大学文科数学2 第二章 微积分的直接基础_极限 习题课
高等数学2-习题课
x2
),
x
处处可导，那末（ 0
）
（A）a b 1；
（B）a 2, b 1；
（C）a 1, b 0 ； （D）a 0, b 1 .
6、已知函数 f ( x)具有任意阶导数，且
f ( x) f ( x)2 ,则当n为大于 2 的正整数时，
f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x) 是（ ）
（B） y(t ) ；
x(t )
x (t )
（C） y(t) ； x (t )
（D） y(t) . x (t )
8、若函数 f ( x)为可微函数，则dy （ ） （A）与x 无关； （B）为x 的线性函数； （C）当x 0 时为x 的高阶无穷小； （D）与x 为等价无穷小.
9、设函数 y f ( x)在点x0 处可导，当自变量x 由x0 增
（A） f ( x0 x) f ( x0 ) ；
x
（B） lim f ( x0 x) f ( x0 ) ；
x x0
x
（C） lim f ( x) f ( x0 )；
x x0
x
（D） lim f ( x) f ( x0 )；
x x0
x x0
2、若函数 y f ( x)在点x0 处的导数 f ( x0 ) 0 ，则
加到 x0 x 时，记y 为 f ( x) 的增量，dy 为 f ( x) 的
微分， lim y dy 等于（ ） x0 x
（A）-1；
（B）0；
（C）1；
（D） .
10、设函数 y f ( x) 在点x0 处可导，且 f ( x0 ) 0 ，
则 lim y dy 等于（ ）.
x0 x
（A）0；
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答
x 1 1 x 1 ，求 f ( x, y ), f ( , ), f ( xy , ), y x y y f ( x, y)
解 f ( x, y ) xy
1 1 1 y x 1 y x ； f( , ) ; f ( xy , ) x 2 y 2 ; 2 x y xy x y f ( x, y) xy x y
z c -a
-b a x
O
b
y
（4） D ( x, y, z ) x 0, y 0, z 0, x 2 y 2 z 2 1
z
１
O x
4．求下列各极限： （1） lim
x 0 y 1
１
y
１
1 xy 1 0 = 1 x2 y2 0 1
ln( x e y ) x2 y2 ln(1 e 0 ) 1 0 ln 2
y x y 1 1 x e , z y e x , dz 2 e x dx e dy ; 2 x x x x
y
y
y
y
5.(1) z x
(2) z
y y x 1 x z dz dx dy ; , , ln( x 2 y 2 ) , z x 2 y 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x y2
(2) z x a sin 2(ax by), z y b (ax by), z xy 2ab cos 2(ax by), z yy 2b 2 cos 2(ax by) .
3
f x y 2 2 xz , f y 2 xy z 2 , f z 2 yz x 2 , f xx 2 z, f xz 2 x, f yz 2 z,
微积分课后题答案第二章习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注3证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时此时1n k N +>有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =-1n ,说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立;3. 利用夹逼定理证明：1 lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； 2 lim n →∞2!n n =0.证：1因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=,所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. 2因为22222240!1231n n n n n<=<-,而且4lim 0n n →∞=,所以,由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. 1 x n =11n e +,n =1,2,…；2 x 1,x n +1n =1,2,…. 证：1略;2因为12x =<,不妨设2k x <,则故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,又 1n n x x +-=,而0n x >,2n x <,所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列是单调递增数列;综上所述,数列{}n x 是单调递增有上界的数列,故其极限存在;习题2-21※. 证明：0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .证：先证充分性：即证若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==,则0lim ()x x f x a →=. 由0lim ()x x f x a -→=及0lim ()x x f x a +→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,20δ∃>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<;取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<, 于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0lim ()x x f x a →=.再证必要性：即若0lim ()x x f x a →=,则0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==, 由0lim ()x x f x a →=知,0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<.所以 0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→== 综上所述,0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .2. 1 利用极限的几何意义确定0lim x → x 2+a ,和0lim x -→1e x； 2 设fx = 12e ,0,,0,xx x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩,问常数a 为何值时,0lim x →fx 存在.解：1因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2lim()x x a a →+=.当x 从小于0的方向无限接近于0时,1e x 的值无限接近于0,故10lim e 0xx -→=. 2若0lim ()x f x →存在,则00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=, 由1知 22lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--→→→=+=+=, 所以,当0a =时,0lim ()x f x →存在;3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞sin x 不存在.解：因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞不存在;习题2-31. 举例说明：在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.解：例1：当0x →时,tan ,sin x x 都是无穷小量,但由sin cos tan xx x=当0x →时,cos 1x →不是无穷大量,也不是无穷小量;例2：当x →∞时,2x 与x 都是无穷大量,但22xx=不是无穷大量,也不是无穷小量; 例3：当0x +→时,tan x 是无穷小量,而cot x 是无穷大量,但tan cot 1x x =不是无穷大量,也不是无穷小量;2. 