原子物理学 第三章
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数理学院
二 德布罗意波 实物粒子的二象性
德布罗意波的统计解释
原子物理学
经典粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动轨道 ； 经典的波 某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波 具有相干叠加性 . 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性 统一到同一物体上 . 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
2
dV 中的粒子的概率为
Ψ dV ΨΨ*dV
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
数理学院
Ψ dV 1
2
( 束缚态 )
四 量子力学简介
原子物理学
2 . 薛定谔方程（1925 年） 若粒子在势能为V 的势场中运动
2
P E V 2m
2
含时薛定谔方程
2 V i 2m t
数理学院
二 德布罗意波 实物粒子的二象性
原子物理学
从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件. 解 两端固定的弦，若其长 度等于波长则可形成稳定的驻波. 将弦弯曲成圆时
2π r 2π r n n 1,2,3,4,
电子绕核运动德布罗意波长
2π rmv nh
角动量量子化条件
sin b
b
y
o
电子经过缝后 x 方向动量 不确定
ph
p x p sin p
h p
h p x b
电子的单缝衍射实验
xpx ~ h
数理学院
精确推导可得
xpx 2
三 不确定关系
原子物理学
海森伯于 1927 年提出不确定原理
对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的 动量来描述 .
电子作轨道运动，受到向心力，有向心加速度而不辐 射能量、稳定。
me vr n n 1,2 ,3.
2. 对定态间发射和跃迁的原因不清楚, 过程描写含糊.
数理学院
原子物理学
Rutherford 提的问题 “当电子从一个能态跳到另一个能态时，您必须 假设电子事先就知道他要往哪儿跳”
多 种 频 率 的 光 入 射
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻 近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精 确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
数理学院
三 不确定关系
原子物理学
用电子衍射说明不确定关系 定 电子经过缝时的位置不确 .
x b
x
b ph
一级最小衍射角
数理学院
原子物理学
§12 波粒二象性
经典物理的粒子和波 理想粒子： 质点, 有完全的定域性，确定的 m、p、 E. 理想的波: 有确定的频率、波长，不被约束，必在 空间无限延拓. 光波粒两象性 粒 子 性
数理学院
E h
p h
波 动 性
光在传播时显示波动 性，在转移能量时显示出粒 子性.二者不会同时出现。 （互斥）
E3 E2 ? E1
数理学院
原子物理学
Schrödinger 提的问题
电子从 E1 到 E2过程的速度不可能是无 限大 ----？
E2 ?
“ 糟透的跃迁”
E1
数理学院
原子物理学
•无法解释氦光谱 •无法解释氢原子谱线强度、氢原子精细结构 •无法解释分子的组成 •无法解释原子如何形成液体、固体
“这一理论还是十分初步的， 许多基本问题还有待解决” 放弃Bohr理论？回到经典物理？
1927年 精确进行该实验
数理学院
原子物理学
电子衍射实验
多晶 Au
汤姆逊（1928）
3、约恩逊（1960）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象
单缝衍射
数理学院
双缝衍射
三缝衍射
四缝衍射
原子物理学
1993年美国科学 家移动铁原子， 铁原子距离0.9纳 米
“量子围栏” 48个铁原子排列在 铜表面 证明电子的波动性
2 2 2 2 2 2 2 x y z
拉普拉斯算子
粒子在恒定势场中的运动
V V ( x, y, z )
i 2πEt / h
( x, y, z, t ) u( x, y, z) (t ) u( x)e
数理学院
四 量子力学简介
原子物理学
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
数理学院
h mv
h L mvr n 2π
原子物理学
• 对波粒二象性的理解
(1) 粒子性 • 不是经典的粒子,抛弃了“轨道”概念 • “原子性”或“整体性” (2) 波动性 • “弥散性”“可叠加性”“干涉”“衍射”“偏振” • 具有频率和波矢 • 不是经典的波 不代表实在的物理量的波动 在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 1.4 102 nm
原子物理学
双缝衍射图
D
K
P
M
U
应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人 宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜.
