人教版高中数学《数列》全部教案
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2．中项法：即利用中项公式，若 则 成AP。
例四 《课课练》第4 课 例一
已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。
证明：∵ ， ， 成AP ∴ 化简得：
=
∴ ， ， 也成AP
3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。
例五 设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？
解： 时 时
过程：
一、复习：等差数列的定义，通项公式
二、例一 在等差数列 中， 为公差，若 且
求证：1 2
证明：1设首项为 ，则
∵ ∴
2∵
∴
注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：
同样：若 则
例二 在等差数列 中，
1若 求
解： 即 ∴
2若 求
解： =
3若 求
解： 即 ∴
3．寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为 当 时 （成立）
注意:1等差数列的通项公式是关于 的一次函数
2如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP
证明：若
它是以 为首项， 为公差的AP。
3公式中若 则数列递增， 则数列递减
4图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以求
∴ 又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设 ∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业： P118 习题3．2 1-9
第四教时
教材：等差数列（二）
目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。
出另一个。
例一 （P115例一）
例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数
例三 （P116例三） 此题可以看成应用题
四、关于等差中项： 如果 成AP 则
证明：设公差为 ，则
∴
例四 《教学与测试》P77 例一：在1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。
解一：∵ ∴ 是-1与7 的等差中项
N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6．用图象表示：— 是一群孤立的点
例一 （P111 例一 略）
三、关于数列的通项公式
1．不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2．数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 和
3．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要
例二 （P111 例二）略
四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列
各数：
1．1，1，1，0
2． ， ， ， ，
3．7，77，777，7777
4．1，7，13，19，25，31
5． ， ， ，
五、小结：
1．数列的有关概念
2．观察法求数列的通项公式
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，3，6，……
， ， ， ，……
12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义： （见P115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：AP首项 公差
2．若 则该数列为常数列
解二：由 ∴ 即
∴
∴
四、小结： 由数列和求通项
递推公式 （简单阶差、阶商法）
五、作业：P114 习题3．1 3、4
《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2
课时练习 6、7、8
第三教时
教材：等差数列（一）
目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。
六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2
《课课练》中例题推荐2 练习 7、8
第二教时
教材：数列的递推关系
目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。
过程：
一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）
二、例一：若记数列 的前n项之和为Sn试证明：
证：显然 时 ，
当 即 时
∴ ∴
注意：1此法可作为常用公式
2当 时 满足 时，则
例二：已知数列 的前n项和为① ②
求数列 的通项公式。
解：1．当 时，
当 时，
经检验 时 也适合
2．当 时，
当 时，
∴
三、递推公式 （见课本P112-113 略）
以上一教时钢管的例子
从另一个角度，可以：
“递推公式”定义：已知数列 的第一项，且任一项 与它的前
一项 （或前 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫
做这个数列的递推公式。
例三 （P113 例三）略
例四 已知 ， 求 ．
解一：可以写出： ， ， ， ，……
观察可得：
解二：由题设：
∴
∴wk.baidu.com
例五 已知 ， 求 ．
解一：
观察可得：
∵ ∴
∴ 数列 不成AP 但从第2项起成AP。
四、小结： 略
五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题
《课课练》 第3、4课中选
第五教时
教材：等差数列前 项和（一）
目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。
过程：
一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算
5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…
二、提出课题：数列
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
2．名称：项，序号，一般公式 ，表示法
3．通项公式： 与 之间的函数关系式
如 数列1： 数列2： 数列4：
4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。
5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集
从而
4若 求
解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……
∴ ……
从而 + 2
∴ =2
=2×8030=130
三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
例三 《课课练》第3课 例三
已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
当 时
时 亦满足 ∴
首项
∴ 成AP且公差为6
第三章数列
第一教时
教材：数列、数列的通项公式
目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
过程：
一、从实例引入（P110）
