高中数学必修5线性规划课件
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高中数学 3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到达点 M(0，5)的
距离的平方，过 M(0，5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知 栏
目
垂足 N 在 AC 上，故
链
接
MN＝ 1|＋0－（5－＋21）| 2＝ 32＝322.
MN2＝3
2
22＝92，故
z
的最小值为29.
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5
解析：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)．
(1)将 w＝x＋2y 变形为 y＝－12x＋w2，得到斜率为－12，在 y 轴上
截距为w2的一簇随 w 变化的平行直线，作过原点的直线 y＝－12x，由
栏
图 1 可知，当平移此直线过点(0，2)时，直线在 y 轴上的截距w2最大，目链
接
目 链
接
点评：由题目可获得以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；②求 z＝2xy＋＋11
＝2·x－y－（－－121） 的取值范围．解答本题可先将目标函数变形找到它的
几何意义，再利用解析几何完知整识版求pp最t 值．
11
解析：作出可行域，如图 A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
9
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴上的
截距为 z，随 z 变化的一簇平行直线．
由图可以看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距 栏
z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
目 链
解方程组x3－x＋4y5＋y－3＝25＝0，0，得 A 点坐标为(5，2)．
范围是( )
栏
北师大版高中数学必修五课件4.2简单线性规划
3.设x，y满足约束条件 x3－x－y＋y－2≥6≤00 x≥0，y≥0
，若目标函数z
＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求2a＋3b的最小值．
解析： 不等式组表示的平面区域如图 所示阴影部分．
作直线l：ax＋by＝0(a＞0，b＞0)向 上平移直线l，目标函数z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的值随之增大．由图可知当直线l过 直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函 数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值为12，
(a，b)两点距离的平方．
x－y－2≤0， 2.已知实数x，y满足不等式组x＋2y－4≥0，
2y－3≤0.
(1)求yx的最值；
(2)求z＝x2＋y2的最值．
解析： 作出可行域如图所示．
(1)令yx＝t，则y＝tx， 由图像可知当直线y＝tx过点A时，斜率t最大． 当直线y＝tx过点B时，斜率t最小．
其范围kQB≤k≤kQA 而kQB＝31－－－ －121＝324＝38 kQA＝13－－－ －121＝722＝74. 故z＝2k∈34，72.
[题后感悟]
若目标函数为形如z＝
y－b x－a
，可考虑(a，b)
与(x，y)两点连线的斜率．
若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与
2．小汪是班里的班长，她计划用少于100元的钱购买单价 分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场．经过实地 考察，她算出需要大球数不少于10个，越多越好，小球数也越 多越好，但是不少于20个，若设他买x个大球和y个小球，
x≥10 则 x，y 满足的条件为y2≥x＋20y＜100
x，y∈N＋
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人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单线性规划(二)
解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，满足
的条件是
2x y 15，
xx
2y 3y
18， 27，
x
0,
x
N
，
y 0, y N .
目标函数：z=x+y.
可行域如图
y
M(18/5,39/5) x+y=0
BB(3,9) CC(4,8)
M
x
0 作出一组平行直线z=x+y2，x+y=15 x+y=12 x+2y=18 x+3y=27
解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收
入为Z千元，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是y 500，
x
0，
y 0.
目标函数Z＝3x＋2y，可行域如图所示。
当直线经过点M时，截距最大，Z最大。
易得M（200，100）， Zmax＝3x＋2y＝800。
2、解线性规划问题的步骤：
一列（设未知数，列出不等式组及目标函数式） 二画（画出线性约束条件所表示的可行域和直线l0） 三移（平在移线性直目线标l函0到数取所得表最示的值一的组位平置行）线中，利用平
移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或
四解（通过解方程组求最出小最的优直线解；） 五答（作出答案）
当直线经过点M时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.
作直线x+y=12.
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8).
