谓词公式的分类与解释

第二节 谓词公式的分类与解释

为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。

定义2.1 项：

（1） 个体常项和个体变项是项；

（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；

（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。

定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。

定义2.3合式公式：

（1） 原子公式是合式公式；

（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；

（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；

（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。其中x 为任意的个体变项；

（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。

这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。合式公式的最外层括号可以省去。 定义2.4

（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。

（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称

为自由出现的。

例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为

))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→

∃的辖域为

)),,()((z y x L y G ∧

x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。

一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。用下面定义对公式进行解释。

定义2.5 一个解释I 由下面4个部分构成：

（1） 非空的个体域D ；

（2） D 上一部分特定的元素；

（3） D 上一些特定的函数；

（4） D 上一些特定的谓词。

注：一个给定公式的解释不一定包括上面全部的四个部分。

例2.1 给定解释I 如下：

① 个体域N D =（自然数集合）；

② N 中特定的元素0=a ；

③ N 上特定函数：y x y x g y x y x f ⋅=+=),(,),(；

④ N 上特定的谓词，),(y x F 为y x =。

在解释I 下，下列公式中哪些为真？哪些为假？哪些的真值还不能确定？

（1） )),,((x a x g xF ∀；

（2） ))),,(()),,(((x a y f F y a x f F y x →∀∀；

（3） )),,((z y x f zF y x ∃∀∀；

（4） )),(),,((y x g y x f yF x ∀∀；

（5） )),(),,((z y f y x f F ；

解 （1） 在I 下，)),,((x a x g xF ∀为)0(x x x =⋅∀，即对任意的自然数x 而言，均有 x x =⋅0，这是假命题。

（2） 公式被解释为

)00(x y y x y x =+→=+∀∀，

这是真命题。

（3） 公式被解释为

)(z y x z y x =+∃∀∀，

这也是真命题。

（4）公式被解释为

)(y x y x y x ⋅=+∀∀，

这是假命题。

（5）公式被解释为

z y y x +=+，

它的真值不能确定。z y y x +=+不是命题。

通过此例说明，在给定解释I 下，有的公式为真，有的为假，有的真值不能确定。 有的公式在任何解释下都为真，也有的公式在任何解释下都为假，还有些公式在某些 解释下为真，在另一些解释下为假。根据这些情况将公式分为三类。

定义2.6 设A 为一个谓词公式。

（1） 若A 在任何解释下均为真，则称A 是逻辑有效式或称为永真式；

（2） 若A 在任何解释下均为假，则称A 为矛盾式或称为永假式或不可满足式；

（3） 若至少存在一个解释使A 为真，则称A 为可满足式。

永真式当然是可满足式。

由于公式的复杂性和解释的多样性，到目前为止，还没有一个可行的算法来判断任何 一个谓词公式是否为逻辑有效式。

定义2.7 设A 0是含命题变项12,,,n p p p L 的命题公式，12,,,n A A A L 是n 个谓词公式，用(1)i A i n ≤≤处处代替0A 中的i p ，所得公式A 称为0A 的代换实例。

命题公式的重言式在谓词公式中的代换实例都是逻辑有效的，命题公式的矛盾式在谓词逻辑中的代换实例都是矛盾式。

例如，)(q p p ∨→是重言式，用)(x xF ∀代换p ，)(y yG ∃代换q ，得谓词公式 ))()(()(y yG x xF x xF ∃∨∀→∀

为)(q p p ∨→的代换实例，它是逻辑有效的。又如q q p ∧→¬)(是矛盾式，则 )())()((y yG y yG x xF ∃∧∃→∀¬

为q q p ∧→¬)(的代换实例，它是矛盾式。