式或者坐标形式。这些表示方法能够帮助我们更好地分析和计算力偶。
建筑力学-第2章 力、力矩、力偶
解 由式（1-2）可得出各力在x、y轴上的投影为
F1x =F1cos45=100N×0.707=70.7N F1y =F1sin45 =100N×0.707=70.7N
y A。2
F1
F2x=-F2cos30=-150N×0.866=-129.9N F2 60
F2y=-F2sin30=-150N×0.5=-75N F3x =F3cos90=0
第二章 力、力矩、力偶 理论力学部分
刚体 and 质点
第1节 力和力偶
力的概念
力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态
发生变化（运动效应），或者使物体的形状发生改变（变形效
应）。 力的效应
运动效应 变形效应
平动效应 转动效应
力的三要素
大小 方向 作用点
力的单位
牛顿（N） 千牛（kN）
F' d
力偶的性质
必须指出，力偶的搬移或用等效力偶替代，
1)力力偶偶对作物为体一只种产特生殊对转力物动系体效，的应具运，有动而如效不下应产独没生特有移的影动性响效质，应：但，影因响此对，物一体个 力偶既不能用一个力代的替变，形也效不应能。和一个力平衡（力偶在任何一个
坐标轴上的投影等于零）。力与力偶是表示物体间相互机械作用的
力的性质
力是一个有大小和方向的量，所以力是矢量。 通过力作用点并沿着力方向的直线，称为力的作用线。
F
A 50N
F2 D F
B
A F1 C
作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也 作用于该点，合力的大小、方向由这两个力为邻边所构成的平行 四边形的对角线来表示。
力的平行四边形法则
F=F1+F2
解 （1）构件的简化。 （2）支座的简化。 （3）荷载的简化。
同济版_理论力学_王斌耀(同济理力最好老师)_第3章 力矩理论与 力偶理论
z
Fz B β
y=180mm
F Fy
A
Fx α Fxy
y
z=200mm
0 x x=0, =0, y=180mm, =180mm, z=200mm. =200mm.
§3-2力偶的概念
一、力偶与力偶矩
大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力所 大小相等、方向相反、 组成的力系称为力偶。 组成的力系称为力偶。
M O ( FR ) = M O ( F1 ) + M O( F2 ) = ∑ M O ( Fi )
合力对点(或轴) 合力对点(或轴)之矩等于各分力对 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和) 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和)。
z A
F1 F2
y
FR
r × FR = ∑ r × Fi
i =1
O
n
r
x
1、平面力偶
F
F’
1、平面力偶
F’ F
F’ F
F
A
d
rBA
B
F′
+ _
M=±Fd (Nm) ±
力偶作用平面
d：力偶臂
2、空间力偶 力偶的矢量表示
M A = rBA × F = M B = rAB × F
'
M
右手法 则为正
B
F
rBA
A
F’
力偶矩矢量垂直于力偶所在平面,其大小和方向与取矩点无关 力偶矩矢量垂直于力偶所在平面 其大小和方向与取矩点无关. 其大小和方向与取矩点无关
P力作用点的矢径 力作用点的矢径
r = xi + yj + zk ,
x = 5cm, y = 6cm, z = 0
理论力学---第三章 平面力偶系
解：取微元如图
x q′ = ⋅ q l
x 1 P = ∫ ⋅ q ⋅dx = ql 0 l 2
l
由合力矩定理
2 得 h= l 3
x P ⋅ h = ∫ q′ ⋅dx ⋅ x = ∫ q ⋅dx 0 0 l
l l
6
2
§3-2 力偶与力偶矩
一.力偶和力偶矩 1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 r r 力系称为力偶 力偶，记作 (F, F′) 力偶
i=1
n
14
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为
m1 = m2 = m3 = m4 =15N ⋅m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
M =m1 +m2 +m3 +m4 =4×(−15)=−60N⋅m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: NB ×0.2 − m − m2 − m3 − m4 = 0 1
3
二、合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 定理 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即：
mO (R)=∑mO (F ) i
i=1
[证] 由合力投影定理有： 证
od=ob+oc 又∵ M o ( F1 ) =2∆oAB=oA⋅ob M o ( F2 ) =2∆oAC = oA⋅oc M o ( R ) = 2∆oAD = oA⋅od 现 m o ( R ) = m o ( F1 ) + m o ( F2 ) 证毕
O
性质3： 性质 ：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等， 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等， 转向相同，则该两个力偶彼此等效。 转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面 证 上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成R， Q',F'合成R'， 得到新力偶(R,R'), 将R,R'移到A',B'点，则(R,R')，取 代了原力偶(F，F' ) ， 并与原力偶等效。