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
{ 2x+y≥15, x+2y≥18,
人教A版高中数学必修五课件第一课时简单的线性规划问题.ppt
跟踪训练2-1:(2012年高考江西卷)某农户计划种植黄 瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万 元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表
黄瓜 韭菜
年产量/亩
4吨 6吨
年种植成本/ 亩
1.2万元 0.9万元
每吨售价
0.55万元 0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最 大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ) (A)50,0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50
跟踪训练 1-1:(2012 年高考山东卷)设变量 x,y 满足约束条件
x 2 y 2, 2x y 4, 则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( ) 4x y 1,
(A)[- 3 ,6] 2
(C)[-1,6]
(B)[- 3 ,-1] 2
(D)[-6, 3 ] 2
解析:画出
x 2 y 2, 2x y 4, 表示的可行域如图所示阴影部分, 4x y 1,
解析:设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,则由题意可知,
x y 50,
1.2x 0.9 y 54, 求目标函数 z=x+0.9y 的最大值.
x,
y
N*
,
根据题意画出可行域如图阴影所示. 当目标函数线l向右平移,移至点 A(30,20)处时,目标函数取得最大 值,即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20 亩时,种植总利润最大.故选B.
x y 1 0,
x
x
y 0,
2
0,
则
z
的取值范围是
.
y 0,
解析:根据不等式组画出可行域为如图所示的阴影部分,
则 z=x+2y 过点(0,0),( 1 , 3 )时取得最小值和最大值, 22
高中数学必修5-线性规划-课件完美课件
由
x
y
y 1 0 2x 1 0
求得
x
y
0 1
故
C（0，1）
故 z 的最小值为 zmin=3×0-2×1=-2 故 z 范围[-2,3]
线性规划问题的解决步骤：
1、根据约束条件(不等式组）作可行域 2、对目标函数变形为y=kx+b的形式，
找截距与z的关系 3、令z=0, 先作出过原点的直线，定下直线形状 4、对直线进行平移，找出最优的点 5、联立边界直线方程，求出点坐标 6、将点坐标代入，求出最值
33
令z=0,作过原点的直线2x+3y=0， 对直线进行平移，可知直线经过M点时截距最大，z最大
由 x x 2 4 y80 得 x y 4 2 ,故 M （ 4 ， 2 ）
故zmax=2×4+3×2 =14（万元） 答：生产4件甲产品和2件乙产品时，获利最大， 最大利润为14万元
实战演练 （选自2010年广东高考文数）
解：设工产 厂x件 品 每， 天y 乙 生 件产 ，品 甲 每z万 天元 利， 润 则
4 x 16
4 x
y
2
12 y
8
即
x 4
y x
3 2y
8
x
N
x
N
y N
y N ห้องสมุดไป่ตู้
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域为：
因为z=2x+3y,故y= 2 x z 故直线的截距最大时z最大
简单的线性规划问题
复习回顾
线性规划问题的有关概念： ·线性约束条件：
关于x、y的_一__次__不__等__式_组_
·可行域：
根据约束条件（不等式组）画出的平面区域 ·目标函数：
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.3.2简单线性规划(第1课时)课件
3.3.2 简单线性规划问题
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
人教B版高中数学必修五课件3.5.2简单线性规划
由53xx＋ ＋25yy＝ ＝210500， ， 解得xy＝＝7111059900，
.
设点 A 的坐标为2700，970，点 B 的坐标为71090，11590， 则不等式组(※)所表示的平面区域是四边形的边界及其内部 (如图中阴影部分)．
令 z＝0，得 7x＋10y＝0，即 y＝－170x.
解决简单线性规划的方法为图解法，就是用一组平行直线 与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值， 从而求某些函数的最值．
2x＋y≤40 1.若变量 x，y 满足xx＋≥20y≤50
y≥0
，则 z＝3x＋2y 的最大
值是( ) A．90 C．70
B．80 D．40
【解析】 由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域 如图所示．
高中数学课件
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3.5.2 简单线性规划
1．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成 三类：即点在直线上，点在直线的区域，上点方在直线的区域．
2下．方二元一次不等式组表示的平面区域是其中的每个二元一
次不等式表示的平面区域的． 公共部分
线性规划中的基本概念
名称
目标函 数
由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值，可求2z的 最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在 y 轴上截距的 最大值．
如上图，显然直线过 A 点时，在 y 轴上截距最大． 联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝ ＝1200 ， ∴A(10,20)，∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20 ＝70. 【答案】 C
x≥1
，所表示的平面区
域如图所示(阴影部分)
当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大， 解方程组x3－x＋4y5＝y＝－235 ，得 A 的坐标为(5,2)． 所以 zmax＝2×5＋2＝12. 当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组xx－ ＝41y＝－3 ，得 B 的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.