数理学院
原子物理学
4 Davisson-Germer实验
1925年 Davisson-Germer 研究 电子在镍中的散射实验，偶然观察到 电子在镍晶体中的衍射现象。
2 2 u Vu Eu 2m
定态波函数
u ( x, y , z )
u
2
性质
1）能量 E 不随时间变化；
2）概率密度
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 可归一化
x, y, z u
2
dxdydz 1
数理学院
原子物理学
波函数的物理意义
(r , t )
概率振幅
Born解释
2 * ( r , t ) ( r , t ) ( r , t )
概率密度
本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度） 代表时刻t、在空间 r点处，单位体积元中微观粒子出现的几率， Born 1954年获得诺贝尔物理学奖 Born解释为量子力学的基本原理之一！！
h
数理学院
三 不确定关系
原子物理学
例：氦氖激光器所发红光波长为 632.8nm ，谱线宽 9 度 10 nm，求当这种光子沿 方向传播时，它的 坐标的不确定量多大？
x
x
解：光子具有波粒二象性 数值关系
p x
h
px h
(632.8 10 ) x x 18 4 π 4π 4π 10 x 3.18104 m 31.8km
例 计算质量 m 子弹的德布罗意波长 .
0.01kg ,
速率v
300 m s
的
数理学院
h 6.6310 34 2.2110 m mv 0.01 300
34
二 德布罗意波 实物粒子的二象性
德布罗意波的实验验证 G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束透过多晶铝箔的衍射
qp 2
xpx 2 ypy 2 zpz 2
h 2π
P 2 Et 2
不确定关系
物理意义 1） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测 量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . 2） 不确定的根源是“波粒二象性”这是自然界的根 本属性 . 3）对宏观粒子，因 很小，所以 xp x 0 可 视为位置和动量能同时准确测量 .
原子物理学
二 德布罗意波
实物粒子的二象性 法国物理学家德布罗意 （Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 ) 思想方法 自然界在许多方面都 是明显地对称的，他采用类比的方法提 出物质波的假设 .
“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来， 是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否发生 了相反的错误呢 ？ 是不是我们关于‘粒子’的图象想得太 多 ，而过分地忽略了波的图象呢？”
数理学院
薛定谔
Schrodinger， 1887~1961
四 量子力学简介
原子物理学
奥地利物理学家薛定谔1926年建立了以薛定谔方程为基础 的波动力学,并建立了量子力学的近似方法 .
1 波函数及其物理意义 1）经典的波与波函数 机械波
电磁波 经典波为实函数
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t ) x H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
普朗克 能量子假说
不确定关系
谱线的 自然宽度
它能解释谱线的自然宽度
数理学院
原子物理学
互补原理
1927年Bohr提出，又被称为并协原理 对微观现象的描述，一些经典概念的 任何一种确定的应用，都会预先排除 另外一些经典概念的同时应用，而这 另外一些概念在其他方面却是阐明现 象所同样必需的。
Bohr的互补板凳
2
2
2
xpx 2
9 2
原子在一次能级跃迁过程中发射一个光子或说发出一列波.
数理学院
x 为波列长度，光子的位置不确定量也就是波列的长度.
三 不确定关系 谱线的自然宽度
原子物理学
原子中某激发态的平均寿命为
t 108 s
数理学院
三 不确定关系
原子物理学
E h
t E 2
自由粒子平面波函数
E
p 是确定的，其德布罗意频率
Ψ( x, y, z , t ) h E p h
Ψ ( x, t ) 0e
数理学院
i
2π ( Et px ) h
四 量子力学简介
原子物理学
3）波函数的统计意义 概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率.（概率密 度） 2 * 正实数 Ψ 某一时刻出现在某点附近在体积元
数理学院
二 德布罗意波
实物粒子的二象性
原子物理学
德布罗意假设（1924 年 ） 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .
E h
德布罗意公式 注意
p
h
E h
h h p mv m m0 1）若 v c 则
若
Hale Waihona Puke Baidu
v c则 m m0
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度， 因此宏观物体仅表现出粒子性 .
