谓词公式的分类与解释
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
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【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
离散数学23谓词公式与翻译
元，则(x)A，(x)A是合式公式。 ⑸ 只有有限次地应用⑴、⑵、⑶、⑷所得的公式 是合式公式。
2
二、命题翻译
谓词公式也有以下约定： ⑴ 最外层的括号可以省略。 ⑵ 如果按¬、∧、∨、→、↔在运算中的优先级 别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以 省略括号，但量词后面括号不能省略。
A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
7
二、命题翻译
由例题4可知，由命题翻译成谓词演算公式， 机动性很大，对个体刻划尝试的不同就可 翻译成不同的谓词公式。 一般的，对日常语言，我们可以有一个大 体的准则，根据这些准则可以进行命题的 翻译。
名词：专用名词（如南京、刘翔等）是客体
一谓词公式简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题表达式与命题公式概念类似不是所有谓词表达式都可以成为谓词公式并进行谓词演算下面介绍谓词的合式公式的概念
一、谓词公式
简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题 表达式 与命题公式概念类似，不是所有谓词表达式都可 以成为谓词公式并进行谓词演算，下面介绍谓词 的合式公式的概念。
以上只是一般准则，具体应用时会有例外
9
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本课小结
谓词公式 命题翻译
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课后作业
补充:用谓词写出下列各断言 (1)长江比黄河长,金陵饭店比北京饭店高. (2)南京位于武汉和上海之间. (3)不是所有男人都比女人高. (4)有而且仅有一个素数是偶数. (5)凡是资本家都会剥削人,但剥削人者未必都
该命题符号化为： ¬(x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
最新2.2谓词公式与解释
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
2.2谓词公式与解释
一、合式公式的定义：
原子公式： f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
项，则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
2. 对于某些简单的公式，特别对于简单的闭式，
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真（或者为假）来证明该公式是永真式
（或矛盾式）。
3. 要证明一个公式是可满足式，只要找到一个 解释，使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式，只要找一个解释，使得该 公式的真值为假即可。
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
谓词逻辑永真公式
所以
T
xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
F
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
此处取T亦可
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。
总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。
例
取解释I如下：
D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分别为?
T
F
T
T
关于x的一元函数
xyP(x,y)
P(x,y)
T
yP(x,y)
T
xyP(x,y)
F
T
F
F
F
F
F
T
2
1
2
2
1
1
yx P(x,y)
xP(x,y)
P(x,y)
x
y
关于y的一元函数
yxP(x,y)
取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
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量词对及→的处理 x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x)) 证明1. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x)) 证明2. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
代数结构与数理逻辑-谓词公式语义解释
指派，I→U的同态映射称为项解释。
例 ： P(Y) 中 的 个 体 常 元 集 C=， 函 数 词 集 合 为 {f11,f21,f22}，谓词集合R={R21}，P(Y)的解释域定义为： U={0,1,2,…,n,…}；2(f11)=f'11， 使 得 f'11(n)=n+1； 2(f21)=f'21； 使 得 f'21(i,j)=i+j， 这 里 i,jU；2(f22)=f'22， 使得f'22(i,j)=i×j，i,jU; 3(R21)=R'21，使得R'21表示 “相等”关系。
对 于 P(Y) 中 只 含 有 闭 项 的 原 子 公 式 p=R21(c1,c2)， 在 此 解 释 域 下 ， p 解 释 为 “2与3是小于关系”，是真命题。
若把解释域中关系的解释R'21修改为“相 等”关系，则p解释为“2与3是相等关 系”，则是假命题。
有了解释域，就可以对只含有闭项的原子 公式讨论其真假值，但由于对个体变元并 没有赋值，因此一般的原子公式还是无法 确定其真假值。
是真命题。
三、P(Y)的赋值 首先引进两个记号：对给定解释域U和项
解释的原子公式集Y记为YU,,而谓词公 式集P(Y)则相应记为P(YU,).