判断下列命题是否正确：1 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；2 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；3 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；4 有限个无穷小量之和为无穷小量；5 有限个无穷大量之和为无穷大量；6 y =x sin x 在-∞,+∞内无界,但lim x →∞x sin x ≠∞；7 无穷大量的倒数都是无穷小量；8 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：1错误,如第1题例1； 2正确,见教材§定理3；3错误,例当0x →时,cot x 为无穷大量,sin x 是有界函数,cot sin cos x x x =不是无穷大量； 4正确,见教材§定理2；5错误,例如当0x →时,1x 与1x -都是无穷大量,但它们之和11()0x x+-=不是无穷大量； 6正确,因为0M ∀>,∃正整数k ,使π2π+2k M >,从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222f k k k k M ==>,即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界,又0M ∀>,无论X 多么大,总存在正整数k ,使π>k X ,使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<,即x →+∞时,sin x x 不无限增大,即lim sin x x x →+∞≠∞；7正确,见教材§定理5；8错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量;零是无穷小量,但其倒数无意义; 3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量. 1 fx =234x -,x →2; 2 fx =ln x ,x →0+,x →1,x →+∞； 3 fx = 1e x,x →0+,x →0-； 4 fx =2π-arctan x ,x →+∞;5 fx =1x sin x ,x →∞; 6 fx = 21xx →∞. 解：122lim(4)0x x →-=因为,即2x →时,24x -是无穷小量,所以214x -是无穷小量,因而234x -也是无穷大量;2从()ln f x x =的图像可以看出,1lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +→→+∞→=-∞==+∞,所以,当0x +→时,x →+∞时,()ln f x x =是无穷大量；当1x →时,()ln f x x =是无穷小量;3从1()e x f x =的图可以看出,110lim e ,lim e 0x xx x +-→→=+∞=, 所以,当0x +→时,1()e xf x =是无穷大量； 当0x -→时,1()e xf x =是无穷小量; 4πlim (arctan )02x x →+∞-=, ∴当x →+∞时,π()arctan 2f x x =-是无穷小量;5当x →∞时,1x是无穷小量,sin x 是有界函数, ∴1sin x x是无穷小量; 6当x →∞时,21x 是无穷小量,∴是无穷小量; 习题2-41.若0lim x x →fx 存在,0lim x x →gx 不存在,问0lim x x →fx ±gx , 0lim x x →fx ·gx 是否存在,为什么解：若0lim x x →fx 存在,0lim x x →gx 不存在,则10lim x x →fx ±gx 不存在;因为若0lim x x →fx ±gx 存在,则由()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得0lim x x →gx ,与题设矛盾;20lim x x →fx ·gx 可能存在,也可能不存在,如：()sin f x x =,1()g x x=,则0limsin 0x x →=,01lim x x →不存在,但0lim x x →fx ·gx =01limsin 0x x x→=存在; 又如：()sin f x x =,1()cos g x x =,则π2limsin 1x x →=,π21limcos x x→不存在,而lim x x →fx ·gx π2lim tan x x →=不存在; 2. 若0lim x x →fx 和0lim x x →gx 均存在,且fx ≥gx ,证明0lim x x →fx ≥0lim x x →gx .证：设0lim x x →fx =A,0lim x x →gx =B ,则0ε∀>,分别存在10δ>,20δ>,使得当010x x δ<-<时,有()A f x ε-<,当020x x δ<-<时,有()g x B ε<+令{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<时,有 从而2A B ε<+,由ε的任意性推出A B ≤即lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.3. 利用夹逼定理证明：若a 1,a 2,…,a m 为m 个正常数,则limn →∞nm a ++=A ,其中A =max{a 1,a2,…,a m }.n nn m a m A ≤++≤,即而lim n A A →∞=,1lim nn mA A →∞=,由夹逼定理得nm n a A ++=.4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x 1＝,x 2x n +1=1,2,…,则limn →∞x n 存在,并求该极限.证：因为12x x ==有21x x >今设1k k xx ->,则1k k x x -=>=,由数学归纳法知,对于任意正整数n 有1n n x x +>,即数列{}n x 单调递增;又因为12x =<,今设2k x <,则12k x -=<=,由数学归纳法知,对于任意的正整数 n 有2n x <,即数列{}n x 有上界,由极限收敛准则知lim n n x →∞存在;设limn n x b →∞=,对等式1n x+两边取极限得b =,即22b b =+,解得2b =,1b =-由极限的保号性,舍去,所以lim 2n n x →∞=.5. 求下列极限：1 lim n →∞33232451n n n n n +++-+；2 lim n →∞1cos n ⎡⎤⎛-⎢⎥ ⎝⎣⎦；3 lim n →∞4 limn →∞11(2)3(2)3n nn n ++-+-+； 5 lim n →∞1112211133n n ++++++. 解：1原式=23232433lim 11155n n n nn n→∞++=+-+；2因为lim(10n →∞-=,即当n →∞时,1是无穷小量,而cos n 是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (10n n →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；322lim(n n n →∞=而0n n→∞→∞==,2n n→∞∴==∞；41111121(1)()(2)31333lim lim2(2)33(1)()13n nn nn nn n n n++→∞→∞++-+-+==-+-+；5111111()21111114[1()]42222lim lim lim11113 11()3[1()]3333113nnnn n nn nn++→∞→∞→∞++-+++--===+++---.6. 求下列极限：13limx→239xx--； 21limx→22354xx x--+；3 limx→∞3426423xx x++;42limxπ→sin coscos2x xx-;5limh→33()x h xh+-; 63limx→;71limx→21nx x x nx+++--; 8limx→∞sinsinx xx x+-；9 limx→+∞101limx→313()11x x---；11limx→21(sin)xx.