数理学院
四 量子力学简介
原子物理学
1887年，8月12日出生于奥地利维也纳。 1906年，进入维也纳大学物理系学习。 1910年，取得博士学位，在维也纳大学第 二物理研究所工作。 1921年，任瑞士苏黎世大学数学物理学教 授。 1926年，证明波动力学与矩阵力学在数学 上是等价的。 1927年，接替普朗克到柏林大学担任理论 物理学教授，并成为普鲁士科学院院士。 1933年，因纳粹迫害移居英国牛津，在马 格达伦学院任访问教授。同年与狄拉克共同获得 诺贝尔物理学奖。晚年定居爱尔兰。 1956年，返回维也纳大学物理研究所，获 得奥地利政府颁发的第一届薛定谔奖。 1961年1月4日，病逝于阿尔卑包赫山村。
原子物理学
第三章 量子力学简介
§11 Bohr理论的困难
Bohr理论的功绩
•量子定态得到实验验证 •成功解释了氢光谱之谜 •理论上计算出Rydberg常量 •解释预告了类氢离子的光谱 •说明特征X射线光谱 •部分阐明了元素周期表
数理学院
原子物理学
Bohr理论缺限： 1. 概念上难以解释为什么氢原子中核与电子静电相互作 用是有效的, 而电子在定态时发射电磁波的能力却消失了.
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
y ( x, t ) Re[ Ae
数理学院
i 2 π (t )
x
]
四 量子力学简介
原子物理学
2）量子力学波函数（复函数）
描述微观粒子运动的波函数
微观粒子的波粒二象性
自由粒子能量 和动量 和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 .平面单色波波列 无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置 完全不确定 .
r , t 无实际物理意义，一般不可以直接测量 2 r , t 有物理意义
数理学院
原子物理学
波函数应满足的条件：
（１）自然条件：单值、有限、连续 （２）归一化条件： 粒子在空间各点的几率总和 应为l，即 （3）态叠加原理： 若体系具有一系列不同的可能状态，1, 2· · · ， 则它们 的线性组合=C11,+C22+· · · 也是该体系的一个可能的状态。 其中C1, C2 · · · 为任意复常数。
数理学院
二 德布罗意波 实物粒子的二象性
例 在一束电子中，电子的动能为 德布罗意波长 ？
原子物理学
200eV ，求此电子的
解
1 2 v c, Ek m0 v 2
19
v
2 Ek m0
2 200 1.6 10 1 6 -1 v m s 8.4 10 m s 31 9.110 h 6.631034 -2 nm 8.67 10 nm v c 31 6 m0 v 9.110 8.4 10
二 德布罗意波 实物粒子的二象性
德布罗意波的统计解释
原子物理学
经典粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动轨道 ； 经典的波 某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波 具有相干叠加性 . 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性 统一到同一物体上 . 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
2
dV 中的粒子的概率为
Ψ dV ΨΨ*dV
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
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Ψ dV 1
2
( 束缚态 )
四 量子力学简介
原子物理学
2 . 薛定谔方程（1925 年） 若粒子在势能为V 的势场中运动
2
P E V 2m
2
含时薛定谔方程
2 V i 2m t
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二 德布罗意波 实物粒子的二象性
原子物理学
从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件. 解 两端固定的弦，若其长 度等于波长则可形成稳定的驻波. 将弦弯曲成圆时
2π r 2π r n n 1,2,3,4,
电子绕核运动德布罗意波长
2π rmv nh
角动量量子化条件
sin b
b
y
o
电子经过缝后 x 方向动量 不确定
ph
p x p sin p
h p
h p x b
电子的单缝衍射实验
xpx ~ h
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精确推导可得
xpx 2
三 不确定关系
原子物理学
海森伯于 1927 年提出不确定原理
对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的 动量来描述 .
电子作轨道运动，受到向心力，有向心加速度而不辐 射能量、稳定。
me vr n n 1,2 ,3.
2. 对定态间发射和跃迁的原因不清楚, 过程描写含糊.
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原子物理学
Rutherford 提的问题 “当电子从一个能态跳到另一个能态时，您必须 假设电子事先就知道他要往哪儿跳”
多 种 频 率 的 光 入 射
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻 近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精 确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
数理学院
三 不确定关系
原子物理学
用电子衍射说明不确定关系 定 电子经过缝时的位置不确 .
x b
x
b ph
一级最小衍射角
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原子物理学
§12 波粒二象性
经典物理的粒子和波 理想粒子： 质点, 有完全的定域性，确定的 m、p、 E. 理想的波: 有确定的频率、波长，不被约束，必在 空间无限延拓. 光波粒两象性 粒 子 性
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E h
p h
波 动 性
光在传播时显示波动 性，在转移能量时显示出粒 子性.二者不会同时出现。 （互斥）
E3 E2 ? E1
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原子物理学
Schrödinger 提的问题
电子从 E1 到 E2过程的速度不可能是无 限大 ----？
E2 ?
