人教版高一数学必修三第三章几何概型
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栏目 导引
第三章 概率
用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位
被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻度处
的概率为( )
2
1
A.3
B.3
C.16
D.14
解析：选 B.由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米
刻度处的概率为 P＝2－3 1＝13.
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第三章 概率
4．求解几何概型的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意选择的观察角度要保证基本事 件的无限性及等可能性)． (2)把所有的基本事件转化为与之相对应的区域 D. (3)把所求的随机事件 A 转化为与之相对应的区域 d. (4)利用几何概型的概率计算公式求解．
栏目 导引
第三章 概率
3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
第三章 概率
考点 区分古典概 型和几何概型
几何概型的 概率计算公式
学习目标 通过实例体会几何概型 的含义，会区分古典概型 和几何概型 掌握几何概型的概率计 算公式，会求一些事件的 概率
核心素养 数学抽象、 直观想象
逻辑推理、 数学运算
第三章 概率
问题导学 (1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来 计算事件发生的概率吗？ (2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？ (3)几何概型有几种模型？
栏目 导引
第三章 概率
与长度有关的几何概型
(1)某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在
7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻
是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )
1
1
A.3
B.2
C.23
D.34
栏目 导引
第三章 概率
(2)(2019·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)在区间[－1，2]内任取
第三章 概率
(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内 随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为 1 000， 其中有 780 粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率 π 的值(用分数表示)为________． 解析：令正方形内切圆的半径为 r，则正方形边长为 2r，则由题意 中“落在正方形内的豆子的总数为 1 000，其中有 780 粒豆子落在 该正方形的内切圆内”可得1708000＝π4rr22，化简得 π＝7285. 答案：7285
栏目 导引
第三章 概率
2．几何概型中事件 A 的概率的计算公式 构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度__（__面__积__或__体__积__）____． 3．几何概型的常见类型 (1)长度型．(2)角度型．(3)面积型．(4)体积型．
一个数 a，则点(5，a)位于 x 轴下方的概率为( )
2
1
A.3
B.2
1
1
C.3
D.6
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【解析】 (1)由题意得图：
第三章 概率
由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为12. (2)在区间[－1，2]内任取一个数 a，则点(5，a)位于 x 轴下方，可 得 a∈[－1，0)． 由几何概型可得 P＝02－ －（ （－ －11） ）＝13.故选 C. 【答案】 (1)B (2)C
②在古典概型中，概率为 0 的事件是不可能事件，概率为 1 的事件 是必然事件，而在几何概型中，概率为 0 的事件可能发生，概率为 1 的事件也可能不发生．例如在一个圆面内任取一点，取到圆心的 概率等于 0，但我们仍有可能在圆内取到圆心．也就是说，“单点 事件”是不影响几何概型概率的计算的，因而在计算几何概型的概 率时，线段的端点、区域的边界是否包含在所求事件之内，都不会 影响最终的计算结果．
栏目 导引
下列概率模型中，几何概型的个数为( )
第三章 概率
①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；
Leabharlann Baidu
②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的
概率；
③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于 1 而小于 3 的数
的概率；
④向一个边长为 4 cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过 1 cm
的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
栏目 导引
第三章 概率
解析：选 C.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10] 上有无数个数，且每个数被取到的机会相等； ③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有 21 个，是有限的； ④中的概率模型是几何概型，因为在边长为 4 cm 的正方形内有无 数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．
栏目 导引
第三章 概率
求解与长度有关的几何概型的步骤 (1)找到试验的全部结果构成的区域 D，这时区域 D 可能是一条线 段或几条线段或曲线段． (2)找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是 问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率． (3)利用几何概型概率的计算公式 P＝Dd 计算．
栏目 导引
第三章 概率
1．几何概型的定义与特点 (1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的
__长__度__(_面__积__或__体___积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型．
(2)特点：①可能出现的结果有___无__限__多__个_____；②每个结果发 生的可能性__相__等___．
第三章 概率
■名师点拨 辨析古典概型与几何概型 (1)相同点 古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的． (2)不同点 ①古典概型要求随机试验的基本事件的个数必须是有限的；几何概 型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的 问题一般都与几何知识有关；
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第三章 概率
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第三章 概率
判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限 个．( ) (2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限 个．( ) (3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中 每个基本事件出现的可能性相等．( ) (4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每 个基本事件出现的可能性不相等．( ) (5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
第三章 概率
用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位
被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻度处
的概率为( )
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A.3
B.3
C.16
D.14
解析：选 B.由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米
刻度处的概率为 P＝2－3 1＝13.