解：23333311(1)lim lim lim9(3)(3)36x x xx xx x x x→→→--===--++2211lim(54)0,lim(23)1x xx x x→→-+=-=-3344226464lim lim03232x xx x xx xx→∞→∞++==++；4π2ππsincos sin cos 22lim1cos 2cos πx x xx →--==-； 5[]223300()()()()lim limh h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦；633(23)92)x x x →→+-=3343x x →→===；72211(1)(1)(1)limlim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--1123(1)2n n n =++++=+； 8sin lim0x x x →∞=无穷小量1x与有界函数sin x之积为无穷小量sin 1sin lim lim 1sin sin 1xx x x x x xx x x→∞→∞++∴==--； 922limlimx x→+∞=limlim1x x ===；101lim x →313()11x x---231(1)3lim 1x x x x →++-=- 11当0x →时,2x 是无穷小量,1sinx是有界函数, ∴它们之积21sinx x 是无穷小量,即201lim sin 0x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭;习题2-5求下列极限其中a ＞0,a ≠1为常数： 1. 0limx →sin 53x x; 2. 0lim x →tan 2sin 5xx ; 3. 0lim x →x cot x ;4. 0lim x→; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1xx x ⎛⎫⎪+⎝⎭; 7. 0lim x →()cot 13sin xx +; 8. 0lim x →1x a x-; 9. 0lim x →x x a a x --;10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222xx x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭; 12.lim x →∞211xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 13. 0limx →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan xx; .解：1. 000sin 55sin 55sin 55lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===；2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x→→→== 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55x x x x x x x x →→→==； 3. 0000lim cot limcos lim limcos 1cos01sin sin x x x xx xx x x x x x →→→→=⋅==⨯=；4. 000sin2lim lim 22xx x x x x x →→→→=== 0sin22122x xx →===； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-⎢⎥-==-⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦0073sin sin 212122limlim 732222x x x x x x →→=-⋅=-； 6. 111lim lim lim 111e (1)xxx x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪+⎝⎭； 7. 3cos cos 1cot sin 3sin 0lim(13sin )lim(13sin )lim (13sin )xx xxx x x x x x x →→→⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦8.令1xu a =-,则log (1)a x u =+,当0x →时,0u →,1011ln log elimlog (1)a ua u a u →===+. 9. 000(1)(1)11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x xx ---→→→⎛⎫------==+ ⎪-⎝⎭ 利用了第8题结论01limln x x a a x→-=； 10. ln(1)ln 11limlim lnx x x x xx x x→+∞→+∞+-+=⋅ 1111lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x xxxxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭； 12. 1221222111ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim ee x x xxx xx x x xx x x x x →∞⎡⎤++⎢⎥⎣⎦→∞→∞→∞⎡⎤+=+==⎢⎥⎣⎦2121lim lim ln(1)0lne 0e e e 1xx x x x→∞→∞+⋅====；13.令arcsin x u =,则sin x u =,当0x →,0u →,000arcsin 1limlim 1sin sin limx u u x u u x u u→→→===；14.令arctan x u =,则tan x u =,当0x →,0u →,00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x u uu→→→→→====. 习题2-61. 证明： 若当x →x 0时,αx →0,βx →0,且αx ≠0,则当x →x ０时,αx ～βx 的充要条件是limx x →()()()x x x αβα-＝０.证：先证充分性. 若0limx x →()()()x x x αβα-＝０,则0lim x x →()(1)()x x βα-＝0,即0()1lim 0()x x x x βα→-=,即0()lim 1()x x x x βα→=. 也即0()lim 1()x x x x αβ→=,所以当0x x →时,()()x x αβ. 再证必要性：若当0x x →时,()()x x αβ,则0()lim 1()x x x x αβ→=, 所以0lim x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-＝0()1lim ()x x x x βα→-=011110()lim ()x x x x αβ→-=-=. 综上所述,当x →x 0时,αx ～βx 的充要条件是0lim x x →()()()x x x αβα-＝０. 2. 若βx ≠0,0lim x x →βx =0且0lim x x →()()x x αβ存在,证明0lim x x →αx =0. 证：0000()()lim ()lim ()lim lim ()()()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==0()lim 00()x x x x αβ→== 即 0lim ()0x x x α→=. 3. 证明： 若当x →0时,fx =ox a ,gx =ox b ,则fx ·gx ＝o a b x+,其中a ,b 都大于0,并由此判断当x →0时,tan x－sin x 是x 的几阶无穷小量.证: ∵当x →0时, fx =ox a ,gx =ox b ∴00()()lim(0),lim (0)a bx x f x g x A A B B x x →→=≠=≠ 于是: 0000()()()()()()lim lim lim lim 0a b a b a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→⋅=⋅=⋅=≠ ∴当x →0时, ()()()a b f x g x O x +⋅=,∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-而当x →0时, 2tan (),1cos ()x O x x O x =-=,由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=,所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量.4. 