反证法在竞赛数学中的应用

反证法在竞赛数学中的应用

1 序言

竞赛数学是一门重要的学习课程，由于传统的证明方法难以解决一些偏题、难题，因此，在现有条件下，探讨出一个适应解决偏题、难题的方法是有待解决的问题．数学证明有直接证明和间接证明两种，反证法是间接证明的一种，历史上的许多著名命题，当用直接证明无法解决时，用反证法证明就能获得成功．反证法是中小学学习的重点和难点，是中小学和大学理工科的基本证明方法并且它在概率、代数和组合数学中都有着广泛的应用．它的进一步完善也促进了数学证明的发展．反证法最大的优点是无形中多了一个或几个条件，利用反证法证明可以化繁为简、化难为易．反证法具有较强的针对性和普遍性，反证法的研究是在其它证明方法上对竞赛数学的进一步实践与推广．反证法在学习过程中，难以正确的把握．但通过对反证法的研究和探讨，丰富了我们的学习生活，为解决偏题、难题提供了重要途径．反证法是数学最精良的武器，是数学最有利的证明方法．反证法目前仍然处于发展阶段，它有更广阔的知识空间让我们进行研究．关于反证法的应用有大量的优秀论文，关于这方面的解题技巧也有，但缺乏一个较全面的归纳，本文将在前人的基础上搜集大量资料进行深入研究．

2 反证法的定义

定义2.1

[1](P330)

证明一个命题，如果把原结论的相反结论纳入到原题条件中，由此经过正确推

理，推导出和已知证明的定理、公理、定义、题设等相矛盾的结果，或者以两个不同的角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾，那么即可肯定原来的结论成立，这种间接证明命题的方法叫做反证法．

定义2.2[2](P320)

简言之，反证法是否定命题结论的相反结论，从而肯定原来题断的正确性的证

明方法．

3 反证法的实质

我们用一个具体的命题来说明反证法的实质，例如：()P Q P →∧，反证法不是直接证明命题“()P Q P →∧”的正确性，而是证明它的反命题“()()P Q P →∧⌝”的不正确性．“()P Q P →∧”与“()()P Q P →∧⌝” 是两个具有相反关系的命题，只要我们证明“()()P Q P →∧⌝”为假，

则“()P Q P →∧”为真．我们从“()()P Q P →∧⌝”出发，“()()P Q P →∧⌝”的等价形式为“()P Q P ⌝∧∧”，列真值表：

由此可以看出，反证法的实质是：不是直接证明一个命题的真实性，而是通过证明它的相反命题的不真实性，从而肯定原命题的真实性．

4 反证法的步骤

在[3]中，给出了反证法的步骤，即：反设、归谬、存真．若用反证法证一个命题“P Q P ⇒∧”，则可分为三个步骤：

（1）反设 假设P 不成立，则P ⌝成立，关键是正确写出P ⌝，这也是反证法的关键． （2）归谬 对Q P ∧且P ⌝进行正确推理，得C 且C ⌝（C 可以是Q P ∧），这就得出矛盾． （3）存真 由上述矛盾知P ⌝不成立，从而P 成立． 我们通过一个简单例子的来感受一下．

例 试说明一个三角形中，至少有一个内角不小于0

60． 解 第一步：反设 假设C B A ∠∠∠,,都小于0

60，所以

0000180606060=++<∠+∠+∠C B A ．

第二步：归谬 这与三角形内角和为0

180相矛盾，所以结论是错误的． 第三步：存真 所以ABC ∆中，至少有一个内角不小于0

60．

5 反证法的应用

俗话说“正难则反”，当从已知条件出发，发现所知甚少时，就会想到用反证法．关于反证法在中小学竞赛数学中的应用，我们已经很熟悉了，在[2]中给出了反证法在以下命题中适合：

第一， 含有涉及“无限”形式结论的命题．

在代数中，证明的“无限”形式主要是证明元素的“无限多”和数的“无限表示”，在几何中，证明的“无限”形式主要是证明直线和点、直线和直线、直线和平面、平面和平面相交于无限远．

第二， 以否定判断作为结论的命题．

证明以否定判断作为结论的命题，也就是证明某些元素“不存在”或“不具有某些性质”，因为它的反面是肯定，所以用反证法证明更容易．

第三， 结论呈“至多”，“至少”形式的命题．

“至多”的反面是“至少”，“至少”的反面是“至多”，“至多有n 个对象满足这个条件”的反面是“至少有1+n 个对象满足这个条件”，“至少有n 个对象满足这个条件”的反面是“至多有1

-n 个对象满足这个条件”．

第四， 仅从已知条件出发，能推出什么所知甚少的命题．

这类命题往往感到无从下手，从正面知道的越少，从它的反面知道的就越多．

那么，在大学竞赛数学中，上述几条是否适用反证法，能用反证法证明的命题是不是局限于上述四类，我们将通过典型例题进行研究．

5.1 含有涉及“无限”形式结论的命题 例5.1.1

[1](p335)

证明：形如()+∈+N n n 34的质数有无限多个．

证明 假设形如34+n 的质数只有有限多个，记它们为

34,,34,342211+=+=+=r r b a b a b a Λ．

令3421+=r a a a c Λ，则c 是34+n 形式的数，且c 不同于r a a a ,,,21Λ，从而c 是奇合数，把c 质因数分解，则c 一定含有34+n 形式的质因数（否则，c 的质因数只能为14+n 型，它们的乘积还是14+n 型，矛盾），但是，r a a a ,,,21Λ均不是c 的因数，从而还存在不同于r a a a ,,,21Λ的具有34+n 形式的质因数，矛盾．

所以，形如34+n 的质数有无限多个． 5.2 以否定判断作为结论的命题

例5.2.1 方程0623

=+-a x x （a 是常数）在区间[]1,0内不可能有两个不同的实根．

证明 设()a x x x f +-=623

，假设存在[]1,0,21∈x x ，21x x <，有

()()021==x f x f ，

因为f 在[][]1,0,21⊂x x 上连续，在()21,x x 内可导，依罗尔定理，应()()1,0,21⊂∈∃x x ξ，使 ()()

0162

=-='ξξf ，