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第三章 概率
4．求解几何概型的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意选择的观察角度要保证基本事 件的无限性及等可能性)． (2)把所有的基本事件转化为与之相对应的区域 D. (3)把所求的随机事件 A 转化为与之相对应的区域 d. (4)利用几何概型的概率计算公式求解．
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第三章 概率
3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
第三章 概率
考点 区分古典概 型和几何概型
几何概型的 概率计算公式
学习目标 通过实例体会几何概型 的含义，会区分古典概型 和几何概型 掌握几何概型的概率计 算公式，会求一些事件的 概率
核心素养 数学抽象、 直观想象
逻辑推理、 数学运算
第三章 概率
问题导学 (1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来 计算事件发生的概率吗？ (2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？ (3)几何概型有几种模型？
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第三章 概率
与长度有关的几何概型
(1)某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在
7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻
是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )
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A.3
B.2
C.23
D.34
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第三章 概率
(2)(2019·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)在区间[－1，2]内任取
第三章 概率
(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内 随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为 1 000， 其中有 780 粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率 π 的值(用分数表示)为________． 解析：令正方形内切圆的半径为 r，则正方形边长为 2r，则由题意 中“落在正方形内的豆子的总数为 1 000，其中有 780 粒豆子落在 该正方形的内切圆内”可得1708000＝π4rr22，化简得 π＝7285. 答案：7285
栏目 导引
第三章 概率
2．几何概型中事件 A 的概率的计算公式 构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度__（__面__积__或__体__积__）____． 3．几何概型的常见类型 (1)长度型．(2)角度型．(3)面积型．(4)体积型．
一个数 a，则点(5，a)位于 x 轴下方的概率为( )
2
1
A.3
B.2
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C.3
D.6
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【解析】 (1)由题意得图：
第三章 概率
由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为12. (2)在区间[－1，2]内任取一个数 a，则点(5，a)位于 x 轴下方，可 得 a∈[－1，0)． 由几何概型可得 P＝02－ －（ （－ －11） ）＝13.故选 C. 【答案】 (1)B (2)C
②在古典概型中，概率为 0 的事件是不可能事件，概率为 1 的事件 是必然事件，而在几何概型中，概率为 0 的事件可能发生，概率为 1 的事件也可能不发生．例如在一个圆面内任取一点，取到圆心的 概率等于 0，但我们仍有可能在圆内取到圆心．也就是说，“单点 事件”是不影响几何概型概率的计算的，因而在计算几何概型的概 率时，线段的端点、区域的边界是否包含在所求事件之内，都不会 影响最终的计算结果．
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下列概率模型中，几何概型的个数为( )
第三章 概率
①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；
Leabharlann Baidu
②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的
概率；
③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于 1 而小于 3 的数
的概率；
④向一个边长为 4 cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过 1 cm
的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
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第三章 概率
解析：选 C.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10] 上有无数个数，且每个数被取到的机会相等； ③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有 21 个，是有限的； ④中的概率模型是几何概型，因为在边长为 4 cm 的正方形内有无 数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．
栏目 导引
第三章 概率
求解与长度有关的几何概型的步骤 (1)找到试验的全部结果构成的区域 D，这时区域 D 可能是一条线 段或几条线段或曲线段． (2)找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是 问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率． (3)利用几何概型概率的计算公式 P＝Dd 计算．
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第三章 概率
1．几何概型的定义与特点 (1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的
__长__度__(_面__积__或__体___积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型．
(2)特点：①可能出现的结果有___无__限__多__个_____；②每个结果发 生的可能性__相__等___．
第三章 概率
■名师点拨 辨析古典概型与几何概型 (1)相同点 古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的． (2)不同点 ①古典概型要求随机试验的基本事件的个数必须是有限的；几何概 型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的 问题一般都与几何知识有关；
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第三章 概率
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第三章 概率
判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限 个．( ) (2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限 个．( ) (3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中 每个基本事件出现的可能性相等．( ) (4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每 个基本事件出现的可能性不相等．( ) (5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×