利用等价无穷小量求下列极限：1 0lim x →sin tan ax bx b ≠0；2 0lim x →21cos kx x-； 3 0lim x→； 4 0lim x→5 0lim x →arctan arcsin x x ；6 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx-- a ≠b ； 7 0lim x →ln cos 2ln cos3x x ； 8 设0lim x →2()3f x x -＝100,求0lim x →fx . 解 00sin (1)lim lim .tan x x axaxabx bx b →→==8由20()3lim 100x f x x →-=,及20lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=,即 00lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=,所以 0lim ()3x f x →=.习题2-7１.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形：1 fx = 31,01,3,12;x x x x ⎧+≤<⎨-≤≤⎩2 fx ＝,111,1 1.x x x x -≤<⎧⎨<-≥⎩，或解: 1300lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++→→=+==∴ fx 在x =0处右连续,又11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=∴ fx 在x =1处连续.又22lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --→→=-==∴ fx 在x =2处连续.又fx 在0,1,1,2显然连续,综上所述, fx 在0,2上连续.图形如下:图2-12 11lim ()lim 1x x f x x --→→==∴ fx 在x =1处连续.又11lim ()lim 11x x f x -+→-→-==故11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠∴ fx 在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点.又fx 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.综上所述函数fx 在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:图2-22. 说明函数fx 在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同又有什么联系 略.3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在试举例说明.解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在. 例如0(),010x x f x x x x ≤⎧⎪==⎨>⎪⎩是其的一个第二类间断点,但00lim()lim 0x x f x x --→→==即在0x =处左极限存在,而001lim ()lim x x f x x ++→→==+∞,即在0x =处右极限不存在.4.求下列函数的间断点,并说明间断点的类型：1 fx = 22132x x x -++；2 fx ＝sin sin x xx +；3 fx = ()11x x +； 4 fx = 224x x +-；5 fx = 1sin x x .解: 1由2320x x ++=得x =-1, x =-2∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点.2由sin x =0得πx k =,k 为整数.∴ x =0是跳跃间断点.4由x 2-4=0得x =2,x =-2.∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点. 5 001lim ()lim sin 0,()x x f x x f x x →→==在x =0无定义故x =0是fx 的可去间断点.5.适当选择a 值,使函数fx = ,0,,0x e x a x x ⎧<⎨+≥⎩在点x =0处连续.解: ∵f 0=a ,要fx 在x =0处连续,必须00lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==.即a =1.6※.设fx = lim x →+∞x xx x a a a a ---+,讨论fx 的连续性.解: 22101()lim lim sgn()10100x x xx x x a a x a aa f x x x a a a x --→+∞→+∞-<⎧--⎪====>⎨++⎪=⎩ 所以, fx 在(,0)(0,)-∞+∞上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限：1 2lim x →222x x x +-； 2 0lim x→； 3 2lim x →ln x -1; 4 12lim x →5 lim x e→ln x x . 解: 222222(1)lim 1;2222x x x x →⨯==+-+- 习题2-81. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根.证: 令542()31f x x x x x =----,则()f x 在1,2上连续,且 (1)50f =-<, (2)50f =>由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.即 542000031x x x x ---=, 即方程54231x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根.2. 证明方程ln １＋e x -2x =0至少有一个小于1的正根.证: 令()ln(1)2e x f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在0,1上连续,且 0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =.即方程ln(1)20e xx +-=至少有一个小于1的正根.3※. 设fx ∈C -∞,+∞,且lim x →-∞fx =A , lim x →+∞fx =B , A ·B ＜0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x 0∈－∞,＋∞,使得fx 0＝０.证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞→+∞=>=<,及函数极限的保号性知,10X ∃>,使当1x X <-,有()0,f x >20X ∃<,使当2x X >时,有()0f x <.现取1x a X =<-,则()0f a >,2x b X =>,则()0f b <,且a b <,由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.4.设多项式P n x ＝x n +a 11n x-+…+a n .,利用第3题证明： 当n 为奇数时,方程P n x =0至少有一实根. 证: 122()1n n n n a a a P x x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()lim 10n nx P x x →∞∴=>,由极限的保号性知. 0X ∃>,使当X x >时有()0nn P x x>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以2X n 与-2X n 异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.。
微积分2习题课
例3
当 x 1时, 求 lim(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ).
