离散数学 第二章 命题逻辑等值演算

第二章
命题逻辑等值演算
公式的赋值定义： 将给定公式A中所含命题变元指定具体的一组真值，称这组真值 为给公式 A的赋值（或解释）。 公式A在此组赋值（解释）下就具有确定的真值。 1）公式 A的所有赋值组数与公式所含变元有关 （共有 2n 组） 2）若公式A在此组解释下的真值为真(1,T），则称此组赋值为成 真赋值。 3）若公式A 在此组解释下的真值为假(0,F），则称此组赋值为 成假赋值。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 (p → q)∧(q→p) 1 0 0 1 (p∧q)∨(┓p∧┓q) 1 0 0 1
((p ∨ q) → r) → p （ r) ⇔ (┐(p ∨ q) ∨ r) → p ⇔ ┐(┐(p ∨ q) ∨ r)) ∨ p ⇔(p ∨ q) ∧ ┐r)∨ p ⇔ (p ∧ ┐r )∨ ( q ∧ ┐r)∨ p ⇔ p ∨(p ∧ ┐r )∨ ( q ∧ ┐r) ⇔ p ∨ (q ∧ ┐r)
例: 确定 ((p ∨ q) → r) → p ⇔ (┐(p ∨ q) ∨ r) → p ⇔ ┐(┐(p ∨ q) ∨ r)) ∨ p ⇔ (p ∨ q) ∧ ┐r)) ∨ p ⇔ (p ∨ q ∨ p ) ∧( ┐r ∨ p) ⇔ (p ∨ q ∨ p ) ∧( ┐r ∨ p) ⇔ (p ∨ q ) ∧( ┐r ∨ p)
二、等值定律 1．双重否定律 A ⇔ ┐┐A 2. 幂等律 A ∨A ⇔ A A ∧A ⇔ A 3. 结合律 (A ∨B )∨C ⇔ A ∨(B ∨C) (A ∧B )∧C ⇔ A ∧(B ∧C) 4. 交换律 A ∨B ⇔ B ∨A A ∧B ⇔ B ∧A 5. 分配律 A ∨(B ∧R) ⇔(A ∨B )∧(A ∨R) A ∧(B ∨R) ⇔(A ∨B )∨(A ∧R) 6. 吸收律 A ∨(A ∧B ) ⇔ A A ∧(A ∨B ) ⇔ A 7. 德〃摩根律 ┐(A ∨B ) ⇔ ┐A ∧┐B ┐(A ∧B ) ⇔ ┐A ∨┐B 8. 同一律 A ⇔ A ∨F A ⇔ A ∧T 9. 零律 A ∨T ⇔ T A ∧F ⇔ F 10. 排中律 T ⇔ A ∨┐A 11．矛盾律 F ⇔ A ∧┐A 12．蕴涵等值式 A → B ⇔ ┑A ∨ B 13．等价等值式 A ↔ B ⇔ （A →B）∧（ B →A） A ↔ B ⇔（┐A ∨B）∧（ ┐B ∨A） A ↔ B ⇔ （A ∧B）∨（ ┐A ∧┐B） 同真同假 14．假言易位（逆否命题） A → B ⇔ ┑B → ┑A 15．等价否定等值式 A ↔ B ⇔ ┑A ↔ ┑B 16．归谬论 （ A → B） ∧（A → ┑B ） ⇔ ┑A
四、利用等值演算可确定公式的类型
判断 (p→q) ∧ p → q 的类型 若能得到 (p→q) ∧ p → q ⇔１ 则可得到公式为重言式 若A ⇔０ 则可得到公式为矛盾式 因为 (p→q) ∧ p → q ⇔
公式 ┑( p→（ｐ∨q) ）∧ r 的类型 公式 ｐ∧（（ （ｐ∨q) ∧┑p）→ｑ） 的类型 利用等值演算还可以化简一个命题公式 命题公式的等值演算是数理逻辑中的最基本运算
⇔ (p ∨ p) ∧ ( p ∨┑q） ⇔ p ∧ ( p ∨┑q） 合取范式 ⇔ ( p ∨(q ∧┑q) )∧ ( p ∨┑q） ⇔ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( p∨q ) ∧ (p ∨┑q) 合取范式 ⇔ p 合取范式 公式等值的析取范式和合取范式是不唯一的 一个公式的合取范式与析取范式可能是同一的 如上例中的 公式 p 既是公式 ┑p→ ┑(p →q)的析取范式又是它的的合取范式
P q 0 0 1 1 P
0 0 1 1
(p∧┑ p)∨ (q∧┑ q)
0 0 0 0 ┑(P ∨ q) 1
P∧q
P ∧┑q 0 0 1 0
P
┑P ∧ q 0 1 0 0
q
┑(P↔ q) 0 1 1 0 ┑(P∧ q) 1
P∨q
0 1 0 1 q
0 1 0 1
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
3、判断两个公式是否等值的方法

真值表方法：列出两个公式的真值表，看其真值是否相同 （最基础的方法） 验证 公式 p→q 与公式┑p∨q等值 ┐(A ∧B ) ⇔ ┐A ∨┐B 代数式的演算无法采用此种方法