定义19.10:谓词公式的赋值函数
v:P(YU,)→Z2分三步(a),(b)子公式p=Rni(t1,…,tn)YU,定义：
若╞p，则p就是重言式，简记为╞p。
ACon(A)
例：证明： {x(p(x)→q(x))}╞xp(x)→xq(x)
谓词公式的解释
谓词公式的解释谓词公式是一种用于形式化描述逻辑关系的重要数学工具，最常见的应用领域包括计算机科学中的图灵机理论，数理逻辑学中的表示定理证明，和程序设计语言中的语法表示。
一. 什么是谓词公式谓词公式（Predicate Calculus）是形式逻辑中的一种用来描述复杂逻辑关系的工具。
它是一个根据指定的规则，使用符号表示客观事实的工具，既可以表示逻辑性的事实，也可以表示关系，或表明某件事是否存在。
它包括3个基本元素：1. 变量：变量是用来引述客观事实和客观关系封装在谓词公式中的一种复杂符号，一般在低级语言或数学语言中使用；2. 函数：函数是一种用来构建复杂表达式的符号，它可以表示逻辑关系和多个已知变量的组合；3. 关系：关系是用来表达客观关系的抽象概念，它可以用来描述两个变量之间的关系和前提条件。
二. 谓词公式的用途谓词公式有多种用途，这些用途不仅限于形式化描述逻辑关系，还可以用于计算机科学、数理逻辑学和程序设计语言等领域。
最常见的用途如下：1. 图灵机理论：谓词公式可以用来描述图灵机的解，给出具体的计算机程序设计方案和执行结果。
这种常用的符号公式有助于编写出可以有效求解图灵机的编程语言，并有效运行。
2. 表示定理证明：谓词公式可以用来描述推理过程，表达式可以用来将复杂的定理证明过程精简，使之更容易理解和验证。
3. 语法表示：谓词公式可以用来描述程序设计语言中的语法结构，展示代码之间的逻辑关系，帮助开发者实现意图的语法及代码的有效组织。
三. 谓词公式的优势1. 数学表达：谓词公式涉及到数学表达，比如变量、函数和等式，使得逻辑关系更易于理解。
2. 推理过程：谓词公式可以用来描述推理过程，使得逻辑性更加易懂，有助于深入理解和记忆，也有助于识别假设、论据和结论等关系式。
3. 生成代码：谓词公式可用于生成程序设计语言中的代码，可以根据谓词公式推断出程序对应的实现，也可以正确地分析给定程序的逻辑关系结构和执行路径。
谓词公式的解释
小结
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为： 1） xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：
在实数集合R中，x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：
1）xF(f(x, a), g(x, a)) 2） xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 ）xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的，永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中，哪些是逻辑 有效的，哪些是不可满足的？ 1）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2）(xF(x)yG(y))yG(y) 3）x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释； （2）定理2.2。
1.5 谓词公式
解法3：反证法 H：WQ, WS, SR；C：RQ
解：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (RQ) (RQ) RQ R Q WQ WQ (WQ) (QW) QW P(附加前提) T,(1),E11 T,(2),E5 T,(3),I1 T,(3),I2 P T,(6),E12 T,(7),E12 T,(8),I2
(1)他是三好学生 (2)7是奇数 (3)每天早晨跑步是好习惯
个体和谓词(Cont.)