“ 糟透的跃迁”
E1
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原子物理学
•无法解释氦光谱 •无法解释氢原子谱线强度、氢原子精细结构 •无法解释分子的组成 •无法解释原子如何形成液体、固体
“这一理论还是十分初步的， 许多基本问题还有待解决” 放弃Bohr理论？回到经典物理？
1927年 精确进行该实验
数理学院
原子物理学
电子衍射实验
多晶 Au
汤姆逊（1928）
3、约恩逊（1960）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象
单缝衍射
数理学院
双缝衍射
三缝衍射
四缝衍射
原子物理学
1993年美国科学 家移动铁原子， 铁原子距离0.9纳 米
“量子围栏” 48个铁原子排列在 铜表面 证明电子的波动性
2 2 2 2 2 2 2 x y z
拉普拉斯算子
粒子在恒定势场中的运动
V V ( x, y, z )
i 2πEt / h
( x, y, z, t ) u( x, y, z) (t ) u( x)e
数理学院
四 量子力学简介
原子物理学
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
数理学院
h mv
h L mvr n 2π
原子物理学
• 对波粒二象性的理解
(1) 粒子性 • 不是经典的粒子,抛弃了“轨道”概念 • “原子性”或“整体性” (2) 波动性 • “弥散性”“可叠加性”“干涉”“衍射”“偏振” • 具有频率和波矢 • 不是经典的波 不代表实在的物理量的波动 在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 1.4 102 nm
原子物理学
双缝衍射图
D
K
P
M
U
应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人 宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜.
数理学院
原子物理学
4 Davisson-Germer实验
1925年 Davisson-Germer 研究 电子在镍中的散射实验，偶然观察到 电子在镍晶体中的衍射现象。
2 2 u Vu Eu 2m
定态波函数
u ( x, y , z )
u
2
性质
1）能量 E 不随时间变化；
2）概率密度
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 可归一化
x, y, z u
2
dxdydz 1
数理学院
原子物理学
波函数的物理意义
(r , t )
概率振幅
Born解释
2 * ( r , t ) ( r , t ) ( r , t )
概率密度
本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度） 代表时刻t、在空间 r点处，单位体积元中微观粒子出现的几率， Born 1954年获得诺贝尔物理学奖 Born解释为量子力学的基本原理之一！！
h
数理学院
三 不确定关系
原子物理学
例：氦氖激光器所发红光波长为 632.8nm ，谱线宽 9 度 10 nm，求当这种光子沿 方向传播时，它的 坐标的不确定量多大？
x
x
解：光子具有波粒二象性 数值关系
p x
h
px h
(632.8 10 ) x x 18 4 π 4π 4π 10 x 3.18104 m 31.8km
例 计算质量 m 子弹的德布罗意波长 .
0.01kg ,
速率v
300 m s
的
数理学院
h 6.6310 34 2.2110 m mv 0.01 300
34
二 德布罗意波 实物粒子的二象性
德布罗意波的实验验证 G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束透过多晶铝箔的衍射
qp 2
xpx 2 ypy 2 zpz 2
h 2π
P 2 Et 2
不确定关系
物理意义 1） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测 量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . 2） 不确定的根源是“波粒二象性”这是自然界的根 本属性 . 3）对宏观粒子，因 很小，所以 xp x 0 可 视为位置和动量能同时准确测量 .
原子物理学
二 德布罗意波
实物粒子的二象性 法国物理学家德布罗意 （Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 ) 思想方法 自然界在许多方面都 是明显地对称的，他采用类比的方法提 出物质波的假设 .
“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来， 是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否发生 了相反的错误呢 ？ 是不是我们关于‘粒子’的图象想得太 多 ，而过分地忽略了波的图象呢？”
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薛定谔
Schrodinger， 1887~1961
四 量子力学简介
原子物理学
奥地利物理学家薛定谔1926年建立了以薛定谔方程为基础 的波动力学,并建立了量子力学的近似方法 .