2 4 n 2n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 原式 lim n 1 x 2 2 4 2n (1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) lim n 1 x 2n 2n 2n 1 (1 x )(1 x ) 1 x lim lim n n 1 x 1 x 1 2n 1 x 0.) . (当 x 1时, lim n 1 x
f (a ) A 及 f (b) B ,
C ，在开区间 那末，对于A 与B 之间的任意一个数
a , b 内至少有一点 ，使得 f ( ) c (a b ) .
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值.
二、典型例题
例1 求函数y log ( x 1) (16 x 2 )的定义域.
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x x0 x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
那末 lim f ( x ) 存在,且等于 A .
x x0 ( x )
(夹逼准则)
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.
6、两个重要极限
(1)
sin x lim 1 x 0 x 1 x lim (1 ) e x x lim(1 x ) e
微积分第二章
微积分第二章引言微积分是数学的一门基础学科，研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。
在微积分的学习中，第二章是一个重要的部分，涵盖了极限的概念和一些重要的极限计算方法。
本文将介绍微积分第二章的内容，包括极限的定义、性质和计算方法。
1. 极限的定义在微积分中，极限是函数的重要性质之一，它描述了函数在某一点上的趋势。
若函数f(x)在x趋近于a的过程中，当x 充分接近a时，f(x)的值趋近于一个常数L，则称L为f(x)在x=a处的极限，记作：$$ \\lim_{x \\to a} f(x) = L $$其中，x趋近于a可以从左侧（记作$x \\to a^-$）或右侧（记作$x \\to a^+$）进行。
除了上述的单侧极限，还有双侧极限的概念。
若当x在a的左侧或右侧时，f(x)都趋近于L，则称L为f(x)在x=a处的双侧极限。
2. 极限的性质在极限的研究中，有一些基本的性质可以帮助我们计算极限。
2.1 四则运算法则若$\\lim_{x \\to a}f(x)$和$\\lim_{x \\to a}g(x)$存在，则有以下四则运算法则：•$\\lim_{x \\to a}(f(x) + g(x)) = \\lim_{x \\to a}f(x) + \\lim_{x \\to a}g(x)$•$\\lim_{x \\to a}(f(x) - g(x)) = \\lim_{x \\to a}f(x) - \\lim_{x \\to a}g(x)$•$\\lim_{x \\to a}(f(x) \\cdot g(x)) = \\lim_{x \\to a}f(x) \\cdot \\lim_{x \\to a}g(x)$•$\\lim_{x \\to a}\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right) = \\frac{\\lim_{x \\to a}f(x)}{\\lim_{x \\to a}g(x)}$，其中$\\lim_{x \\to a}g(x) \ eq 0$2.2 复合函数运算法则若$g(x) = \\lim_{x \\to a}f(x)$，且g(g)在x=a处连续，则有以下复合函数运算法则：•$\\lim_{x \\to a}f[g(x)] = \\lim_{x \\to a}f(g(x)) = \\lim_{x \\to a}f(\\lim_{x \\to a}f(x)) = \\lim_{x \\toa}f(x)$2.3 函数与常数的运算法则若g为常数，则有以下函数与常数的运算法则：•$\\lim_{x \\to a}c = c$•$\\lim_{x \\to a}(cf(x)) = c \\cdot \\lim_{x \\to a}f(x)$3. 极限的计算方法在计算极限时，常用的方法有以下几种。
文科高等数学(2.微积分的直接基础-极限)
第二章 微积分的直接基础——极限§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限 一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ ,1+n n⋅ ⋅ ⋅; {2n}: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n, ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ; {nn n 1)1(--+}: 2,21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ .它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+.数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ),它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11l i m =+∞→n n n ,021lim =∞→nn , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n }, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.a x n n =∞→l i m ⇔∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε .数列极限的几何解释: 例题: 例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n1, 即ε1>n .证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -1|=ε<=--+-nn n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .例2. 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn .分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n .对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn .证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n ,所以0)1()1(lim2=+-∞→n nn .例3. 设|q |<1, 证明等比数列 1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使 |x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