在谓词演算中，将原子命题分解为个体 和 谓词 两部分。 定义
个体：原子命题中所描述的对象。它可以是独立 存在的东西,既可以是一个具体的事物，也可以是 一个抽象的概念。 谓词：用以刻划客体的性质或客体与客体之间的 关系。
谓词逻辑的内容?个体谓词和量词?谓词公式与翻译?变元的约束?公式解释与类型?等价式和蕴涵式?谓词公式范式?谓词逻辑的推理理论本节内容?个体谓词和量词?谓词公式与翻译本节要求?理解基本概念?学会谓词公式符号化的方法本节难点?谓词公式符号化个体谓词和量词个体和谓词?一般来说反映判断的句子是由主语和谓语两部分组成的
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，…。 一元谓词：说明一个个体词的谓词，如：“…是光荣 的”、“…是导体”、“…大于零”、…。 二元谓词：说明两个个体词的谓词，如：“…是…的 父亲”、“…大于…”、“赞扬”、“欣赏”、…。 n元谓词：说明n个个体的谓词。
特别地，当n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题， 故命题是n元谓词的一个特殊情况，这样命题与谓词 就得到了统一。
量词举例
例 试用量词、谓词表示下列命题：
① 所有大学生都热爱祖国； ② 每个自然数都是实数； ③ 一些大学生有远大理想； ④ 有的自然数是素数。
谓词公式的解释
谓词公式的解释2.2.3 谓词公式的解释定义2.12谓词逻辑中公式A的每一个解释（赋值）I由以下几部分构成：1）非空个体域D；2）D中的某些特定元素；3）D中的某些特定的函数；4）D中某些特定的谓词。
用一个解释I解释一个谓词公式A包括：将I的个体域D作为A的个体域，A中的个体常元用I中的特定元素代替，A中的函数用I中的特定函数代替，谓词用I上的特定谓词代替。
把这样得到的公式记作A*。
称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：1）∃xF(f(x, a), g(x, a))2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) 3）∀xF(g(x, y), a)给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为：1）∃xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) )) 解释为：3）∀xF(g(x, y), a) 解释为：封闭的公式在任何解释下都成为命题。
定理2.1在实数集合R中，∃x(x+0=x⋅0) 真值为1;在实数集合R中，∀x∀y(x+y=x⋅y→x=y) 真值为0;在实数集合R中，∀x(x⋅y=0) 真值不确定。
2.2.4 谓词公式的类型定义2.13若谓词公式A在任何解释下均为真, 则称A为逻辑有效的或永真式；若A在任何解释下均为假, 则称A为不可满足的或永假式；若至少有一个解释使A为真, 则称A为可满足的。
逻辑有效的公式为可满足的，但反之不真。
命题逻辑与谓词逻辑
如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴 涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真 式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简 称“A蕴涵B”。
2.2 谓 词 逻 辑
• 1．谓词与个体 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是 一个抽象的概念，也可以是一个具体的东 西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式 定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。 如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是 等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G
谓词公式及解释
一个是在马路上散步的“李勇”，
为了避免这种“误会”出现，要对“约束变元”改名。
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 分析x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))变
元身份 解：尽管x在公式x(F(x)G(y))出现，又在
y(H(x)L(x,y,z))出现，但两个x不是一回事， 只是恰巧二个名字相同而矣，
x是量词的指导变元。 (F(x,y)G(x,z))是量词的辖域 在 (F(x,y)G(x,z))中x是约束出现，出现2次。 在(F(x,y)G(x,z))自由出现的变元y/z，各一次。
谓词公式及解释-个体变元的身份 量词指导变元：xA和xA中的x 量词辖域：xA和xA中的A为量词/辖域 变元的约束出现：指导变元的每次出现(称约束变元)。 变元的自由出现：不是约束出现的变元(称自由变元) 。 例题 x(F(x,y)G(x,z)) 例题 x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z)) 解：
与变元约束情况
解：x、y的作用域是(P(x,y)Q(y,z))， x的作用域是P(x,y)。
将与自由变元同名约束变元yr， 将与前一个同名约束变元xs，则原公式
xr(P(x,r)Q(r,z))sP(s,y)
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 x(P(x)xQ(x,z)yR(x,y))Q(x,y)
(4)同一样公式在不同的论域下真值不同，究竟 如何确定一个公式的真值呢？
谓词公式及解释
非逻辑符号:个体常元、函数符号、谓词符号 逻辑符号:个体变元、量词符号、联结词、逗号、 括号。
项的定义：个体常元与变元及其函数式为项。
(1)个体常元和个体变元是项。 (则2)若(t1,(tx2,1…,x,2,t…n)是, x项n)是。n元函数,t1,t2,…tn是n个项， (3)有限次使用(2)得到的表达式是项。 原子公式：
谓词公式与个体变元
2.2 谓词公式与解释谓词公式：谓词演算的合式公式。
2.2 谓词公式与解释定义2.8P(t1, t2, …,t n)称为谓词演算的原子谓词公式，其中，P是谓词，t1, t2, …, t n是个体变元、个体常元或任意的n元函数。
定义2.91）原子谓词公式是谓词公式；2）若A是谓词公式，则(﹁A）也是谓词公式；3）若A和B都是谓词公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)都是谓词公式；4）若A是谓词公式，x是任何个体变元，则∀xA和∃xA都是谓词公式；5）只有经过有限次地应用规则1），2），3），4）所得到的公式是谓词公式。