1 波函数及其物理意义 1）经典的波与波函数 机械波
电磁波 经典波为实函数
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t ) x H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
普朗克 能量子假说
不确定关系
谱线的 自然宽度
它能解释谱线的自然宽度
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原子物理学
互补原理
1927年Bohr提出，又被称为并协原理 对微观现象的描述，一些经典概念的 任何一种确定的应用，都会预先排除 另外一些经典概念的同时应用，而这 另外一些概念在其他方面却是阐明现 象所同样必需的。
Bohr的互补板凳
2
2
2
xpx 2
9 2
原子在一次能级跃迁过程中发射一个光子或说发出一列波.
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x 为波列长度，光子的位置不确定量也就是波列的长度.
三 不确定关系 谱线的自然宽度
原子物理学
原子中某激发态的平均寿命为
t 108 s
数理学院
三 不确定关系
原子物理学
E h
t E 2
自由粒子平面波函数
E
p 是确定的，其德布罗意频率
Ψ( x, y, z , t ) h E p h
Ψ ( x, t ) 0e
数理学院
i
2π ( Et px ) h
四 量子力学简介
原子物理学
3）波函数的统计意义 概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率.（概率密 度） 2 * 正实数 Ψ 某一时刻出现在某点附近在体积元
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二 德布罗意波
实物粒子的二象性
原子物理学
德布罗意假设（1924 年 ） 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .
E h
德布罗意公式 注意
p
h
E h
h h p mv m m0 1）若 v c 则
若
Hale Waihona Puke Baidu
v c则 m m0
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度， 因此宏观物体仅表现出粒子性 .
数理学院
四 量子力学简介
原子物理学
1887年，8月12日出生于奥地利维也纳。 1906年，进入维也纳大学物理系学习。 1910年，取得博士学位，在维也纳大学第 二物理研究所工作。 1921年，任瑞士苏黎世大学数学物理学教 授。 1926年，证明波动力学与矩阵力学在数学 上是等价的。 1927年，接替普朗克到柏林大学担任理论 物理学教授，并成为普鲁士科学院院士。 1933年，因纳粹迫害移居英国牛津，在马 格达伦学院任访问教授。同年与狄拉克共同获得 诺贝尔物理学奖。晚年定居爱尔兰。 1956年，返回维也纳大学物理研究所，获 得奥地利政府颁发的第一届薛定谔奖。 1961年1月4日，病逝于阿尔卑包赫山村。
原子物理学
第三章 量子力学简介
§11 Bohr理论的困难
Bohr理论的功绩
•量子定态得到实验验证 •成功解释了氢光谱之谜 •理论上计算出Rydberg常量 •解释预告了类氢离子的光谱 •说明特征X射线光谱 •部分阐明了元素周期表
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原子物理学
Bohr理论缺限： 1. 概念上难以解释为什么氢原子中核与电子静电相互作 用是有效的, 而电子在定态时发射电磁波的能力却消失了.
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
y ( x, t ) Re[ Ae
数理学院
i 2 π (t )
x
]
四 量子力学简介
原子物理学
2）量子力学波函数（复函数）
描述微观粒子运动的波函数
微观粒子的波粒二象性
自由粒子能量 和动量 和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 .平面单色波波列 无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置 完全不确定 .
r , t 无实际物理意义，一般不可以直接测量 2 r , t 有物理意义
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原子物理学
波函数应满足的条件：
（１）自然条件：单值、有限、连续 （２）归一化条件： 粒子在空间各点的几率总和 应为l，即 （3）态叠加原理： 若体系具有一系列不同的可能状态，1, 2· · · ， 则它们 的线性组合=C11,+C22+· · · 也是该体系的一个可能的状态。 其中C1, C2 · · · 为任意复常数。
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二 德布罗意波 实物粒子的二象性
例 在一束电子中，电子的动能为 德布罗意波长 ？
原子物理学
200eV ，求此电子的
解
1 2 v c, Ek m0 v 2
19
v
2 Ek m0
2 200 1.6 10 1 6 -1 v m s 8.4 10 m s 31 9.110 h 6.631034 -2 nm 8.67 10 nm v c 31 6 m0 v 9.110 8.4 10