反证法在竞赛数学中的应用

反证法在竞赛数学中的应用1 序言竞赛数学是一门重要的学习课程，由于传统的证明方法难以解决一些偏题、难题，因此，在现有条件下，探讨出一个适应解决偏题、难题的方法是有待解决的问题．数学证明有直接证明和间接证明两种，反证法是间接证明的一种，历史上的许多著名命题，当用直接证明无法解决时，用反证法证明就能获得成功．反证法是中小学学习的重点和难点，是中小学和大学理工科的基本证明方法并且它在概率、代数和组合数学中都有着广泛的应用．它的进一步完善也促进了数学证明的发展．反证法最大的优点是无形中多了一个或几个条件，利用反证法证明可以化繁为简、化难为易．反证法具有较强的针对性和普遍性，反证法的研究是在其它证明方法上对竞赛数学的进一步实践与推广．反证法在学习过程中，难以正确的把握．但通过对反证法的研究和探讨，丰富了我们的学习生活，为解决偏题、难题提供了重要途径．反证法是数学最精良的武器，是数学最有利的证明方法．反证法目前仍然处于发展阶段，它有更广阔的知识空间让我们进行研究．关于反证法的应用有大量的优秀论文，关于这方面的解题技巧也有，但缺乏一个较全面的归纳，本文将在前人的基础上搜集大量资料进行深入研究．2 反证法的定义定义2.1[1](P330)证明一个命题，如果把原结论的相反结论纳入到原题条件中，由此经过正确推理，推导出和已知证明的定理、公理、定义、题设等相矛盾的结果，或者以两个不同的角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾，那么即可肯定原来的结论成立，这种间接证明命题的方法叫做反证法．定义2.2[2](P320)简言之，反证法是否定命题结论的相反结论，从而肯定原来题断的正确性的证明方法．3 反证法的实质我们用一个具体的命题来说明反证法的实质，例如：()P Q P →∧，反证法不是直接证明命题“()P Q P →∧”的正确性，而是证明它的反命题“()()P Q P →∧⌝”的不正确性．“()P Q P →∧”与“()()P Q P →∧⌝” 是两个具有相反关系的命题，只要我们证明“()()P Q P →∧⌝”为假，则“()P Q P →∧”为真．我们从“()()P Q P →∧⌝”出发，“()()P Q P →∧⌝”的等价形式为“()P Q P ⌝∧∧”，列真值表：由此可以看出，反证法的实质是：不是直接证明一个命题的真实性，而是通过证明它的相反命题的不真实性，从而肯定原命题的真实性．4 反证法的步骤在[3]中，给出了反证法的步骤，即：反设、归谬、存真．若用反证法证一个命题“P Q P ⇒∧”，则可分为三个步骤：（1）反设 假设P 不成立，则P ⌝成立，关键是正确写出P ⌝，这也是反证法的关键． （2）归谬 对Q P ∧且P ⌝进行正确推理，得C 且C ⌝（C 可以是Q P ∧），这就得出矛盾． （3）存真 由上述矛盾知P ⌝不成立，从而P 成立． 我们通过一个简单例子的来感受一下．例 试说明一个三角形中，至少有一个内角不小于060． 解 第一步：反设 假设C B A ∠∠∠,,都小于060，所以0000180606060=++<∠+∠+∠C B A ．第二步：归谬 这与三角形内角和为0180相矛盾，所以结论是错误的． 第三步：存真 所以ABC ∆中，至少有一个内角不小于060．5 反证法的应用俗话说“正难则反”，当从已知条件出发，发现所知甚少时，就会想到用反证法．关于反证法在中小学竞赛数学中的应用，我们已经很熟悉了，在[2]中给出了反证法在以下命题中适合：第一， 含有涉及“无限”形式结论的命题．在代数中，证明的“无限”形式主要是证明元素的“无限多”和数的“无限表示”，在几何中，证明的“无限”形式主要是证明直线和点、直线和直线、直线和平面、平面和平面相交于无限远．第二， 以否定判断作为结论的命题．证明以否定判断作为结论的命题，也就是证明某些元素“不存在”或“不具有某些性质”，因为它的反面是肯定，所以用反证法证明更容易．第三， 结论呈“至多”，“至少”形式的命题．“至多”的反面是“至少”，“至少”的反面是“至多”，“至多有n 个对象满足这个条件”的反面是“至少有1+n 个对象满足这个条件”，“至少有n 个对象满足这个条件”的反面是“至多有1-n 个对象满足这个条件”．第四， 仅从已知条件出发，能推出什么所知甚少的命题．这类命题往往感到无从下手，从正面知道的越少，从它的反面知道的就越多．那么，在大学竞赛数学中，上述几条是否适用反证法，能用反证法证明的命题是不是局限于上述四类，我们将通过典型例题进行研究．