运筹学之单纯形法.ppt
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运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
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cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
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单纯形表求解线性规划问题
运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
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三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
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min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
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管理运筹学 第5章 单纯形法-PPT精品文档
**对于求目标函数最小值的情况，只需把 j ≤0改为 ≥j0
管理运筹学
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
管理运筹学
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量 表示的目标函数为如下形式
管理运筹学
6
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0 B2 0 1 0
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各 列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行 解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行 基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
管理运筹学
7
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
管理运筹学
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量 表示的目标函数为如下形式
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0 B2 0 1 0
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各 列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行 解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行 基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
运筹学单纯形法ppt课件
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
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s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
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X1
0
10
X1
-10 3 4 3
-1 3/4 13/4 (3/2) 0 0 0 1
12
0
X2
X3
-12 0
(4) 1
1
0
2
0
0
3
1 1/4
0 -1/4
0 -1/2
0
8/3
1 1/2
0
5/6
0 -1/3
0
0
X4
X5
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0 2/3
0 -1/2
1 -13/6
0 2/3
θi
3/2 2/1 3/2
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
120
0
0
X1
X2
X3
X4
X5
CB
XB
0
-1 -2
0
0
0
0
X3
4
101
0
0
0
X4
3
0 (1) 0
1
00X58来自12001
CB XB
6
-1 0 0 2
0
0
X3
4
101
0
0
2
X2
3
010
1
0
0
X5
2
(1) 0
0
-2 1
(接下表)
CB
XB
8
0
X3
2
2
X2
3
1
X1
2
CB XB
8
0
X4
1
2
X2
2
1
X1
4
1
2
+x5 = 24
x1，x2 ，x3，x4 ， x5 0
突破离基变量必然立即导 致一个退化的基本可行解， 这就有可能造成单纯形法 的迭代步骤 陷入一个周而 复始的循环过程。
避免循环的方法有：
1。摄动法 2。辞典序法 3。Bland法等
摄动法避免循环的规则：
从相持的离基变量中选择下标最大者 离基。
X5 =36 -3X1-4X2
令X1 = X2 =0 X0 =(0, 0, 8, 12, 36)T
Z0 =0——初始可行解，简称初始解
基本概念
• 条典、典式 • 检验数
条典、典式
（1）基本可行解X0对应的可行基是一个m(=3） 阶单位阵。 （2）目标方程中所有基变量X3 ，X4 ，X5 的系 数全都为0。
第2章 单纯形法
美国著名的运筹学家丹茨格 1947年提出的.
X2
(0,6) D
C
(4,6)
X0 =(0, 0, 8, 12, 36)T
X1 =(0, 6, 8, 0, 12)T
B
(8,3)
(0,0)0
A
X1
X2 =(4, 6, 4, 0, 0)T
单纯形法的解题思路
初始基本可行解
是否最优解或 无限最优解?
min
j<0
j
=
k
若出现两个或更多个 j<0同时达到
最小，而相持不下时，任选一个作为进基。
2.4.2 离基变量的相持及其突破----退化情形
2.4.2 离基变量的相持及其突破----退化情形
目标函数 Max z =3x1+5x2
约束条件
s.t.
x1 + x3
=8
2x2 +x4
=12
3x1 +4x2
这两个条件简称为条典，把满足条典的线性 方程组称为典式（方程组）。
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优
Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗
∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。
=8 ①
2X2 + X4
=12 ②
3X1+ 4X2
X5 =36 ③
概念 ：主元，换基运算，迭代P54（从一个
基本可行解转换到另一个基本可行解）
接下来要让进基变量X2的系数列向量变为单位向量 具体做法： （１）主元素所在行的所有元素都除以主元素 （２）主元素所在列要变为单位向量,方法是采用
行变换,即将主元素行的某个倍数加到另一行上去。
2.4.3 多重最优解
判定LP模型是否有多重最优解是必要的。 如何判定LP模型是否有多重最优解？ 如何找到？
(1)、例 maxZ=X1 +2X2
X1 4 X2 3 X1+2X2 8 X1 , X2 0
X1 +X3
=4
X2
+X4
=3
X1+2X2
+X5 = 8
X1 … X5 0
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X1
X2
- X5
X1 … X5 0
=100 =120 =14
= 22
maxZ=6X1+4X2-MX6 -MX7
2X1 +3X2 +X3 4X1 +2X2 +X4 X1
=100 =120 +X6 =14
X2
- X5 +X7 = 22
X1 … X7 0
6
4
0
0 0 -M -M
X1
X2
X3
X4
X5
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
一、人工变量法
在单纯形法中,首先要求找到一个m阶 排列阵,但是往往做不到.如何找到单 位阵？
•目标函数：
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件：
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22...x2 + … + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
它与图解法结果一致
X2 2.1.2单纯形法的几何意义
(0,6) D
C
(4,6)
X0 =(0, 0, 8, 12, 36)T
X1 =(0, 6, 8, 0, 12)T
B
(8,3)
(0,0)0
A
X1
X2 =(4, 6, 4, 0, 0)T
2.2单纯形法的计算过程 2.2.1 单纯形表
例： Z=30X1+20X2
3/2
1 X2 5/2
3 X5
1
-1 1 -1
X1
X2
X3
0 -4 0
0
11
1
20
0
2
0
0 -2/3 0
0 -1/3 1
1
2
0
0 2/3 0
1/3 0
0
1/6 0
1
1/2 1 0
-2/3 0 0
0
X4
3 -1 -2 1 14/3 -5/3 -2 1/3
4 -2 -1 1
3
0
X5
X6
-5 0
2
0
0
0
3
16 0 -17 0 4 0
0 X3 6 0 -3 1 1 0 4 X1 4 1 -4 0 1 0 0 X5 4 0 (2) 0 -1 1
50 0 0 0 -9/2 17/2
0 X3 12 0 0 4 X1 12 1 0 1 X2 2 0 1
1 -1/2 3/2 0 -1 2 0 -1/2 1/2
j<0
(2)、决定离基变量：
bi -aikXik 0 ( i=1 ,2 ,…, m)
bi
Xik
aik
(aik>0 )
最小比值θ ( P 55)
bi
bl
θ = min
=
aik
alk