八年级一次函数教案
变量与函数（1）
知识技能目标
1.掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；
2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.
过程性目标
1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．
问题1如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；
(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
二、探究归纳
问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：
观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．
解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹()为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
观察上表回答：
(1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系?
(2)波长l 越大，频率f 就．
解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即
＝300 000，
或者说 l 300000=f ． (2)波长l 越大，频率f 就 越小 ．
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则S 与r 之间满足下列关系：S ＝．
利用这个关系式，试求出半径为1 、1.5 、2 、2.6 、3.2 时圆的面积，并将结果填入下表：
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就．
解 S ＝πr 2．
圆的半径越大，它的面积就越大．
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ，气温T 随着时间t 的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量()．
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量( )，y 是因变量( )，此时也称y 是x 的函数()．表示函数关系的方法通常有三种：
(1)解析法，如问题3中的l
300000=f ，问题4中的S ＝π r 2，这些表达式称为函数的关系式． (2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．
(3)图象法，如问题1中的气温曲线．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量()，如问题3中的300 000，问题4中的π等．
三、实践应用
例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?
解 (1)平均身高是146.1；
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．
例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
(1)圆的周长C 与半径r 的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s （千米）和所用时间t （时）的关系式；
(3)n 边形的内角和S 与边数n 的关系式．
解 (1)C ＝2π r ，2π是常量，r 、C 是变量；
(2)s ＝60t ，60是常量，t 、s 是变量；
(3)S ＝(n －2)×180，2、180是常量，n 、S 是变量．
四、交流反思
1.函数概念包含：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间的对应关系．
2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量．
3.函数关系三种表示方法：
(1)解析法；
(2)列表法；
(3)图象法．
五、检测反馈
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：
(1)三角形的一边长5，它的面积S (2)与这边上的高h ()的关系式是h S 2
5
； (2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；
(3)若某种报纸的单价为a 元，x 表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y （元）与x 间的关系是：y ＝．
3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：
(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y （元）与学生数n （个）的关系；
(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n （个）与单价a （元）的关系．
4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x 表示涂黑的格子横向的乘数，y 表示纵向的乘数，试写出y 关于x 的函数关系式．
变量与函数（2）
知识技能目标
1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
过程性目标
1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；
2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．
教学过程
一、创设情境
问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
解如图能发现涂黑的格子成一条直线．
函数关系式：y＝10－x．
问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
解y与x的函数关系式：y＝180－2x．
问题3 如图，等腰直角△的直角边长与正方形的边长均为10 ，与在同一直线上，开始时A 点与M点重合，让△向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积2与长度x之间的函数关系式．
解 y 与x 的函数关系式：22
1x y =．
二、探究归纳
思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．
问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°． 问题3，开始时A 点与M 点重合，长度为0，随着△不断向右运动过程中，长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，长度达到10．
解 (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9；
问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90；
问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10．
(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是
4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：
s ＝60t ， S ＝πR 2．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0．
对于函数 y ＝x (30－x )，当自变量x ＝5时，对应的函数y 的值是
y ＝5×(30－5)＝5×25＝125．
125叫做这个函数当x ＝5时的函数值．
三、实践应用
例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)2
1+=x y ； (4)2-=x y ．
分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，
(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，2
1+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义．
解 (1)x 取值范围是任意实数；
(2)x 取值范围是任意实数；
(3)x 的取值范围是x ≠－2；
(4)x 的取值范围是x ≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y (元)关于用电度数x 的函数关系式；
(2)已知等腰三角形的面积为202，设它的底边长为x ()，求底边上的高y ()关于x 的函数关系式；
(3)在一个半径为10 的圆形纸片中剪去一个半径为r ()的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S (2)，求S 关于r 的函数关系式．
解 (1) y ＝0.50x ，x 可取任意正数； (2)x y 40=，x 可取任意正数； (3)S ＝100π－πr 2，r 的取值范围是0＜r ＜10．
例3 在上面的问题(3)中，当＝1 时，重叠部分的面积是多少?