5.1 含有涉及“无限”形式结论的命题 例5.1.1[1](p335)证明：形如()+∈+N n n 34的质数有无限多个．证明 假设形如34+n 的质数只有有限多个，记它们为34,,34,342211+=+=+=r r b a b a b a Λ．令3421+=r a a a c Λ，则c 是34+n 形式的数，且c 不同于r a a a ,,,21Λ，从而c 是奇合数，把c 质因数分解，则c 一定含有34+n 形式的质因数（否则，c 的质因数只能为14+n 型，它们的乘积还是14+n 型，矛盾），但是，r a a a ,,,21Λ均不是c 的因数，从而还存在不同于r a a a ,,,21Λ的具有34+n 形式的质因数，矛盾．所以，形如34+n 的质数有无限多个． 5.2 以否定判断作为结论的命题例5.2.1 方程0623=+-a x x （a 是常数）在区间[]1,0内不可能有两个不同的实根．证明 设()a x x x f +-=623，假设存在[]1,0,21∈x x ，21x x <，有()()021==x f x f ，因为f 在[][]1,0,21⊂x x 上连续，在()21,x x 内可导，依罗尔定理，应()()1,0,21⊂∈∃x x ξ，使 ()()0162=-='ξξf ，则1=ξ或1-=ξ．这两点均不可能在()21,x x 内，矛盾．所以方程在区间[]1,0内不可能有两个不同的实根． 例5.2.2[1](P332）设abc 是十进制中的素数，证明ac b 42-不是完全平方数．证明 用反证法，假设存在十进制素数abc ，使得ac b 42-为平方数，由求证式的形式，启发我们构造方程()c bx ax x f ++=2．由题设，()abc c b a f P =++==1010010是素数． 下面借助方程()c bx ax x f ++=2导出矛盾．由题设，方程()c bx ax x f ++=2有两个根aac b b x 2422,1-±-=为有理数．于是()()212x x x x a c bx ax --=++．将上式右边化为整数，只需两端同乘a 4，得()()212202204ax a ax a aP --=．由此知，上式右边两个因子中必有一个被P 整除．不妨设1220ax a -能被P 整除，而02201≠-ax a ，所以，P ax a ≥-1220．于是由()()212202204ax a ax a aP --=可推出a ax a 42202≤-．但02≤x ，上式不能成立．矛盾．证毕．5.3 结论呈“至多”，“至少”形式的命题例5.3.1 方程0=++b ax x n（n 是正整数，a ，b 为实数），当n 为偶数时，至多有两个实根．证明 由代数基本定理，方程0=++b ax x n恰有n 个根（含复根），故结论在3,2,1=n 时自然成立．当n 为偶数时（4≥n ）时，若存在321x x x <<为方程三个根，记()b ax x x f n++=，()()()0321===⇒x f x f x f ，因为f 在[]21,x x ，[]32,x x 上连续，在()21,x x ，()32,x x 上可导，由罗尔定理推得：21,ξξ∃，32211x x x <<<<ξξ，使(),01=+='-a n f n i i ξξ 2,1=i1211--=⇒n n ξξ．因为1-n 为奇数，21ξξ=⇒，矛盾．所以方程0=++b ax x n，当n 为偶数（4≥n ）时至多有两个实根．5.4 仅从已知条件出发，能推出什么所知甚少的命题例5.4.1 证明：任何3个实数都不可能同时满足下列3个不等式：,,.a b c b c a c a b <-<-<-证明 用反证法，若不然，存在3个实数,,a b c 同时满足上述3个不等式，两端平方、移项、分解因式，即得()()()()()()0,0,0.a b c a b c b c a b c a c a b c a b -++-<-++-<-++-< 把这三个式子相乘，便得()()()20.a b c a b c b c a -++-+-<⎡⎤⎣⎦矛盾．从而原命题成立．