5-3二次曲线的切线

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解析几何
证明：
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过 M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：
x x0 X t y y0 Y t
⑵
当 ( X, Y ) ≠ 0时，必须使判别式
Δ [ XF1 ( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 )] 2( X , Y ) F ( x0 , y0 ) 0
M 0 ( x0 , y0 ) 在二次曲线上， F ( x0 , y0 ) 0
，上式变为
XF 1 ( x0 , y0 ) YF 2 ( x0 , y0 ) 0
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X : Y F2 ( x0 , y0 ) :[F1 ( x0 , y0 )]
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称 奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常 点.
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定理5.3.1 如果(x ,y )是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x ,y )的切线方程是 (x-x )F (x ,y )+ (y-y )F (x ,y )=0， (x ,y )是它的切点. 如果(x ,y )是二次曲线(1)的奇异点，那 么通过(x ,y )的切线不确定，或者说过点(x ,y )的每一条 直线都是二次曲线(1)的切线.
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例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的 切线方程 解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0
所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在
点(2,1)的切线方程为：
§5.3 二次曲线的切线
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定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重 合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线， 这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲 线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每 个点都可以看作切点. 定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=
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5/2 (x-2)-2(y-1)=0
即： 5x-4y-6=0
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例2 求二次曲线 x2 xy y 2 1 0 通点(2,1) 的切线方程
解：设切点为 ( x0 , y0 ) ，则切线方程为：
1 x0 x ( x0 y xy0 ) y0 y 1 0 ， 2
0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是：
a11 x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
且
x0 2 y0 1 0 ，
x02 x0 y0 y02 1 0
x0 1 x0 1 解得 与 ， y 0 y 1 0 0
切线方程为： 2 x y 2 0 与 x y 2 0 。
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因此过二次曲线上的点 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线方程为
x x0 F2 ( x0 , y0 )tHale Waihona Puke Baidu y y0 F1 ( x0 , y0 )t
x x0 y y0 F2 ( x0 , y0 ) F1 ( x0 , y0 )
)
即： ( x x0 ) F 1 ( x0 , y0 ) ( y y0 ) F 2 ( x0 , y0 ) 0