1．堆放的钢管4,5,6,7,8,9,10
2．正整数的倒数
3．
4．1的正整数次幂：1,1,1,1,…
例四 《课课练》第4 课 例一
已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。
证明：∵ ， ， 成AP ∴ 化简得：
=
∴ ， ， 也成AP
3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。
例五 设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？
解： 时 时
过程：
一、复习：等差数列的定义，通项公式
二、例一 在等差数列 中， 为公差，若 且
求证：1 2
证明：1设首项为 ，则
∵ ∴
2∵
∴
注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：
同样：若 则
例二 在等差数列 中，
1若 求
解： 即 ∴
2若 求
解： =
3若 求
解： 即 ∴
3．寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为 当 时 （成立）
注意:1等差数列的通项公式是关于 的一次函数
2如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP
证明：若
它是以 为首项， 为公差的AP。
3公式中若 则数列递增， 则数列递减
4图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以求
∴ 又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设 ∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业： P118 习题3．2 1-9
第四教时
教材：等差数列（二）
目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。
出另一个。
例一 （P115例一）
例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数
例三 （P116例三） 此题可以看成应用题
四、关于等差中项： 如果 成AP 则
证明：设公差为 ，则
∴
例四 《教学与测试》P77 例一：在1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。
解一：∵ ∴ 是-1与7 的等差中项
N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6．用图象表示：— 是一群孤立的点
例一 （P111 例一 略）
三、关于数列的通项公式
1．不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2．数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 和
3．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要
例二 （P111 例二）略
四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列
各数：
1．1，1，1，0
2． ， ， ， ，
3．7，77，777，7777
4．1，7，13，19，25，31
5． ， ， ，
五、小结：
1．数列的有关概念
2．观察法求数列的通项公式
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，3，6，……
， ， ， ，……
12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义： （见P115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：AP首项 公差
2．若 则该数列为常数列
解二：由 ∴ 即
∴
∴
四、小结： 由数列和求通项
递推公式 （简单阶差、阶商法）
五、作业：P114 习题3．1 3、4
《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2
课时练习 6、7、8
第三教时
教材：等差数列（一）
目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。
六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2
《课课练》中例题推荐2 练习 7、8
第二教时
教材：数列的递推关系
目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。
过程：
一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）
二、例一：若记数列 的前n项之和为Sn试证明：
证：显然 时 ，
当 即 时
∴ ∴
注意：1此法可作为常用公式
2当 时 满足 时，则
例二：已知数列 的前n项和为① ②
求数列 的通项公式。
解：1．当 时，
当 时，
经检验 时 也适合
2．当 时，
当 时，
∴
三、递推公式 （见课本P112-113 略）
以上一教时钢管的例子
从另一个角度，可以：
“递推公式”定义：已知数列 的第一项，且任一项 与它的前
一项 （或前 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫
做这个数列的递推公式。
例三 （P113 例三）略
例四 已知 ， 求 ．
解一：可以写出： ， ， ， ，……
观察可得：
解二：由题设：
∴
∴wk.baidu.com
例五 已知 ， 求 ．
解一：
观察可得：
∵ ∴
∴ 数列 不成AP 但从第2项起成AP。
四、小结： 略
五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题
《课课练》 第3、4课中选
第五教时
教材：等差数列前 项和（一）
目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。
过程：
一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算
5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…
二、提出课题：数列
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
2．名称：项，序号，一般公式 ，表示法
3．通项公式： 与 之间的函数关系式
如 数列1： 数列2： 数列4：
4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。
5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集
从而
4若 求
解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……
∴ ……
从而 + 2
∴ =2
=2×8030=130
三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
例三 《课课练》第3课 例三
已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
当 时
时 亦满足 ∴
首项
∴ 成AP且公差为6
第三章数列
第一教时
教材：数列、数列的通项公式
目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
过程：
一、从实例引入（P110）
1．堆放的钢管4,5,6,7,8,9,10
2．正整数的倒数
3．
4．1的正整数次幂：1,1,1,1,…