理论力学第三章力矩与力偶
M mi m1 m2 m3 m4
4(15) 60 N m
例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切 削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影 Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
284.6 N m
合力偶矩矢的方向余弦
cos M,i 0.6786， cos M,j 0.2811， cos M,k 0.6786
三、力偶系的平衡
空间力偶系的合成结果是合力偶
Fy= F cos450cos600=1000×0.707×0.500 N= 354 N
Fz= Fsin450=1000.0×0.707 N= 707 N
力F 对三个坐标轴的矩分别为
M x (F ) ( yFz zFy ) 0.06 707 42.4 N m
M y (F ) (zFx xFz ) (0.05) 707 35.4 N m
力偶矩矢与O点的选取无关，因 此力偶对空间任意一点的矩是一个常
A rAB
dB
mO
rmOAo(FF)omrOoB(FF)
rOA
(F
)
rOB
F
(rOB
rOA )
F
rAB F 力偶矩矢大小
mO
F d
矢量
结论:力偶矩矢为自由矢 量，力偶对刚体的转动效应完 全取决于力偶矩，与矩心无关
力偶的概念及性质
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质
力偶的概念及性质
1.1 力偶矩的概念
由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系称为 力偶，记为（F，F′）。组成力偶的两力之间的距离称为力偶臂， 力偶所在的平面称为力偶的作用面 。
汽车司机用双手转动方向盘
钳工用丝锥攻螺纹
因为力偶对物体不产生移动效应，所以力偶没有合力。一个力
由于力偶使物体转动的效应，完全由力偶矩的大小、转向和力 偶的作用平面决定，所以这三者称为力偶的三要素。
力偶矩的单位与力矩的单位相同，即为N·m或kN·m。
目录
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质
1.3 力偶的性质
如果在同一平面内的两个力偶的力偶矩彼此相等，那么它们对 刚体的转动效应完全相同，即两力偶等效。这就是同一平面内力偶 的等效定理。依据该定理，可以看出力偶具有如下性质：
偶既不能用一个力来代替，也不能和一个力平衡。因此，力偶是表
示物体间相互机械作用的另一个基本量。
目录
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质
1.2 力偶矩及其计算
力偶是由两个力组成的特殊力 系，它对物体只产生转动效应。这 种转动效应如何度量呢？
设有力偶（F，F′），其力偶臂为d（如图）。力偶对平面内任 意一点O之矩等于力偶的两个力对点O(F)＋ MO(F )＝－F x＋F (x+d)＝Fd 由于矩心O是任意选取的，可以看出，力偶的转动效应只取决 于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。于是我们用力偶 的任一力的大小与力偶臂的乘积并冠以正负号作为力偶使物体转动 效应的度量，称为力偶矩，用M表示。即
M ＝±Fd
目录
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质 式中的正负号表示力偶的转向，通常规定力偶使物体逆时针方向转 动时为正，反之为负。
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5
MO = MO (F ) MO (F ) = rOA F rOB F = (rOA rOB ) F = r F
F' r
B
A
F
Acting plane
of the couple
rOB
rOA
M
力偶矩矢
2017/1/10
O
6
实际上更一般的有:当任意一个力系的主矢为 零时，其主矩均与矩心的位置无关。 Pi rAi A rBi Fi
rAB
B
2017/1/10
7
■力偶矩矢量
力偶矩矢量(couple-vector)，用来量度力偶对 刚体的作用效果，定义为
M = rF
◆力偶矩矢的大小为
M r F Fr sin(r, F ) Fd
◆力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指 向按右手定则与力偶的转向一致。 力偶矩矢量是自由矢量,只有大小和方向 两个要素。
练习
如图汽缸盖上4个相同的 孔，每个孔的切削力偶矩大 小为M1=M2=M3=M4=15 N.m。 求工件的总切削力偶矩
M2
M1
M4
M3
解：根据
M Mi 可得
M M 1 M 2 M 3 M 4
4 15 60 N .m
负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向
习题: P.29 1-15、1-16
r a(i k )
因此
2017/1/10
3 M = rF = Fa ( i + k ) 3
16
例2 长方形薄板ABCD受力如图所示，已知b，q，若 M=qb2，F1=qb，F2=qb/2，试求力系的主矢和对点B 的主矩。
y
D M
F1
C
F2
4b
A
3b
B
x
黑版手书计算上例。
2017/1/10 17
2017/1/10
19
谢谢大家!