高中数学人教A版必修5课件线性规划
高中数学人教A版必 修5课件线性规划
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 线性规划的基本概念 03 线性规划的求解方法 04 线性规划的软件实现 05 线性规划的案例分析
06 线性规划的扩展知识
单击添加章节标题
第一章
线性规划的基本概念
第二章
线性用于求解线性目 标函数在满足一 组线性约束条件 下的最大值或最 小值。
运输问题
问题描述：某公司需要在多个城市之间运输货物，如何安排运输路线以最小化运输成本？ 线性规划模型：建立线性规划模型，包括目标函数和约束条件 求解方法：使用单纯形法或其他优化算法求解模型 案例分析：分析某公司实际运输问题，计算最优运输方案，并比较不同方案的成本差异
资源分配问题
问题背景：某公司需要分配资源给多个项目，以实现最大收益 目标函数：最大化总收益 约束条件：资源有限，每个项目所需的资源数量不同 线性规划模型：通过建立线性规划模型，求解最优资源分配方案
线性规划的几何意义
线性规划是一种数学方法，用于解决线性约束条件下的优化问题
线性规划的目标是找到一组最优解，使得目标函数值最大或最小
线性规划的几何意义在于，它可以将线性规划问题转化为几何问题，通过图形直观地表示和解 决
线性规划的几何意义可以帮助我们更好地理解和解决线性规划问题，提高解决问题的效率和准 确性
投资优化问题
案例背景：某公 司计划投资多个 项目，但资金有 限，需要优化投 资方案
目标函数：最大 化投资回报率
约束条件：投资 总额不超过预算， 每个项目的投资 额不低于最小投 资额
线性规划模型： 通过建立线性规 划模型，求解最 优投资方案
线性规划的扩展知识
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汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 线性规划的基本概念 03 线性规划的求解方法 04 线性规划的软件实现 05 线性规划的案例分析
06 线性规划的扩展知识
单击添加章节标题
第一章
线性规划的基本概念
第二章
线性用于求解线性目 标函数在满足一 组线性约束条件 下的最大值或最 小值。
运输问题
问题描述：某公司需要在多个城市之间运输货物，如何安排运输路线以最小化运输成本？ 线性规划模型：建立线性规划模型，包括目标函数和约束条件 求解方法：使用单纯形法或其他优化算法求解模型 案例分析：分析某公司实际运输问题，计算最优运输方案，并比较不同方案的成本差异
资源分配问题
问题背景：某公司需要分配资源给多个项目，以实现最大收益 目标函数：最大化总收益 约束条件：资源有限，每个项目所需的资源数量不同 线性规划模型：通过建立线性规划模型，求解最优资源分配方案
线性规划的几何意义
线性规划是一种数学方法，用于解决线性约束条件下的优化问题
线性规划的目标是找到一组最优解，使得目标函数值最大或最小
线性规划的几何意义在于，它可以将线性规划问题转化为几何问题，通过图形直观地表示和解 决
线性规划的几何意义可以帮助我们更好地理解和解决线性规划问题，提高解决问题的效率和准 确性
投资优化问题
案例背景：某公 司计划投资多个 项目，但资金有 限，需要优化投 资方案
目标函数：最大 化投资回报率
约束条件：投资 总额不超过预算， 每个项目的投资 额不低于最小投 资额
线性规划模型： 通过建立线性规 划模型，求解最 优投资方案
线性规划的扩展知识
人教B版高中数学必修五课件3.5.2简单线性规划.pptx
【提示】 z的最大值对应于截距的最小值，z的最小值对应 于截距的最大值．
x－4y≤－3 设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， 求
x≥1
z 的最大值和最小值．
【思路点拨】 作出可行域 D，平移直线 y＝－2x＋z， 找到目标函数取得最大值和最小值的点．
【解析】
x－4y≤－3 不等式组3x＋5y≤25
线性规 在线性约束条件下，求线性目标函数的 划问题 问最题大，或称最为小线值性规划问题
可行解 满足线性约束条件的叫做(x可，行y) 解 可行域 由所有组成可的行集解合叫做可行域
1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 【提示】 不一定，最优解可能有一个，也可能有多个， 甚至可以有无数多个．
2．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值 与截距的对应关系是怎样的？
因为 x、y 为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2)，这时 S＝13，所以所求的最大值为 13.