演算法：以经过验算的等值式为基础（乘法公式－等值定律） 利用置换规则（等值代换）及其等值的性质 得到其他的等值式 （与代数式的演算类似） 下面引入经过验算得出的等值定律 为使定律使用的更广泛，定律中使用元语言的表示方法
0 1 1 1 (P∨┑ p)∧ (q∨┑ q) 1
P↔ q
┑ q
q →P
┑P
P→q
1
1
1
1
1
0
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
0 0
1
0 1
1
1 0
1
1 1
例：看几个公式的真值表： p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1 ┓p ∨ q 1 1 0 1
为了更方便地对命题公式进行讨论 （确定其真值、公式的分类及其推 理），象代数式那样进行演算（化 简），有必要引入一些化简原则。 代数式的化简原则是等值（不论变 量的取值如何，代数式的值是相等 的），对于命题公式来说化简的原 则是逻辑等值。
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对于形似于条件命题的构成形式 即 A→ B 而且要说明是重言式 如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P 可利用条件联结词的性质来给予证明 分析1：若要得出：当设 A为真，B为假的情况不会出现， 那么A →B 为永真式。 可证明：设前件为真
分析2： 还可以从设 B为假，推出A为真的情况不会出现（A为假）， 那么A →B 为永真式。 证明： 设后件为假 (（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以 构成无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组 任何关于这两个变元的公式的所有真值表只能是一组4位
二进制数
4位二进制数的不同状态共有16＝24 关于2个变元的不同真值表的公式仅有16种。以此推断： 2）当命题变元确定后，由于其公式的赋值组数是确定的（共 2n组） 公式在一组赋值下是一个真值（一位二进制） 在2n组赋值下对应为2n位二进制 n个变元的不同真值表的公式仅有（2）（2n）种 例：2个变元的16种不同真值表
的析取范式及合取范式
合取范式 合取范式
析取范式 析取范式
(4）析取范式和合取范式的不唯一性
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
┑p→ ┑(p →q) ⇔ p ∨ ┑(┑p ∨ q) p ∨ （p ∧ ┑q ） （p ∧（q ∨┑q））∨ （p ∧ ┑q） (p ∧q) ∨ (p ∧┑q) p
析取范式 析取范式 析取范式
例：证明下列等值式 ┐(P∧Q)→(┐P∨（┐P∨Q)) ⇔ (┐P∨Q) 解： ┐(P∧Q)→(┐P∨(┐P∨Q)) ⇔ (P∧Q)∨(┐P∨(┐P∨Q)) 蕴涵等值 ⇔(P∧Q)∨(┐P∨Q) 等幂律 ⇔(P∧Q)∨┐P∨Q ⇔(P∨┐P)∧(Q∨┐P))∨Q 分配律 ⇔ T ∧ (Q∨┐P)∨Q 同一律 ⇔ Q∨┐P 等幂律 ⇔ ┐P∨Q 交换律 2）证明等值式 (p∨q) →r ⇔ (P → r) ∧ (q →r) （┑（ｑ → p )∧p )∨(ｐ∧q∧r) ⇔ ｐ∧q∧r
二．析取范式和合取范式 1、定义 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式(代数式） p ∨ ┐q ∨ ┐r ┐q ∧p ∨ ┐p∨q p (2)由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式． (┐p∨q) ∧ ┐q ∧p ┐p ∧ ┐q∧ r ┐q (3)析取范式与合取范式统称为范式．
Ai(i=1,2…n)为简单合取式，A=A1 ∨A2 ∨..An为析取范式
一、逻辑等值定义 给定两个命题公式A 和 B，设 A 和 B 含有共同的n个命题变元。 若对于这 n 个命题变元的所有可能的赋值，命题公式A 与B的 真值均相同，则称命题公式 A 逻辑等值于命题公式B。 并记作 A ⇔ B。 逻辑等值的另外的形式定义： 给定两个命题公式A 和 B，若由A和B构成的等价式 A ↔ B为重 言式（永真式），则称命题公式 A 逻辑等值于命题公式B。 两个定义可相互证明 注： 1、“⇔”不是连接词，仅表示两个公式具有等值关系（不能用 等号），所构成的式子不是命题公式 2、等值的性质： 对任意公式A，Ｂ，Ｃ(进行演算的理论基础) １）自反性：A A ； ２）对称性：若A Ｂ，则Ｂ A； ３）传递性：若A Ｂ，ＢＣ， 则A Ｃ