2.2.1 谓词公式的定义根据运算的优先级，有些括号可以适当的去掉如：F(x)F(x)∨⌝G(x,y)∀x(F(x)→G(x))∃x∀y(F(x)→G(y)∧L(x,y))都是谓词公式。
2.2.2 自由与约束定义2.１０对于谓词公式∀xA或∃xA来说，x称为量词∀x或量词∃x的指导变元或作用变元。
A称为相应量词的辖域。
在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，所有约束出现的变元称为约束变元。
A 中不是约束出现的其他变元均称为是自由出现的，所有自由出现的变元为自由变元。
例2.5说明下列各式中量词的辖域与变元约束的情况：1）∀xF(y)2）∀x(F(x)→G(x))3）∀x(F(x)→∃yG(x, y))4）∀x∀y(F(x, y)∧G(y, z))∧∃xF(x, y)5）∀x(F(x)∧∃xG(x, z)→∃yH(x, y))∨G(x, y)6）∀x(F(x)↔G(x))∧∃xH(x)∧R(x)2.2.2 自由与约束解：1）∀xF(y)∀x的辖域是F(y)，其中y为自由出现。
2）∀x(F(x)→G(x))∀x的辖域是F(x)→G(x), x为约束出现。
3）∀x(F(x)→∃yG(x, y))∀x的辖域是F(x)→∃yG(x, y), ∃y的辖域是G(x, y)，其中x, y都为约束出现。
离散数学19.谓词公式与翻译
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)).
6
例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧
1第2章谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词....
第2章 谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明.一、重点内容1. 谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a ,b ,c ,…表示)和个体变项(用x ,y ,z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F ,G ,P ,…表示.注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。
一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2. 公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则 (1) 每一个常项指定D 中一个元素； (2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3. 前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成B x Q x Q x Q k k ...2211那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔，⎺∨；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.4.谓词逻辑的推理理论 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等值公式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用. 在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和附加量词的规则，有US 规则(全称量词消去规则)，UG 规则(全称量词附加规则)，ES 规则(存在量词消去规则)，EG 规则(存在量词附加规则)等，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算的推理进行.二、实例例2.1 将下列命题符号化：(1) 有某些实数是有理数；(2) 所有的人都呼吸；(3)每个母亲都爱自己的孩子.注意：一般地，全称量词“∀”后，跟蕴含联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设R (x )：x 是实数，Q (x )：x 是有理数。
离散数学精选笔记
离散数学精选笔记一、集合论基础。
1. 集合的定义与表示。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
通常用大写字母表示集合，如A、B、C等。
- 集合的表示方法有列举法和描述法。
- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，例如A = {1,2,3}。
- 描述法：用谓词来描述集合中元素的性质，例如B={xx是偶数且x < 10}。
2. 集合间的关系。
- 包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A包含于B，记作A⊆ B。
当A⊆ B且A≠ B时，称A是B的真子集，记作A⊂ B。
- 相等关系：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
3. 集合的运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设全集为U，A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
- 集合运算的性质：- 交换律：A∩ B = B∩ A，A∪ B=B∪ A。
- 结合律：(A∩ B)∩ C = A∩(B∩ C)，(A∪ B)∪ C=A∪(B∪ C)。
- 分配律：A∩(B∪ C)=(A∩ B)∪(A∩ C)，A∪(B∩ C)=(A∪ B)∩(A∪ C)。
二、命题逻辑。
1. 命题与命题联结词。
- 命题是能够判断真假的陈述句。
例如“今天是晴天”是一个命题。
- 命题联结词：- 否定¬：若P为命题，则¬ P表示“P不成立”。
- 合取wedge：Pwedge Q表示“P并且Q”，当P和Q都为真时，Pwedge Q为真。
- 析取vee：Pvee Q表示“P或者Q”，当P和Q至少有一个为真时，Pvee Q为真。
- 蕴涵to：Pto Q表示“如果P，那么Q”，当P为真Q为假时，Pto Q为假，其余情况为真。
- 等价↔：P↔ Q表示“P当且仅当Q”，当P和Q同真同假时，P↔ Q为真。
2. 命题公式及其分类。
- 命题公式是由命题变元（通常用P、Q、R等表示）和命题联结词按照一定规则组成的符号串。
离散数学21.谓词演算的等价式
1. (x)P(x)(x)P(x)； 2. (x)P(x)(x)P(x). 对这两个公式可以证明如下： 证明：设论域为{a1,a2,....,an}，则 (x)P(x)(P(a1)∧P(a2)∧...∧P(an))
P(a1)∨P(a2)∨...∨P(an)(x)P(x). 类似可以证明另一个公式.