解 设重叠部分面积为y 2，长为x ， y 与x 之间的函数关系式为
22
1x y = 当x ＝1时，2
11212=?=y 所以当＝1 时，重叠部分的面积是2
12．
例4 求下列函数当x = 2时的函数值： (1)y = 25 ； (2)y =－3x 2 ；
(3)1
2-=x y ； (4)x y -=2． 分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值．
解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y 1
22- 2； (4)当x = 2时，y
22- 0．
四、交流反思
1.求函数自变量取值范围的两个依据：
(1)要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
五、检测反馈
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 ，它的各边长减少x 后，得到的新正方形周长为y ．求y 和x 间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；
(3)矩形的周长为12 ，求它的面积S (2)与它的一边长x ()间的关系式，并求出当一边长为2 时这个矩形的面积．
2.求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)； (3)36+=x x y ； (4)12-=x y ． 3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s ＝10t ＋2t 2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y ＝(1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)1
2-+=x x y ． 函数的图象（1）
知识技能目标
1.掌握平面直角坐标系的有关概念；
2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；
3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．
过程性目标
1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；
2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.
教学过程
一、创设情境
如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A 在数轴上的坐标是4，点B 在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．
我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．
二、探究归纳
问题1例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？
解因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．
问题2在教室里，怎样确定一个同学的座位？
解例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．
问题3要在一块矩形(＝40，＝25)的铁板上钻一个直径为10的圆孔，要求：
(1)孔的圆周上的点与边的最短距离为5，
(2)孔的圆周上的点与边的最短距离为15．
试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？
分析圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10，所以半径为5 ，所以圆心O到边距离为20，圆心O到边距离为10．由此可见，确定一个点（圆心O）的位置要有两个数(20和10)．
在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系()．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方
向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数
轴的交点O叫做坐标原点．
在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实
数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴
作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应
的数为3，称为点P的横坐标()；点N在y轴上对应的数
为2，称为点P的纵坐标()．依次写出点P的横坐标和纵
坐标，得到一对有序实数(3,2)，称为点P的坐标()．这时
点P可记作P(3,2)．在直角坐标系中，两条坐标轴把
平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为
第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个
象限．
三、实践应用
例1在上图中分别描出坐标是(2,3)、(－2,3)、(3,－2)
的点Q、S、R，Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗？S(－2,3)
与R(3,－2)是同一点吗？
解
Q(2,3)与P(3,2)不是同一点；
S(－2,3)与R(3,－2)不是同一点．
例2写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答：(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征？
(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？
解A(－1,2)、B (2,1)、C (2,－1)、D (－1,－1)、E (0,3)、F (－2,0)．
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；
在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；
在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；
(2)x轴上点的纵坐标等于零；
y轴上点的横坐标等于零．
说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．
例3在直角坐标系中描出点A(2,－3)，分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：
(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
(2)关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？
解
(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；
(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；
(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．
例4在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？
分析如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作⊥x轴于M，在△中，∠1＝∠2＝45°，所以｜｜=｜｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，为正值，也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则为负值，也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若
P点为第二、四象限角平分线上任一点，则与一正一负，所以
P点横坐标与纵坐标互为相反数．
解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反
数．
四、交流反思
1.平面直角坐标系的有关概念及画法；
2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；
3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；
4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．
五、检测反馈
1.判断下列说法是否正确：
(1)(2，3)和(3，2)表示同一点；
(2)点(－4，1)与点(4，－1)关于原点对称；
(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；
(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？
），），（，），（
，），（，（），，），（，），（，），（，），（，），（，（），，），（，），（），（， （0 2
11 211 2133 2113 2
126 216 18 06 16 213 2
123 2111 ,2131 21),0 ,21(------- 3.指出下列各点所在的象限或坐标轴：
A (－3,－5)，
B (6,－7)，
C (0,－6)，
D (－3,5)，
E (4,0)．
4.填空：
(1)点P (5,－3)关于x 轴对称点的坐标是 ；
(2)点P (3,－5)关于y 轴对称点的坐标是 ；
(3)点P (－2,－4)关于原点对称点的坐标是 ．
5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三)．请至少说出图中四个棋子的“位置”．
函数的图象（2）
知识技能目标
1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象；
2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.
过程性目标
1.结合实际问题，经历探索用图象表示函数的过程；
2.通过学生自己动手，体会用描点法画函数的图象的步骤.
教学过程
一、创设情境
问题1 在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下．
二、探究归纳
先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？
分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10,2)．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标()，表示时间为t时的气温是T．
问题2 如图,这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？
分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数．这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系．例如，下午14:30时的指数是1746.26，表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(14:30, 1746.26)．实质上也就是说，当时间是14:30时，对应的函数值是1746.26．
上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子．
一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．
三、实践应用
例1画出函数y＝x＋1的图象．
分析要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．解取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3 …，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
…，(－3,－2)，(－2,－1)，(－1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，…在直角坐标系中，描出