【错因】 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14， 故上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整 点．
而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象， 则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶 点便是最优解．
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断，若围成可行域的 直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…kn，而且目标函数的 直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1的交点一般是 最优解．
2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题 (1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值 的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细 推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证 解决问题的准确和完美． (2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加 注意． (3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
x－4y≤－3 设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， 求
x≥1
z 的最大值和最小值．
【思路点拨】 作出可行域 D，平移直线 y＝－2x＋z， 找到目标函数取得最大值和最小值的点．
【解析】
x－4y≤－3 不等式组3x＋5y≤25
线性规 在线性约束条件下，求线性目标函数的 划问题 问最题大，或称最为小线值性规划问题
可行解 满足线性约束条件的叫做(x可，行y) 解 可行域 由所有组成可的行集解合叫做可行域
1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 【提示】 不一定，最优解可能有一个，也可能有多个， 甚至可以有无数多个．
2．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值 与截距的对应关系是怎样的？
因为 x、y 为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2)，这时 S＝13，所以所求的最大值为 13.
【错因】 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14， 故上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整 点．
而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象， 则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶 点便是最优解．
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断，若围成可行域的 直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…kn，而且目标函数的 直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1的交点一般是 最优解．
2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题 (1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值 的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细 推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证 解决问题的准确和完美． (2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加 注意． (3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
高中数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(二)课件
学段 初中 高中
硬件建设 班级学生数 配备教师数 万元
45
2
26／班
40
3
54／班
教师年薪 万元
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x 27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
B(3,9)和C(4,8)在直线上,且在可行域内, 整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12 78
x
18
27
作出直线 x+y=0，
2x+y=15
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
x
1 7
得M点的坐标为：
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5．已知线性目标函数 z＝3x＋2y，在线性约束条件
x＋y－3≥0 2x－y≤0 y≤a
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．
x＋y－3≥0
解析： 作出线性约束条件2x－y≤0
y≤a
表示的平面
区域，
如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范 围是[2，＋∞)．
元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最 大利润是( )
• A．12万元
B．20万元
• C．25万元D．27万元
解析： 设该企业在一个生产周期内各生产甲、乙产品
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13
2x＋3y≤18 x≥0
• (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
• [注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边 的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以 便准确判断最优解．
• 2．最优解的确定
• 最优解的确定可有两种方法：
• (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点便是最优解．
交点 A(4,5)时，目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300
元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
• 答案： 2300
• 2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨 甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产
品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可 获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万
规格类型 钢板类型
高中数学北师大版必修5 简单线性规划 课件(38张)
4．2
简单线性规划
4．3 简单线性规划的应用• 学习导航1.了解可行域、可行解、约束条件、线性约束条 件、目标函数、线性目标函数、最优解等概念． 学习 2．掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定 目标 最优解的方法．(重点) 3．会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划 问题．(难点) 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行 学法 域，再作出目标函数对应的直线，然后根据题意 指导 确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值.
求线性目标函数的最值
2y≤x， 设 z＝ 2x＋ y 中的变量 x，y 满足条件x＋ y≤ 1， y≥－1， 求 z 的最大值和最小值． (链接教材 P101 例 6、 P103 例 7)
2y≤x， [解 ] 约束条件为x＋ y≤ 1， y≥－ 1， 作出可行域，如图所示的阴影部分．
视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规
定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公 司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分 配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大，最大收益是多少万元？
(链接教材P105例9)
[解 ] (1)模型建立． 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分 钟和 y 分钟，总收益为 z 元， x＋ y≤ 300， 由题意得约束条件为500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥ 0. 目标函数为 z＝ 3 000x＋2 000y. (2)模型求解． x＋ y≤ 300， 二元一次不等式组等价于5x＋ 2y≤ 900， x≥0， y≥ 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域． 如图， 3 z 把 z＝ 3 000x＋2 000y 变形为 y＝－ x＋ ， 得到斜率为－ 2 2 000 3 z ，在 y 轴上的截距为 的一组平行直线． 2 2 000
简单线性规划
4．3 简单线性规划的应用• 学习导航1.了解可行域、可行解、约束条件、线性约束条 件、目标函数、线性目标函数、最优解等概念． 学习 2．掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定 目标 最优解的方法．(重点) 3．会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划 问题．(难点) 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行 学法 域，再作出目标函数对应的直线，然后根据题意 指导 确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值.