(x)P(x)表示：不是所有人都是优等生.
(x) P(x)表示：有些人不是优等生.
(x)P(x)表示：没有人是优等生.
(x)P(x)表示：所有人都不是优等生.
显然：
“不是所有人都是优等生.”与“有些人不是优等生.”是等价 的.
“没有人是优等生.”与“所有人都不是优等生.”是等价的.于 是有：
从这两个公式，可以总结出如下规律：
将量词前的“”移到量词的后边，全称量词改成存在量 词，存在量词改成全称量词;反之也要做相应改变.
4、量词作用域的扩张与收缩
在量词的作用域中，对于合取或者析取项，如果其中一个 为命题，则可将该命题移直量词辖域外.
1. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 2. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 3. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 4. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 5. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 6. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 7. B→(x)A(x)(x)(B→A(x))；
谓词演算的等价式
谓词演算公式
谓词演算公式一、引言：什么是谓词演算公式？好家伙，说到“谓词演算公式”这东西，估计很多人脑袋就开始发懵了吧。
别急，咱们慢慢来。
你可以把谓词演算公式看作是数学里面的一个“语言”。
它不是那种普通的聊天语言，也不是跟朋友一起喝茶时说的闲话，而是用来描述和表达一些复杂逻辑关系的工具。
想象一下，假设你要表达“所有学生都喜欢看电影”这个意思，用普通语言说可能有点啰嗦，但如果用谓词演算公式，它会变得简洁明了。
你直接把这个命题拆开，把它变成“学生(x)→喜欢看电影(x)”这样的结构，懂了吧？没错，就是这么神奇！这个公式看上去可能复杂，其实它背后是一个非常严密的思维工具，帮助我们在逻辑推理和问题分析中找到方向。
毕竟，不管是做作业还是生活中的抉择，逻辑都挺重要的。
二、谓词和逻辑符号的介绍你肯定会好奇了，什么是谓词？它和普通的词语有啥区别呢？别急，我们说谓词就是描述某种性质或者某种关系的东西。
举个例子，咱们如果说“张三是学生”，这个“是学生”就是谓词，它说明张三具备了某个特定的性质。
如果换成别的例子，比如“李四喜欢足球”，那“喜欢足球”就是谓词。
你可以想象它就像是你给一个人贴上标签一样，标签上写的是他或者它的某种特征或行为。
说到这儿你应该大概明白什么是谓词了吧？别急，问题还没结束呢！再来说说那些看似复杂的逻辑符号。
这里有个小窍门，别把这些符号看得太复杂。
其实它们就是一些“短小精悍”的工具，帮你表达逻辑关系。
比如“∀”就代表“对于所有”，它类似于中文里说的“所有的意思”。
比如“∃”表示“存在”，也就是你在说“有某个东西存在”，就可以用这个符号表示。
然后，最常见的“→”表示“推导”或者“蕴含”。
你可以把它当成是“如果…那么…”的意思，像“如果今天下雨，那么我们就不去爬山”这种话，用这个符号也能轻松表达出来。
你看，虽然这些符号一开始看上去有点吓人，但其实它们挺简单的，是不是有点像学习外语一样？三、谓词演算公式的应用讲完了前面的基础知识，接下来咱们说说这些东西到底能怎么用。
谓词公式的分类与解释
第二节 谓词公式的分类与解释为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。
定义2.1 项：（1） 个体常项和个体变项是项；（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。
定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。
定义2.3合式公式：（1） 原子公式是合式公式；（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。
其中x 为任意的个体变项；（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。
这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。
合式公式的最外层括号可以省去。
定义2.4（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。
（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的。
例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→∃的辖域为)),,()((z y x L y G ∧x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。
x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。
一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。
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第二节 谓词公式的分类与解释