大学高等数学第二册复习资料
大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。
为此，引入了极限的概念。
在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。
1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。
1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。
这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。
2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。
这些都是导数计算的一些扩展应用。
3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。
3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。
第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。
1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。
2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。
2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。
2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。
3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。
微积分课件 第二章 复习课
连续部分包括连续的概念，函数连续的性质，间断点的分
类，闭区间上连续函数的性质。要求理解初等函数的连续性，
熟练掌握间断点的分类，了解闭区间上连续函数的性质。
一、极限
我们重点复习极限的计算方法。
1
2021年11月3日星期三
极限计算方法总结
1、代入法 由初等函数的连续性，在初等函数的定义区间内的点x0，
x0 x
x0 x 1 x
(1
x4
)
1 x4
( x3
)lim ln x0源自1(1)(1 x) x
ln
e0 e1
1
5
2021年11月3日星期三
9、无穷小量的性质 例 求 极 限 lim ex sin x 。 x ex sin x
为什么等于 零？
解
ex sin x
lim
x
ex
sin
x
1 ex sin x
a1xn1 b1xm1
an bm
a0 b0
nm nm nm
例
求
极
限lim x
(x
3)12 (2x 1)8 (3x 1)20
。
答案 28
320
3
2021年11月3日星期三
4、有理化法
例 求 极 限lim (x 3 1 x3 ) 。 x
5、通分法
计算过程
例
求极限lim ( x2
x2
5 x
例
cosx
若f
(x)
x2 a ax
x
x0 x0
⑴当a取什么值时f(x)在x=0连续？ ⑵当a取什么值时f(x)在x=0间断？ ⑶当a=2时求f(x)的连续区间。
答案 ⑴a=1；⑵a>0，a≠1；⑶(-∞0,)与(0,+∞)
微积分的基础概念——极限
微积分的基础概念——极限全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：微积分是数学的一门重要分支，它主要研究变化的规律和变化量的求解。
而微积分的基础概念之一就是极限。
在微积分中，极限是一个非常核心的概念，它在求解导数、积分以及许多其他数学问题中都扮演着重要的角色。
本文将对微积分中极限的基础概念进行介绍和解释。
一、极限的概念1.1 定义在数学中，我们通常用极限来描述一个变量在趋向于某个特定值时的情况。
当一个变量的取值逐渐接近某个数时，我们可以通过极限来表达这一过程。
一般来说，当自变量x 逐渐接近某个确定的值a时，对应的函数值f(x)也会逐渐接近一个确定的值L。
这时，我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.2 图形解释从图形上来看，当x趋近于a时，函数f(x)的图像逐渐接近于点(a, L)。
并不是所有的函数在趋近于某个点时都有确定的极限，有一些函数在某些点附近可能并不收敛到一个确定的值，这时我们说该函数在该点处不存在极限。
1.3 极限的符号表示在数学中，我们常常用“lim”符号来表示极限。
lim(x→a) f(x) = L就表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性当存在lim(x→a) f(x) = L和lim(x→a) f(x) = M时，如果L≠M，那么函数f(x)在x趋近于a时的极限就不存在。
这表明函数在某个点处的极限是唯一的。
2.2 逼近性极限的另一个性质是逼近性。
对于任何一个很小的正数ε，都存在着一个正数δ，使得当0 <|x - a| < δ时，就有|f(x) - L| < ε成立。
这说明当x足够接近a时，函数值f(x)就可以任意地接近L。
2.3 有界性如果函数f(x)在x趋近于a时有极限，那么它的极限值L就是一个有界数。
也就是说，存在一个正数M，使得当x足够接近a时，就有|f(x)| < M成立。
高等数学2精讲----导数与微分习题课总结
dy
dy dx
dt dx
(t) (t )
dt
d 2 y (t)(t) (t)(t)
dx2
3 (t)
高等数学
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9.高阶导数
若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导，则称
f (x) 的导数为 f (x) 的二阶导数，记作 y 或 d2 y
dx2
即
y （y) 或
第二章
第二章 导数与微分习题课
一、主要内容 二、主要题型
1.导数定义
定义：设
在
内有定义，若
存在，则称
在 可导，该极限值称为
记
或
或
或
三种形式： ①
在 的导数，
②
令
③
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单侧导数
左导数
右导数 在 可导
统称单侧导数。 分段函数在分段点处的可导性
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记作 dy 或 df 即dy Ax
微分 dy 叫做函数增量 的线性主部.
