罗尔中值定理ppt课件

定理2. 若y =f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b) 内可导,
则至少存在一点(a, b), 使得
如图:
f ( )
f (b) f (a) ba
分析: 注意到
y y =f (x) M
f
(b) b
f a
(a)
K
AB
B A
因此, 拉格朗日定理
回答了上述问题.
0a
bx
要证
f ( )
y
M
y =f (x)
M
0 a x0
x0 b x
注2. 若f (x)在区间[a, b]的端点a(或b)处取得 最大(小)值. 不能保证f '(a)(或 f '(b))=0. 即, 在端点M(a, f (a))或M(b, f (b))处切线不 一定平行于x 轴.
如图.
y y = f (x)
0a bx
从而
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0). 因x0(a, b), 故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b),
解: 因为 f (1)= f (2)= f (3), 且f (x)在[1, 2]上连续,
在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1;
同理, 2, , 使 f ' (2; 又因f ' (x是二次方程, 至多两个实根, 故f ' (x有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内.
f (x0
x) x
f (x0 ) 0.
综合(1),(2)有0 f '(x0) 0, 故 f '(x0) = 0,
类似可证f (x)在x0取最小值的情形.
注1. 因f '(x0)表示曲线y =f (x)上点M(x0, f (x0))处切 线斜率. 而f '(x0)=0表示该点处切线斜率为0. 因此, 引理在几何上表示: 若y =f (x)在(a, b) 内部某点x0处取最大(小)值, 且在x0可导, 则 在M(x0, f (x0))处的切线平行于x轴. 如图
(1)修改: f (x) = (x1)(x2)(x3)(x4), 结论如何? (2)修改: 不解方程, 问 (x2)(x3)+(x1)(x3)
+(x1)(x2)=0有几个实根, 分别在何区间?
二、拉格朗日中值定理
在罗尔定理中, 曲线上存在一点M, 使得M点 处切线平行于x轴. 由于f (a)= f (b). 从而该切线平 行于弦AB.如果f (a)f (b), 那么在曲线上是否仍 然存在一点M, 使得M点处切线平行于弦AB呢?
f a
(a)
x.
易见, (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
且
(b)
f
(b)
f
(b) b
f a
(a)
b,
(a)
f
(a)
f
(b) f ba
(a) a.
(b)
(a)
f
(a)
f
(b)
f
(b) b
f a
(a)
(b
a)
0
即(a) = (b).
由罗尔定理, (a, b), 使'
f
(b) b
f a
(a)
.
只须证
f
( )
f
(b) f (a) ba
0.
即
f (x)
f
(b) b
f a
(a)
x
0.
x
若将括号内函数看作(x). 则只须证'()=0即可.
这就是罗尔定理的结论. 因此, 只须证明(x)满
足罗尔定理条件即可.
证: 构造函数, 令 (x)
f (x)
f
(b) b
由引理, f ' x0, 记 x0 , 即 (a, b)使 f ' .
注1. 几何意义: 如图
若连续曲线y = f (x) y
除端点外处处有不垂直
M
于x轴的切线. 且两端点
A
的纵坐标相等. 则在曲
线上至少存在一点M. 在M点的切线平行于x
0 a x0
轴. 也就是平行于弦AB.
y = f (x) MB
x0 b x
注2. 从方程的角度看, f ' 表示是方程
f ' x的根.因此, 罗尔定理的意义是若 f x满足定理条件, 则方程 f ' x在(a, b)内至少有一个根.
注3. 定理的条件"f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内 可导, f (a)= f (b) " 不能减弱. 否则, 结论不对.
即
f ( )
f
(b) b
§4－5 微分中值定理
一、罗尔中值定理
引理(费马):设y =f (x)在开区间(a, b)内有定义. 在x0(a, b)处取得最大值(最小值), 且 f (x)在x0处可导, 则 f '(x0) = 0.
证: 因f (x)在x0处可导.
故
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
f (x0 ), 存在.
比如, f (x)= |x|在[–1, 1] 上连续. 在除x=0外的每一 点x处都可导. 且f (–1)=f (1),
但是, 不存在(–1, 1), 使 得f '()=0. 如图
y
1
0
源自文库
y = |x| 1x
例1. 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 试判断方程 f 'x 有几个实根, 分别在何区间?
定理1. (罗尔中值定理). 若y=f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f (a) = f (b). 则在(a, b)内
至少存在一点 , 使得 f .
证: 因f (x)在[a, b]上连续, 从而可取得最大值M = f (x0)和最小值m = f (x1). 其中, x0, x1 [a, b]
(1) 若 m=M , 因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M.
有f ' x , 故 (a, b)有 f ' .
(2) 若 m<M , 因f (a) = f (b). 故在m, M中必至少有 一个不等于f (a) (= f (b)), 不妨设M= f x0 f (a)= f (b), 故 x0 a, x0 b, 从而x0 (a, b).
从而
f (x0+x) – f (x0) 0
(1)当x >0时,
f
( x0
x) x
f
(x0 )
0,
令x
0+,
由保号性定理,
f (x0 )
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
0.
(2)当x <0时,
f
( x0
x) x
f
(x0 )
0,
令x
0–,
由保号性定理,
f
(
x0
)
lim
x0