求线性目标函数的最值
2y≤x， 设 z＝ 2x＋ y 中的变量 x，y 满足条件x＋ y≤ 1， y≥－1， 求 z 的最大值和最小值． (链接教材 P101 例 6、 P103 例 7)
2y≤x， [解 ] 约束条件为x＋ y≤ 1， y≥－ 1， 作出可行域，如图所示的阴影部分．
视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规
定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公 司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分 配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大，最大收益是多少万元？
(链接教材P105例9)
[解 ] (1)模型建立． 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分 钟和 y 分钟，总收益为 z 元， x＋ y≤ 300， 由题意得约束条件为500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥ 0. 目标函数为 z＝ 3 000x＋2 000y. (2)模型求解． x＋ y≤ 300， 二元一次不等式组等价于5x＋ 2y≤ 900， x≥0， y≥ 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域． 如图， 3 z 把 z＝ 3 000x＋2 000y 变形为 y＝－ x＋ ， 得到斜率为－ 2 2 000 3 z ，在 y 轴上的截距为 的一组平行直线． 2 2 000
高中数学人教A版·必修5：简单线性规划的应用(74张PPT)
化为求最值即可．
[解]
设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分
别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得 x＋y≤300 500x＋200y≤90 000 x≥0 y≥0.
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
x＋y≤300 5x＋2y≤900 二元一次不等式组等价于 x≥0 y≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行 域，如上图．
[点评]
(1)解线性规划应用题，关键是正确来自实际问题中抽象出不等式组，并正确作出可行域，再由线性目标 函数作出一组平行线考察最优解． (2)线性规划问题中条件往往较多，可借助表格梳理条 件及其关系．
变式训练1 某企业拟用集装箱，托运甲、乙两种产 品，甲种产品每件体积为5m3，重量为2吨，运出后，可获 利润10万元；乙种产品每件体积为4m3，重量为5吨，运出 后，可获利润20万元，集装箱的容积为24m3，最多载重13 吨，如何装箱可获得最大利润？
新知初探
1．实际问题中线性规划的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这 些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任 务耗费的人力、物力资源最少．
2．线性规划解决的常见问题 (1)物资调配问题； (2)产品安排问题； (3)合理下料问题； (4)产品配方问题； (5)方案设计问题．
类型二 [例2]
求最小值的实际应用题 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画
标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做 文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文 字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少 张，才能使得总用料面积最小． [分析] 可先设出变量，建立目标函数和约束条件，
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x 0且xN y 0且yN
目标函数z为 x y
A B
M（18 ，39 ）
55
附近的整点：
A（3，4） B（4，8）
调整优值法
由z x y得y z x x z
可知，直线截距越小， z越小
先令 z 0, 作过原点的直线 y x 再对直线进行平移，可 知，
当直线经过点 M 时截距最小， z最小
题型一：实际应用的最优问题
例（课本87-88页）某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品需要4个A配件，耗时1h； 每生产一件乙产品需要4个B配件,耗时2h； 该厂每天最多从配件厂获得16个A配件和12个B配件， 而且每天工作时长为不能超过8小时； 若每件甲产品获利2万元，每件乙产品获利3万元， 问每天分别生产甲、乙产品多每天的获利达到最大？
由
x
y
y 1 0 2x 1 0
求得
x
y