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微分与可导的关系
定理: 函数 y f (x) 在点 x0可微的充要条件是 在点 可导，且 A f (x0 ) 即 dy f (x0 )x
高等数学
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求 求
求
3.四则运算的求导法则
(u v) u v (Cu) Cu(C为常数）
(uv) uv uv
4.反函数求导法
(
u ) v
uv uv v2
(v
0)
设
与
互为反函数，
在 y 的某邻域内单调可导，且
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答
习题 1—1 解答1．设xf (x, y ) xy，求yf(x ,y),f1(x,1),yf (xy,xy),f1(x, y)解xf (x ,y ) xy；yf1(x,1)y1xyyx; f (xy,xy)x2y ;2 f1(x, y)yxy2x2．设f (x, y ) ln x ln y ，证明：f (xy,uv ) f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)f (xy,uv ) ln(xy ) ln(uv ) (ln x ln y)(ln u ln v )ln x ln u ln x ln v ln y ln u ln y ln vf (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）f (x, y ) 1x 2 y 2 1;4x y（2）f (x, y ) ;ln(1x y )22 2x y z2 2 2（3）f (x, y ) 1;a b c2 2 2x y z（4）f (x, y, z ) .1x 2 y z2 2解（1）D {(x, y) x 1, y 1y1-1 O 1x-1（2）D (x, y) 0x y 1, y 4x2 2 y21-1 1O x-11（3）D x y z2 2 2(x, y ) 1a b c2 2 2zc-a-b O b yax（4）( , , ) 0, 0, 0, 1D x y z x y z x 2 y z2 2z１O y１１x4．求下列各极限：1xy （1）limx0 x y2 2y 11 0= 1 0 1ln(x e y ln(1 e )) 0（2）lim ln 2 x 1 2 12 0x yy02 xy4 (2xy 4)(2 （3）lim limx xy xy0 0 (xy x 2xy4) 4)14y0 y0sin(xy) sin(xy)（4）lim lim x 2 x y2 x 2 xyy0 y05．证明下列极限不存在：x y （1）lim ;x 0 x yy0x y2 2 （2）limx 0 x y (xy )2 2 2y0（1）证明如果动点P(x, y) 沿y 2x 趋向(0,0)x y x 2x则lim lim 3；x 0 x 0x y x 2xy2x0如果动点P(x, y) 沿x 2y 趋向(0,0) ，则lim lim 3 3x y yy0 x y y0 yx 2 y02所以极限不存在。
微积分2-2
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
1. 定义 :
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
lim
x x0 0
ln
x
ln
x0
.
因
此
lim
x x0
ln
x
ln
x0
.
你来证明(1). 看书：P.34:例7
注意：
ln x ln x x e x0 x 1 e .
x0
x0
x0
x0
以
下
我
们
通
过
以x0为
极
限
的
数
列
，
来
考
察lim x x0
1
1
x 0, 0, 要使 | e x 1 | 1 e x ,
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x
x
1
x
lim
x
x
x
1
x
lim1 x
1 x
x
xt
lim
t
1
1 t t
e.
熟练之后可不引进新的变量记号,
将原式向 lim ( x)
1
1
(x)
(x)
e
的
公式变换即可.
例6 给f（0）补充一个什么数值，可使
m
f（x） ln（1 kx）x 在x 0点连续？
分析与提示：该题是考察对连续函数定义的 理解，用定义2 ,即 lim f ( x) f (0) 求解.
的连续性，理解函数在一点连续的几何意义 以及连续与极限存在的关系.会用连续性求极 限.
知识网络图
如 唯果 一数 的列. {设anli}m收敛f (，x)它的A极,l限im一g定( x是) B,则
定义
定性描(1述) lim[ f ( x) g( x)] A B;
定量描(2述) l定im义[，f 都( x是)变 g量( x)] A B;
x0
x0 sin x
sin x lim 1 x0 x
x lim lim cos x
x0 sin x x0
1.
tan x sin x
2) lim
x0
x
分析与提示：该极限是 0 不定型，先用求 极限四则运算法则，再用0三角公式简化，解
题时要考虑用重要的极限.
解 原式 lim tan x lim sin x
3) lim x
x3 x2 1 (m n)
lim
x
42 1 x
1 x2 1 x2
1 x3 1 x4
.
