置信区间的概念[1]

[X
n
z0.01 , X
n
z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
其区间长度不一样，上例
1
2 n z0.025 3.92 4 0.98
比此例
1 4
( z0.04
z0.01 )
4.08
1 4
1.02
短。
14
置信区间短表示估计的精度高，第一个区间为优
（单峰对称的）。可见，像 N(0,1)分布那样概率密度
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N(, 2)的前提下提出的。 由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么 分布，都近似有
Z X EX ~ N(0,1) DX n
[ X n z 2 , X n z 2 ]
均可看作EX的置信区间。
12
例1 设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值： 12.6，13.4，12.8，13.2，
1 1( X1, X 2 , , X n ),
2 2 ( X1, X 2, , X n )
(1 2 )
则称 [1,2 ] 为随机区间。
随机区间与常数区间 (a, b) 不同，其长度与在数轴上
的位置与样本 X1, X 2 , , X n 有关。
当一旦获得样本值 x1 , x2 , xn 那么， 1(x1, x2 , xn ), 2 (x1, x2 , xn ) 都是常数。
第四节
第七章
置信区间的概念
一、置信区间的概念 二 、数学期望的置信区间 三 、方差的置信区间
1
一、置信区间的概念
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的
一个值去估计未知参数. 但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，
使用起来把握不大. 范围通常用区间的形式给出的。
注：该区间不一定包含μ. 13
又如，上例中同样给定 0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
0.04
P{ z0.04 P{X
X 2
z0.01}
n
n
z0.01
X
0.95
n z0.04}
0.95
z0.04Βιβλιοθήκη 0.01z0.01
则μ的置信度为0.95的置信区间为
的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以[ X
n
z
2]
的区间长度为最短，我们一般选择它。
若以L为区间长度，则
L
2
n
z
2
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值，可以得到不同的置信区间。
15
可见，对参数作区间估计， 就是要设法找出两个
这种形式的估计称为区间估计.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比
较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
定义7.6 若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的 两个统计量
n
z 2} 1
这就是说随机区间
[ X n z 2 , X n z 2 ]
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
这就是说随机区间
2
2
[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是： 若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96)
4
4
即
(x 0.49) 确定一个区间。
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。 在这么多的区间内包含μ的占0.95,
不包含μ的占0.05。 本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信 程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95.
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取显著水平 0.025, 0.等05., 0.1, 即取置信水平 1 0或.9705.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 , , X n 为总体 X ~ N(, 2) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。 对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
个区间，它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
一、数学期望的置信区间
1、已知σ2时，μ的置信区间
其置信度为 1－α。
置信下限 X n z 2
置信区间也可简记为
置信上限
X
n
z 2
[ X n z 2 ]
9
若取
[ X n z 2 , X n z 2 ]
0.05 1 0.95 1 n 16
查表得 z z0.025 1.96 2
若由一个样本值算得样本均值的观察值 x 5.20
则得到一个区间 (5.20 0.49) (4.71, 5.69)
求参数μ的置信度为0.95的置信区间.
解
μ的置信区间为
[X
z
2
0
n
,
X
z
2
0 ]
n
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得 x 13 ,
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3]
2
2
z z0.025 1.96
2
得到μ的一个区间估计为 [12.706，13.294].
[1,2 ] 为常数区间。
3
定义7.7 设是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1 则称区间 [1,是2 ] 的置信水平（置信度）为 1
的置信区间. 1 和2 分别称为置信下限和置信上限
（双侧置信区间）.
1 为置信度， 为显著水平.
设 X ~ N(, 2)
X ~ N(, 2 )
EX
2
DX
n
n
则随机变量 Z X ~ N(0,1)
2
n
令
X
P{
2
z } 1
2
n
2
z
2
z
2
2
7
令
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z 2 X
n
z 2} 1
P{X
n
z 2
X