一元二次方程经典题型汇总

一元二次方程经典题型汇总

一、一元二次方程的概念

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

一．填空题：

1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________．

2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.

3．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 4、.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是_____

5、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。 二．选择题：

6．在下列各式中 ①x 2+3=x; ②2 x 2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2- 4x – 5 ; ④x 2=-

x

1+2 是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7、下列方程中，一元二次方程是（ ）

（A ） 221

x

x +（B ） bx ax +2（C ） ()()121=+-x x （D ） 052322=--y xy x

8．一元二次方程的一般形式是( )

A x 2+bx+c=0

B a x 2+c=0 (a ≠0 )

C a x 2+bx+c=0

D a x 2+bx+c=0 (a ≠0)

9．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0

10、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）

A 、1

B 、1-

C 、1或1-

D 、1

2

三、.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，

b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

练习：

用直接开平方法解下列一元二次方程

1、0142

=-x 2、2)3(2=-x 3、()512

=-x 4、()162812

=-x

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有

222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 练习：

1．用适当的数填空：

①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．

4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2

=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．

5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）

A ．（a-2）2+1

B ．（a+2）2-1

C ．（a+2）2+1

D ．（a-2）2-1

7．把方程x+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2

8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2± C ． D ．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）

A ．总不小于2

B ．总不小于7

C ．可为任何实数

D ．可能为负数

10、用配方法解方程2

420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2

(2)2x -=

B ．2

(2)2x +=

C ．2

(2)2x -=-

D ．2

(2)6x -=

11．用配方法解下列方程：

（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4

1 x 2

-x-4=0

12、用配方法求解下列问题

（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(242

2≥--±-=

ac b a

ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c

练习：用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x

2、2

2

314y y -= 3、y y 32132=+

4、01522=+-x x

5、1842-=--x x

6、02322=--x x

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

练习：用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x x 22=

2、0)32()1(22=--+x x

3、0862=+-x x