复变函数第9讲解读

(---这是解析函数的又一特征) 结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相 等，则它们在整个区域上也相等.
1
f (z)
dz 0.
2 i C z z0
7
(3) 解析函数可用复积分表示
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d .
其中在C上，z在C内.
(4) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周C
上的平均值. C : z z0 R ei
(1) 均是沿围线的积分，且围线内只有一个奇点； (2) 被积函数为分式；
(3) 积分值均跟 2 i 有关 .
2
积分值等于被积函数中的分子在使分母为零的点处
的函数值与2 i的乘积.
设D 单连通, f (z)在D内 解析, z0 D,C是D内围绕 z0的一条闭曲线,
C z0
D
则
f (z) z z0
dz 1
f (z)
(sin z) /(z i)
dz
C1
zi
(sin z) /(z i)
dz
C2
zi
2 i sini 2 i sin(i)
ii
ii
2 sini.
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例3 求积分I 1 sin z dz.
2 i z 4 z
解 I 1
sin z dz sin z 0.
2 i z 4 z
(z
z2 ห้องสมุดไป่ตู้)3
dz
2
i,
经思索、观察，它可写成
|z 2|1
(z
z2 2)3
dz
2 i
[(z2 )'']z2 2!
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当f (z)满足一定条件时，是否会有
f (z)
|zz0| R (z z0 )n1
dz
2 i
f (n) (z0 ) n!
定理6 设f (z)在简单(或复合)闭曲线C上及
(1) I 0 (?).
C2
i 2
i
(2) I 2 i e 2 2 i(i) 2 .
9
例2 计算I
sin z C z2 1 dz,
y
其中C为 | z | r 1.
C C1
i
解：被积函数有奇点 i 和 -i.
O i x
sin z
sin z
C2
I
C1 z2 1 dz
C2
z2
在z0不解析.
f (z) 一般 dz 0.
C z z0
C
f (z) dz z z0
f (z0 ) 2 i
3
C：| z z0 |
由 f (z)的连续性,
函数 f (z)在 C 上 的值将随
C z0
D
着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
f (z) dz 将接近于 f (z0 ) dz. ( 减小)
z0
例4
计算I
C
cos z z(z 2)
dz, 其中C为
(1) | z | 1; (2) | z | 3.
提示：应用柯西积分公式计算.
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例5 设C 表圆周x2 y2 9, f (z) 3 2 7 1d ,
C z
求 f '(1 i).
解 ： 3z2 7z 1在全平面上处处解析，
则 0, ( ) 0,
C z0
D
当 z z0 时, f (z) f (z0 ) .
5
设以 z0 为中心, 半径为 R (R ) 的正向圆周K :
z z0 R全在 C 的内部,
则 f (z) dz f (z) dz
C z z0
K z z0
f (z0 ) dz f (z) f (z0 ) dz
|f (z) | a, | f (0) | a 试证 在圆 | z | R内f (z)至少有一个零点.
13
四、小 结
如果f (z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围区域 D内解析, 则
f (z)
dz 0.
C z z0
C
f (z) z z0
dz
f (z0 ) 2 i
14
柯西积分公式
定理 设f (z)在简单(或复合)闭曲线C上 及所围区域D内解析,则对任意z0 D,皆有
4.3 柯西积分公式
一、 问 题 的 提 出
二、 柯 西 积 分 公 式
三、 典 型 例 题
四、 小
结
1
一、问题的提出
回忆 上节课的两个结果
y
2z 1
2z 1
C1
z 1 dz 2 i
z C1
z dz 2 i
C2 z 1
o
C2
1
x
C1 , C2分别是以0，1为圆心的两个相互外离的正向圆周. 重要例子.
1
f (z0 ) 2 i
f (z) dz 1
C z z0
2
2 0
f (z0 Rei )d .
C
f (z) z z0
dz
2
i
f (z0 ).
8
三、典型例题
例1 计算I C
ez
dz , 其中C为
y
z i
2
C1
(1) | z | 1; (2) | z | 2.
O
x
解： ez在复平面上处处解析
K z z0
K z z0
2 if (z0 )
K
f (z) f (z0 ) dz z z0
C1
C
z0 R
K
D
C2
K
f (z) f (z0 ) dz z z0
f (z) f (z0 ) ds
K z z0
R
ds 2π . K [证毕]
6
关于柯西积分公式的说明:
(1)函数f (z)在D内部任一点z0的值f (z0 ),可以由 f (z)在D的边界C上的值通过积分来确定.
所围区域D内解析, 则在D内具有任意阶导 数，且对任意z0 D,都有
f
(n) (z0 )
n!
2 i
f (z)
C
(z
n1
z0 )
dz
(n 1,2,).
C z z0
C z z0
f (z0 ) dz
C z z0
1
f (z0 )
C
dz z z0
2 if (z0 ).
4
二、柯西积分公式
定理 设f (z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围 区域D内解析,则对任意z0 D,皆有
f
(z0 )
1
2
i
f (z) dz.
C z z0
证 因为 f (z) 在 z0 连续,
f (z)
C
3
2 7 z
1d
0
2
i(3z2
7z
z 3 1) z 3
又
f
'(
z
)
0
2
i(6z
7)
z 3 z 3
故 f '(1 i) 2 i[6(1 i) 7] 2 (13i 6).
12
例 设函数f (z)在闭圆| z | R上解析，如果存在a 0, 使 | z | =R时
1 f (z)
f (z0 ) 2 i
dz. C z z0
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解析函数的无穷可微性
在以前的讨论中我们曾不止一次的看到：新东 西的发现常常属于勤于观察、善于观察的人。
(z2 )' 2z, (sin z)' cos z, (cos z)' sin z
提问：解析函数的导数仍是解析函数？
|z2|1