0 1
故
C（0，1）
故 z 的最小值为 zmin=3×0-2×1=-2 故 z 范围[-2,3]
线性规划问题的解决步骤：
1、根据约束条件(不等式组）作可行域 2、对目标函数变形为y=kx+b的形式，
找截距与z的关系 3、令z=0, 先作出过原点的直线，定下直线形状 4、对直线进行平移，找出最优的点 5、联立边界直线方程，求出点坐标 6、将点坐标代入，求出最值
简单的线性规划问题
复习回顾
线性规划问题的有关概念： ·线性约束条件：
关于x、y的_一__次__不__等__式_组_
·可行域：
根据约束条件（不等式组）画出的平面区域 ·目标函数：
要求最大值或最小值的式子 ·线性规划问题：
在 线性约束 条件下，求目标函数的最值问题．
实质：在可行域内找一个点，使得点的坐标代进去，
线性规划在实际中的应用
——生活中的最优化问题
解应用题的步骤：
1、设 2、列：列线性约束条件（即x、y满足的不等式组）
目标函数（要求最值的式子） 3、画：画可行域、需要平移的目标直线，找出最优的 （画两条：一条是过原点的，一条是平移的最终位置,都用虚线） 4、解：联立方程，求交点（最优点）的坐标 5、求：将交点坐标代入式子，算出最值 6、答
[解] (2)z＝3x-y 变形为 y＝3x-z，可知直线的截距越小，z 越大。
令 z=0,作过原点的直线 y= 3x,
对直线进行平移，可知平移到 A 点时，截距最小，z 最大
由
y x
x y
1 1
0 0
求得
x y
1 0
，故
A（1，0）
故 z 的最大值为 zmax =3×1-2×0=3
同理，当直线平移到 C 点时，截距最大，z 最小
作业：
1、
x y 若实数x、y满足 x
4 y2
y 3
（1）求 y 的取值范围 x
（2）求z 2x y的最大值和最小值
2、学案P22页例1的第（3）问
33
令z=0,作过原点的直线2x+3y=0， 对直线进行平移，可知直线经过M点时截距最大，z最大
由 x x 2 4 y 80 得 x y 4 2 ,故 M （ 4 ， 2 ）
故zmax=2×4+3×2 =14（万元） 答：生产4件甲产品和2件乙产品时，获利最大， 最大利润为14万元
实战演练 （选自2010年广东高考文数）
可行域为： 答：为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.
作业： 1、课本P91第2题 2、学案P22页例1的第（3）问 3、预习：课本P89-P90 例6
题型二 最优整数解问题
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
解：设工产 厂x件 品 每， 天y 乙 生 件产 产 ，品 甲 每z万 天元 利， 润 则
4 x 16
4 x
y
2
12 y
8
即
x 4
y 3
x
2y
8
x
N
x
N
y N
y N
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域为：
因为z=2x+3y,故y= 2 x z 故直线的截距最大时z最大
式子取得最值
x y 1 0
[例]
设
x，y
满足约束条件
y
y
2x 1 0 x 1 0
(1)求目标函数 z＝2x＋y 的最大值；
(2)求目标函数 z＝3x－y 的取值范围；
[解] 作出可行域如图
(1)z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，
可知直线的截距越大，z 越大。
令 z=0,作过原点的直线 y= -2x,
钢板类型
规格类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问 各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板 张数最少？
解：设截第一种钢板x张，第二种钢板y张，使用 的总钢板数为z张，则
2xy 15 xx32yy1287 ,
由
2 x
x
3
y y
15 , 求得 27
x
y
18 5 39 5
,故M （ 18 5 Nhomakorabea，39 5
）
又 x、 y只能取正整数，
所以，找离点 M 最接近并且在区域里的 正整数，得 A（3，9）， B（4，8）
将 A（3，9）代入得 z 3 9 12
将 B（4，8）代入得 z 4 8 12 答：截第一种钢板 3张，第二种钢板 9张； 或截第一种 4张，第二种 8张，总张数最小，为 12 张
对直线进行平移，可知平移到 A 点时，截距最大，z 最大
由
y
y
x x
1 1
0 0
求得
x y
1 0
，故
A（1，0）
故 z 的最大值为 zmax =2×1+0=2
x y 1 0
[例]
设
x，y
满足约束条件
y y
2x 1 0 x 1 0
(1)求目标函数 z＝2x＋y 的最大值；
(2)求目标函数 z＝3x－y 的取值范围；
目标函数z为 x y
A B
M（18 ，39 ）
55
附近的整点：
A（3，4） B（4，8）
调整优值法
由z x y得y z x x z
可知，直线截距越小， z越小
先令 z 0, 作过原点的直线 y x 再对直线进行平移，可 知，
当直线经过点 M 时截距最小， z最小
题型一：实际应用的最优问题