无穷小量
总之，
I
lim
x
am xm bn xn
am1 xm1 bn1 xn1
a1x a0 b1x b0
am bn
0
m n， m n， m n.
例3
（考研题）
x
sin x lim 1 x0 x
例4 求分式函数的极限
1) lim sin x
1 lim ( sin x) 0.
x x
x x
无穷小量与有界变量乘积是无穷小量.
2) lim x4
xLeabharlann x 4lim(
x4
1 x
4
x)
x趋于常量
.
x 4时,xx 4是 时,无穷1 小是量无穷大量
x4
例5
lim
1
1 O 1 1
x
3
42
从o点两侧无限逼近o.
… xn … x3
x2
••••• •••••
O1 1
1
x1 1x
2n 8
4
2
而xn
1 2n
从O点右侧无限逼近O.
(4)考研题 xn 1 2 n 1 2 (n 1)
n(n 1) n(n 1) n ( n 1 n 1)
第二章 微积分的直接基础
习题课
一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
极限
目的要求
☆ 理解数列、函数定义的定性描述，能分析
数列、函数的变化趋势；
☆ 理解无穷小量与无穷大量的概念及它们之
间的互为倒数的关系，了解无穷小量的性质；
☆ 会用两个重要极限解决求极限问题；
☆ 能够判断简单函数（含分段函数）在一点
无穷小（大）量
(3)
lim性的质乘gf (：积(xx无是)) 穷无 小穷BA量 小, 其 与 量.有中界B变量0.
极限
求极限 的方法
四则运算
lim sin x 1
两个重要极限
x0 x
应用等式变形：分母有lim理(化1 ，1 )x ee
无穷小量分离法等 x x
代入法(函数的连续性)
极限应用 连续函数 闭区间连续函数的性质
补充定义 f（0） mk，使 f（x）在x 0处连续.
例7
求极限
π lim [
arctan
2x 1].
2 x
分析与提示：利用连续函数求极限的方
法，即代入法，并用极限的四则运算法则.
解 原式 lim π lim arctan 2x 1
2 x
x
π
arctan lim 2x 1
2
x
n n
1 1
,
(3) xn
(1)n
1 n
(4)考研题
n 2, 3,
xn 1 2 n 1 2 (n 1)
解
1 (1)xn 2 n2
n
,
1 n2
0, xn
2
1 n2
2.
(2) xn
n n
1 1
,
n 2, 3,
1 1
xn
1
n 1
n 1
n
(3) xn
(1)n
1 n
x1
x3
x4 x2
x0
m
解 （f x） ln（1 kx）x
在x 0处 f（x）没有意义,
m
而 lim f ( x) lim ln（1 kx）x
x0
x0
1
连续函 数
ln[lim(1 kx) kx ]mk
x0
1
kxt ln[lim(1 t ) t ]mk
lim(1
1
x)x
e
t0
x0
lnemk mk.
直接的联系，因而要讨论三种情况.
3x2 2
1) lim x
x4
x2
1
(m
n)
lim
3
1 x2
2
1 x4
x
11
1 x2 x4
无穷小量
0 0 0. 1 0 0
4x3 2x2 x
2) lim x
2x3
3x2
1
(m
n)
42 1
lim
x
1 x2
x
11
23 x
x3
2.
无穷小量
4x4 2x2 x
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
重点与难点
重点：求数列与函数的极限，无穷 大量和无穷小量，连续性概念.
难点：灵活运用各种方法求数列与 函数的极限.
例题
例1 求极限
1)lim x cot x x0
分析与提示：该极限是 0 不定型，先用
三角公式简化再利用重要的极限解题.
解 lim x cot x lim x cos x
x0 x
x0 x
sin x
lim
1
x0 x cos x
sin x
1
lim lim 1
x0 x x0 cos x
0.
例2 I lim am x m am1 x m1 a1 x a0 x bn x n bn1 x n1 b1 x b0
分析与提示:该极限值与m, n间的关系有着
求
3x2 5 2
lim
sin .
x 5x 3 x
提示与分析：解决该题要在前两例题
方法掌握的基础上，既要用到第一重
要极限还要用到无穷小量分离法.
解
原式
lim
x
sin 2 x
2
2 x
3x2 5 5x 3
lim
x
sin 2 x
2
6x2 10 5x2 3x
x
x
6 lim
10 x2
6.
x 5 3 5
0.
2
例8 讨论：lim x 是否存在. x0 x
解 lim x lim x 1
x x x0
x0
x
x
lim lim 1,
x x x0
x0
由于函数的左右极限值不相等， 所以 lim x 不存在.
x0 x
练习题
观察下列数列的变化趋势，并写出它们的 极限 ：
(1) xn
2
1 n2
(2) xn