基于Gram-Schmidt的图像融合方法概述

基于Gram-Schmidt的图像融合方法概述

摘要遥感图像融合的目的是综合来自不同空间分辨率和光谱分辨率的遥感信息，生成一幅具有新空间特征和波谱特征的合成图像。它具有重要的意义和广泛的应用前景。而由于采用的算法或变换方法的不同，融合方法有多种。在众多的融合方法相互比较的过程中，我们发现Gram-Schmidt具有较高的图像保真效果，是一种高效的图像融合方法。由于该算法在遥感图像融合中的应用尚处于起步阶段，对于Gram-Schmidt光谱锐化高保真的影像融合算法的了解尚不全面。对此，对Gram-Schmidt的原理、方法、优势等做了较为详尽的介绍。

关键词遥感融合保真Gram-Schmidt 概述

1 引言

对于光学系统的遥感影像，其空间分辨率和光谱分辨率一直存在着不可避免矛盾。在一定的信噪比的情况下，光谱分辨率的提高必然导致牺牲空间分辨率为代价。然而，通过将较低空间分辨率的多光谱影像和较高空间分辨率的影像的全色波段影像的融合，可以产生多光谱和高空间分辨率的影像。因此，各种基于不同算法的融合方法得到了迅速地发展和广泛地应用。

随着遥感技术的发展，由于对图像解译和反演目标参数的需要，一些简单的融合方法在很大程度上已经无法满足对于光谱信息保持，空间纹理信息增加的迫切需求。例如，对于检测植被活力和生长状态，反演陆地生产力，进行环境评价和矿产勘测等，如果融合后的图像信息的保真度无法满足要求，将会导致错误结果的产生。

通常采用的遥感图像融合方法有IHS变换、Brovey变换、主成分变换、小波变换等。虽然，这些融合方法都能够增加多光谱影像的空间纹理信息特征。但IHS、Brovey、主成分变换等方法易使融合后的影像失真；小波变换光谱信息虽保真相对较好，但小波基选择困难，且计算相对复杂（李存军等，2004）。

基于Gram-schmidt算法的图像融合方法既能使融合影像保真度较好，计算又较为简单。本文将对该影像融合算法的原理、方法以及所具备的优势做较为详尽的介绍。

2 算法简介

Gram-Schmidt算法，即Gram-Schmidt正交化算法，是数值线性代数中的基本算法之一。在数学上，该算法经常用于计算矩阵A∈R m×n的QR分解，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。（赵韬等，2007）

数学上一种优良的算法的产生，往往意味着其它相关技术领域的一次新的革命。然而，这样的算法普及需要经历较为漫长的阶段，Gram-Schmidt 算法也不例外。该算法最早于上世纪70年代初由Schmidt 提出，而真正应用于遥感领域始于21世纪初，最初的算法称为经典Gram-Schmidt 算法(Class Gram-Schmidt,CGS)。随后，为了提高CGS 算法的数值稳定性，人们提出很多改进的Gram-Schmidt 算法。例如，修正的Gram-Schmidt(MGS)算法和迭代的classical Gram-Schmidt(ICGS)算法。由于经典和修正Gram-Schmidt 正交化算法基于level 1/2 BLAS 运算，低级BLAS 运算对cache 的利用率比较低，从而限制了算法性能。

构造正交基经常是Krylov 子空间方法求解线性代数问题的关键步骤。一般地，可以通过经典Gram-Schmidt(CGS)算法或修正Gram-Schmidt(MGS)算法计算矩阵A 的QR 分解从而获得正交基。CGS 和MGS 在数学上等价，然而由于舍入误差的存在，这2种Gram-Schmidt 算法产生的矩阵Q 的正交性在应用上往往不能达到机器精度。（赵韬等，2009）文献【10】对该算法进行了改进，提高了应用中的机器精度。

以下对Gram-Schmidt 正交化过程做详尽介绍（同济大学数学系，2007）：

设{u 1，u 2，…，u n }是一组相互独立的向量，通过Gram-Schmidt 可构造正交向量{v 1，v 2，…，v n }。取

，；；

1-n 1-n 1-n n 1-n 222n 211n 1n n 111212211v ]

v ,[v ]u ,[v ...-v ]v ,[v ]u ,[v -1v ]v ,[v ]u ,[v -u v v ]v ,[v ]u ,[v -u v u v =⋯

⋯⋯⋯⋯⋯== 容易验证{v 1，v 2，…，v n }两两正交，且{v 1，v 2，…，v n }与{u 1，u 2，…，u n }等价。上述从相互独立的向量{u 1，u 2，…，u n }导出正交向量组{v 1，v 2，…，v n }的过程，称为Gram-Schmidt 正交化过程。

通过这样的正交化变换过程，可以消除矩阵的冗余信息。同时，由于Gram-Schmidt 正交化具有良好的数值稳定性而被广泛应用于各个领域。本文主要探讨其在遥感领域的应用。 3 Gram-Schmidt 光谱锐化方法介绍

GS 光谱锐化方法（Gram-Schmidt Spectral Sharpening ）是一种图像融合方法。将Gram-Schmidt 算法应用到遥感图像处理上始于1998年，GS 光谱锐化方法随着诞生。该图像融合方法为Laben 和Brover 所创，最终成为Eastman Kodak （柯达公司）专利。它借助ENVI 遥感图像处理软件，依靠组件更替战略，使得该融合方法得以广泛地推广和应用。（Bruno 等，2006）

运用GS 融合方法，如同其发明者所描述的那样：由于高空间分辨率全色图像和低空间分辨率多光谱图像的融合，多光谱图像的空间分辨率被提高。(Laben 等，2000)

需了解GS 光谱锐化方法，首先引入介绍经典的遥感图像融合方法：主成分变换（PC 变换）。主成分变换是摇感数字影像处理中运用比较广泛的一种算法，是一种建立在统计基础上的多波段的正线性变换，变换中它将一组相关变量转化为一组原始变量不相关的线性组合。

而GS 变换与传统的PC 变换的区别在于：

（1）PC 变换的第一分量PC 1包含信息最多，而后面的分量信息含量依次减少，GS 变换产生的各个分量只是正交，各分量间的信息量差异不十分明显；

（2）GS 变换的另一个特点是变换后的第1个分量仍然为原变换前的第一个分量。其数值没有变化。

Gram-Schmidt 光谱锐化融合具体步骤如下图(Laben 等，2000)：

图1 Gram-Schmidt 图像融合流程图

Gram-Schmidt 光谱锐化图像融合的关键步骤可表述如下：

（1）使用多光谱低空间分辨率影像对高分辨率波段影像进行模拟（图1（1））。

模拟的方法有以下两种：①将低空间分辨率的多光谱段影像，根据权重W i 进行模拟，即模拟的全色波段影像灰度值i

k i i B W P ⨯=∑=1（B i 为多光谱影像第i 波段灰度值）；②将全色

波段影像模糊（可通过低通滤波或局域均值化处理，使其具有与多光谱图像相似的分辨率），然后取子集，并将其缩小到与多光谱影像相同的大小。

上述两种融合方法的融合结果，方法①空间信息增强效果较好，但由于光谱特征与GS 反变换采用的全色波段存在差异，融合图像光谱特征存在一定扭曲；方法②的光谱保真度较好，而空间信息增强效果较差。为了改进融合图像的质量，既达到较好的空间信息增强效果，又保