5.5 直接证明有困难的命题例5.5.1 设,,,x y z w 是非负整数，证明()()2233x y x y z w z w +++=+++成立的必要条件是,x z =并且.y w =证明 如果()()2233x y x y z w z w +++=+++成立，那么x z =且.y w =为此只需证明由()()2233x y x y z w z w +++=+++可导出x y z w +=+（把它代入()()2233x y x y z w z w +++=+++即得,x z =进而.y w =）从()()2233x y x y z w z w +++=+++出发直接证明x y z w +=+是有些困难的．我们从结论的反面入手，如果,x y z w +≠+不妨设,x y z w +>+因,,,x y z w 均是非负整数，所以1.x y z w +≥++于是()()()()(),31231322222w z w z w w z w z w z w z yx y x yx y x +++>+++++=++++≥+++≥+++这与()()2233x y x y z w z w +++=+++矛盾，从而命题得证．例5.5.2 设m 为有理数，n 为无理数，证明：n m + 为无理数． 证明 反证法：假设n m +为有理数，b a m =，dc n m =+，（d c b a ,,,为整数，并且0,≠d b ）， 则()bdadcb b a d c m n m n -=-=-+=， 因为bd ，ad cb -均为整数，所以n 也是有理数，这与n 为无理数矛盾，所以n m +为无理数．5.6 命题的结论中涉及“惟一性”例5.6.1 已知方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0000416315214113412311210194837261544332211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数满足（1）161161,,,a a a a 是正的；（2）所有其他系数都是负的；（3）每一个方程中的系数之和是正的．求证：04321====x x x x 是原方程组的惟一解．证明 如果04321====x x x x 不是原方程组的惟一解，那么原方程组的非平凡解()4321,,,x x x x 有如下两种可能的情形：(1) 某个i x 是正的．不妨设{}43211,,,m ax x x x x x =，则4131211,,,0x x x x x x x ≥≥≥>，由于0,,,4321144413331222>+++≥≥≥a a a a x a x a x a x a x a x a ，所以()01432144332211>+++≥+++x a a a a x a x a x a x a ，这与原方程组矛盾．(2) 某个i x 是负的．不妨设{}43211,,,m in x x x x x =，则4131211,,,0x x x x x x x ≤≤≤<，由于0,,,4321144413331222>+++≤≤≤a a a a x a x a x a x a x a x a ，所以()01432144332211<+++≤+++x a a a a x a x a x a x a这与原方程组矛盾．从而，04321====x x x x 是原方程的惟一解．由此，我们可以看到在大学竞赛数学中能用反证法证明的并非在[2]中的四种，我们在大学里做了两点补充．对于直接证明有困难的命题，它的反面就会更加具体更加清楚，更容易理解，更容易导出矛盾，用反证法证明就更容易．对于命题的结论中涉及“惟一性”的命题，“惟一”就是“独一无二”，即可假设它不惟一，由此推出矛盾．当然，能用反证法证明的并非局限于上述几条，还有很多，解题时只有因题制宜，灵活应变，才能达到事半功倍的效果．在[4]中，提到了从反面考虑问题，就是从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题．对于一个问题从正面无法解决的时候，从反面考虑就会获得意想不到的效果．从反面考虑问题也是一种间接证法，那么，从反面考虑问题和反证法研究的是不是同一种证明方法？答案是否定的．从反面考虑问题是采用逆推顺写的方法来做的，反证法只是从反面考虑问题的一种方法，两者并不是等价的，它们是包含和被包含的关系．关于数学问题，博大精深，反证法的学习让我们受益匪浅．6 结束语数学问题，变化万千，问题不同，思路不同．反证法作为一种间接证法越来越受到人们的重视．反证法在学习过程中难以正确的把握，但是通过对反证法的研究和探讨，丰富了我们的学习生活，为解决偏题、难题提供了重要途径和科学的学习方法，使我们对竞赛数学的学习变成了一种愉快接受知识的行为．。