例（课本87-88页）某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品需要4个A配件，耗时1h； 每生产一件乙产品需要4个B配件,耗时2h； 该厂每天最多从配件厂获得16个A配件和12个B配件， 而且每天工作时长为不能超过8小时； 若每件甲产品获利2万元，每件乙产品获利3万元， 问每天分别生产甲、乙产品多每天的获利达到最大？
由
x
y
y 1 0 2x 1 0
求得
x
y
0 1
故
C（0，1）
故 z 的最小值为 zmin=3×0-2×1=-2 故 z 范围[-2,3]
线性规划问题的解决步骤：
1、根据约束条件(不等式组）作可行域 2、对目标函数变形为y=kx+b的形式，
找截距与z的关系 3、令z=0, 先作出过原点的直线，定下直线形状 4、对直线进行平移，找出最优的点 5、联立边界直线方程，求出点坐标 6、将点坐标代入，求出最值
简单的线性规划问题
复习回顾
线性规划问题的有关概念： ·线性约束条件：
关于x、y的_一__次__不__等__式_组_
·可行域：
根据约束条件（不等式组）画出的平面区域 ·目标函数：
要求最大值或最小值的式子 ·线性规划问题：
在 线性约束 条件下，求目标函数的最值问题．
实质：在可行域内找一个点，使得点的坐标代进去，
线性规划在实际中的应用
——生活中的最优化问题
解应用题的步骤：
1、设 2、列：列线性约束条件（即x、y满足的不等式组）
目标函数（要求最值的式子） 3、画：画可行域、需要平移的目标直线，找出最优的 （画两条：一条是过原点的，一条是平移的最终位置,都用虚线） 4、解：联立方程，求交点（最优点）的坐标 5、求：将交点坐标代入式子，算出最值 6、答
[解] (2)z＝3x-y 变形为 y＝3x-z，可知直线的截距越小，z 越大。
令 z=0,作过原点的直线 y= 3x,
对直线进行平移，可知平移到 A 点时，截距最小，z 最大
由
y x
x y
1 1
0 0
求得
x y
1 0
，故
A（1，0）
故 z 的最大值为 zmax =3×1-2×0=3
同理，当直线平移到 C 点时，截距最大，z 最小
作业：
1、
x y 若实数x、y满足 x
4 y2
y 3
（1）求 y 的取值范围 x
（2）求z 2x y的最大值和最小值
2、学案P22页例1的第（3）问
33
令z=0,作过原点的直线2x+3y=0， 对直线进行平移，可知直线经过M点时截距最大，z最大
由 x x 2 4 y 80 得 x y 4 2 ,故 M （ 4 ， 2 ）
故zmax=2×4+3×2 =14（万元） 答：生产4件甲产品和2件乙产品时，获利最大， 最大利润为14万元
实战演练 （选自2010年广东高考文数）
可行域为： 答：为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.
作业： 1、课本P91第2题 2、学案P22页例1的第（3）问 3、预习：课本P89-P90 例6
题型二 最优整数解问题
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
解：设工产 厂x件 品 每， 天y 乙 生 件产 产 ，品 甲 每z万 天元 利， 润 则
4 x 16
4 x
y
2
12 y
8
即
x 4
y 3
x
2y
8
x
N
x
N
y N
y N
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域为：
因为z=2x+3y,故y= 2 x z 故直线的截距最大时z最大
式子取得最值
x y 1 0
[例]
设
x，y
满足约束条件
y
y
2x 1 0 x 1 0
(1)求目标函数 z＝2x＋y 的最大值；
(2)求目标函数 z＝3x－y 的取值范围；
[解] 作出可行域如图
(1)z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，
可知直线的截距越大，z 越大。
令 z=0,作过原点的直线 y= -2x,
钢板类型
规格类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问 各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板 张数最少？
解：设截第一种钢板x张，第二种钢板y张，使用 的总钢板数为z张，则
2xy 15 xx32yy1287 ,
由
2 x
x
3
y y
15 , 求得 27
x
y
18 5 39 5
,故M （ 18 5 Nhomakorabea，39 5
）
又 x、 y只能取正整数，
所以，找离点 M 最接近并且在区域里的 正整数，得 A（3，9）， B（4，8）
将 A（3，9）代入得 z 3 9 12
将 B（4，8）代入得 z 4 8 12 答：截第一种钢板 3张，第二种钢板 9张； 或截第一种 4张，第二种 8张，总张数最小，为 12 张
对直线进行平移，可知平移到 A 点时，截距最大，z 最大
由
y
y
x x
1 1
0 0
求得
x y
1 0
，故
A（1，0）
故 z 的最大值为 zmax =2×1+0=2
x y 1 0
[例]
设
x，y
满足约束条件
y y
2x 1 0 x 1 0
(1)求目标函数 z＝2x＋y 的最大值；
(2)求目标函数 z＝3x－y 的取值范围；