２.２ 析取范式与合取范式 (公式的标准型式）
一．简单析取式和简单合取式 1）“文字”定义 命题变项及其否定统称作文字． 2）仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式． ┐p∨q 、 p ∨ ┐q ∨ ┐r ┐q 3）仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式．(项） ┐q ∧p ┐p ∧┐q∧ r p 4) 简单析取式和简单合取式的性质： 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项 及它的否定式． 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项 及它的否定式．
p q p ↔ q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q) 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 公式的表现形式不同但具有相同的真值表 也可以说：对所含变元的所有赋值下，其公式的真值均相同 我们把这类公式定义为“是逻辑等值的” 返回
第二章 命题逻辑等值演算
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是 重言式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是 矛盾式或永假式。 3）若命题公式不是矛盾式,则称命题公式是可满足式。(或公式 至少有一组成真赋值）
例：判断公式的类型 （现在只能用真值表方法） ┓(p → q )∧ q p →（p ∨ q ∨r) (┓p →q) →(q → ┓p) ┓ ( （ p ∧ q ) → q）
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p 0 0 1 1 p 0 0 0 0 1 1 1 1
q 0 1 0 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1
┓(p→q)∧q (┓p→q)→(q→┓p) ┓((p∧q )→q） 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p→(p∨q∨r) 1 1 1 1 1 1 1 1
三、置换规则： 设 Ф（A）是含公式A的命题公式，Ф（B）是用公式B置换了 Ф（A）中所有出现的A所得到的命题公式，则 若A ⇔ B有 Ф（A）⇔ Ф（B） 注：置换规则类似于代数中的变量替换 如：公式 (p→q) → r 因为 p→q 与 ┑p∨q等值 故可用┑p∨q 置换p→q所得到的公式与原式是等值的 即： (p→q) → r ⇔ （┑p∨q）→ r ┑（┑p∨q） ∨ r 与（┑p∨q）→ r 等值 故有（┑p∨q）→ r ⇔ ┑（┑p∨q） ∨ r ⇔ （ p∧ ┑ q） ∨ r
p∨ ┑q ∨ r
┐p ∧ q ∨ ┐ q∧ ┐p∧r ∨ ┐q
取范式 是含三个简单合取式的析
Bi(i=1,2…n)为简单析取式，B=B1 ∧ B2 ∧.. ∧ Bn为合取范式
p∨ ┑q ∨ r
(┐p∨q) ∧ ┐q ∧ p
是含三个简单析取式的合取范式．
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 ┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0 （┐p ∨ p）∧（┐q∨q） ⇔ 1 ∧1 ⇔1
3、范式存在定理 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式． 利用等值定律可将任何公式化成与之等值的析取范式和合取范式 确定析取范式和合取范式 (┐p→q)∧（p → r) (p→q) ∨（p ∧ r) 总可以通过以下方法步骤： 1．消去联结词 ↔ → (若存在)． 2．否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)． 3．利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， ∨对∧的分配律求合取范式 是否唯一?