2017/1/10 20
理论力学
主 讲
广东海洋大学寸金学院
庞雪飞
2017/1/10
1
1.3 力偶与力偶矩 F ＝－F′
F' F
2017/1/10
2
F ＝－F′
■力偶的定义
两个大小相等、 作用线不重合的反 向平行力组成的力 系 称 为 力 偶 (couple)。
F
F′
2017/1/10
3
力偶中两个力的作 用线所确定的平面称 为力偶的作用面 (acting plane of a couple) ，二力作用线 之间的垂直距离 d 称 为力偶臂(couple arm)。
F′
F d
Acting plane of
the couple
2017/1/10 4
■力偶的主矢和主矩
◆ 力偶的主矢 因为力偶（F，F‘）中F ＝－F’,故FR = F+F‘= 0, 即力偶的主矢恒等于零。 ◆ 力偶对任意点O的主矩 力偶对任意点之主矩恒等于矢量积r×F, 而与矩心的位置无关。
2017/1/10
2017/1/10 8
d1
M=F0×d1=F×d
平面问题
由于力偶的作用面总是与力系所在的平面 重合，力偶矩由矢量变成代数量
M = Fd
正负号用来区别 转向，通常规定: 逆时针为正 顺时针为负
+
–
这里的逆时针或顺时针转向是指物体在力偶的作用下转 动的方向。 2017/1/10 10
■力偶是最简单的力系之一
F′
F y
x
2017/1/10 14
解：
3 3 3 Fx = F , Fy = F , Fz = F 3 3 3
3 F F ( i j k ) 3
故
z
F′
F y
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x
15
z
3 F F ( i j k ) 3
F′
rБайду номын сангаас
F y
x 设由F'的作用点至F 的作用点的矢径为r, 则有
◆尽管力偶的主矢为零，但其二力作用线不 重合，根据二力平衡定理，它不可能是一个 平衡力系； ◆因为力偶的主矢量FR = 0，它也不可能进一 步简化为一个力，否则FR≠ 0，与力偶的定 义相矛盾。 因此，与单个的力类似， 力偶也是最简 单的力系之一。
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■力偶等效变换的性质
1.力偶可在其作用面内任意转动和移动； 2.力偶的作用面可任意平行移动； 3.只要保持力偶矩大小不变，可任意同时 改变 力偶中力的大小和力偶臂的长短。
作用于刚体的力偶等效替换的条件是其力 偶矩矢量保持不变。
2017/1/10 12
M
M
M
问：作用在AC杆上的力偶M能否移动到BC杆上去？
C
M
？
B
A
M
分析：不能。力偶 只能在同一刚体上的同 一个平面内移动。因为 三角架不是一个刚体， 所以不能。
2017/1/10
13
例1 长方体由两个边长为a的正方体组成，如图 所示，试求力偶(F，F')的力偶矩矢量M。 z