为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。
定义2.1 项：
（1） 个体常项和个体变项是项；
（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；
（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。
定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。
定义2.3合式公式：
（1） 原子公式是合式公式；
（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；
（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；
（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。
其中x 为任意的个体变项；
（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。
这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。
合式公式的最外层括号可以省去。
定义2.4
（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。
（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称
为自由出现的。
例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为
))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→
∃的辖域为
)),,()((z y x L y G ∧
x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。
x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。
一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。
用下面定义对公式进行解释。
定义2.5 一个解释I 由下面4个部分构成：
（1） 非空的个体域D ；
（2） D 上一部分特定的元素；
（3） D 上一些特定的函数；
（4） D 上一些特定的谓词。
注：一个给定公式的解释不一定包括上面全部的四个部分。
例2.1 给定解释I 如下：
① 个体域N D =（自然数集合）；
② N 中特定的元素0=a ；
③ N 上特定函数：y x y x g y x y x f ⋅=+=),(,),(；
④ N 上特定的谓词，),(y x F 为y x =。
在解释I 下，下列公式中哪些为真？哪些为假？哪些的真值还不能确定？
（1） )),,((x a x g xF ∀；
（2） ))),,(()),,(((x a y f F y a x f F y x →∀∀；
（3） )),,((z y x f zF y x ∃∀∀；
（4） )),(),,((y x g y x f yF x ∀∀；
（5） )),(),,((z y f y x f F ；
解 （1） 在I 下，)),,((x a x g xF ∀为)0(x x x =⋅∀，即对任意的自然数x 而言，均有 x x =⋅0，这是假命题。
（2） 公式被解释为
)00(x y y x y x =+→=+∀∀，
这是真命题。
（3） 公式被解释为
)(z y x z y x =+∃∀∀，
这也是真命题。
（4）公式被解释为
)(y x y x y x ⋅=+∀∀，
这是假命题。
（5）公式被解释为
z y y x +=+，
它的真值不能确定。
z y y x +=+不是命题。
通过此例说明，在给定解释I 下，有的公式为真，有的为假，有的真值不能确定。
有的公式在任何解释下都为真，也有的公式在任何解释下都为假，还有些公式在某些 解释下为真，在另一些解释下为假。
根据这些情况将公式分为三类。
定义2.6 设A 为一个谓词公式。
（1） 若A 在任何解释下均为真，则称A 是逻辑有效式或称为永真式；
（2） 若A 在任何解释下均为假，则称A 为矛盾式或称为永假式或不可满足式；
（3） 若至少存在一个解释使A 为真，则称A 为可满足式。
永真式当然是可满足式。
由于公式的复杂性和解释的多样性，到目前为止，还没有一个可行的算法来判断任何 一个谓词公式是否为逻辑有效式。
定义2.7 设A 0是含命题变项12,,,n p p p L 的命题公式，12,,,n A A A L 是n 个谓词公式，用(1)i A i n ≤≤处处代替0A 中的i p ，所得公式A 称为0A 的代换实例。
命题公式的重言式在谓词公式中的代换实例都是逻辑有效的，命题公式的矛盾式在谓词逻辑中的代换实例都是矛盾式。
例如，)(q p p ∨→是重言式，用)(x xF ∀代换p ，)(y yG ∃代换q ，得谓词公式 ))()(()(y yG x xF x xF ∃∨∀→∀
为)(q p p ∨→的代换实例，它是逻辑有效的。
又如q q p ∧→¬)(是矛盾式，则 )())()((y yG y yG x xF ∃∧∃→∀¬
为q q p ∧→¬)(的代换实例，它是矛盾式。