k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
1.1 数据的数字特征
n 2 ( n 1)u4 ( n 1) 2 3 4 ( n 1)( n 2)(n 3) s ( n 2)(n 3)
当数据的总体分布为正态分布时，峰度近似为 0；当分布较正态分布的尾部更为分散时，峰度为 正，否则峰度为负。 当峰度为正时，两侧极端数据较多；当峰度为 负时，两侧极端数据较少。
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《数据分析》电子教案
第一章 数据描述性分析
2015年5月16日星期六
总体的数据特征
• 设观测数据是由总体X中取出的样本，总体的分布 函数是F(x)。当X为离散分布时，总体的分布可由 概率分布列刻画：
pi PX xi ,
i 1,2,.
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第一章 数据描述性分析
2015年5月16日星期六
例2
• 某厂的某种悬式绝缘 子机电破坏负荷试验 数据（单位：吨）分 组表示如表，计算这 批分组数据的均值、 方差、标准差、变异 系数、偏度、峰度。
组段
5.5～6.0 6.0～6.5 6.5～7.0 7.0～7.5 7.5～8.0 8.0～8.5 8.5～9.0 9.0～9.5 9.5～10.0
频 数
频 数
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第一章 数据描述性分析
2015年5月16日星期六
均值、方差等数字特征
峰度
n( n 1) g2 ( n 1)( n 2)(n 3) s 4
2 ( n 1) ( xi x ) 4 3 ( n 2)(n 3) i 1 n
第一章 数据描述性分析
k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征
k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征
二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。
方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。
(The moment of inertia.)
三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。
在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。
A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。
具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛
Xi^2)/n-----(2)
Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3)
用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。
用已知样本的X的一阶矩和二阶矩来估计分布律，分布函数，概率函数或者数字特征中的某个未知参数a的值，此即矩估计法。
大概步骤如下
1 根据分布律或者分布函数，概率函数，计算EX或者EX2,其中含有未知参数a
2 令样本的一阶矩A1等于EX（二阶矩A2等于EX^2)
3 由2得到
a的表达式子，此式子中含有A1(A2,...),而A1,A2表达式如上(1),(2)，（3）所示.
该含有 A1,A2,..Ak的表达式称为估计量，如果把样本具体值带入，即可得a的估计值。
MATLAB数据分析方法第2章数据描述性分析
MATLAB数据分析⽅法第2章数据描述性分析2.1 基本统计量与数据可视化1.均值、中位数、分位数、三均值均值、中位数：mean(A)、media(A)分位数：prctile(A,P)，P∈[0,100]prctile(A,[25,50,75]) %求A的下、中、上分位数三均值：w=[0.25,0.5,0.75];SM=w*prctile(A,[25,50,75])%例：计算安徽16省市森林资源统计量A=xlsread('senlin.xls','sheet1')M=mean(A); %均值,MD=median(A); %中位数SM=[0.25,0.5,0.25]*prctile(A,[25,50,75]); %三均值[M;MD;SM]2.⽅差、标准误、变异系数⽅差：var(A,flag),flag默认0表⽰修正的⽅差，取1为未修正标准差：std(A,flag),同上变异系数：v=std(A)./abs(mean(A))k阶原点矩、中⼼距：ak=mean(A.^k)bk=mean((A-mean(A)).^k)%中⼼距系统命令bk=moment(A,k)3.极差、四分位极差(上、下分位数之差)R=rangr(A)R1=iqr(A)4.异常点判别（截断点）XJ=parctile(A,[25])-1.5*R1SJ=parctile(A,[75])+1.5*R15.偏度、峰度偏度：sk=skewness(A,flag),默认1，取0为样本数据修正的偏度峰度：ku=kurtosis(A,flg)-3,同上2.1.2 多维样本数据协⽅差：cov(A)相关系数：corr(A)标准化：zscore(A)2.1.3 样本数据可视化1.条形图bar(x)%样本数据x的条形图，横坐标为1：length(x)bar(x,y)%先把x和y⼀⼀对应，然后将x从⼩到⼤排序画图2.直⽅图hist(x,n)%数据x的直⽅图，n为组数，确省时n=10[h,stats]=cdfplot(x)%x的经验分布函数图，stats给出数据最⼤最⼩值、中位数、均值、标准差直⽅图基础上附加正态密度曲线histfit(x)histfit(x,nbins)%nbins指定bar个数，缺省时为x中数据个数的平⽅根3.盒图，五个数值点组成：最⼩值、下四分位数、中位数、上四分位数、最⼤值。
《概率论与数理统计》4
（二）连续型随机变量的期望 1.定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ，若广义积分
xf ( x )dx 绝对收敛，则称该积分为随机变量 X 的数学期望（简称期
望或均值），记为 E ( X ) ，即
E ( X ) xf ( x )dx
例 7.设随机变量 X 的概率密度为
������ ������ ������
������������
������
������������������ = ������
������ ������ ������
(������ − ������������) ������������ =
������ ������
4.若随机变量 X,Y 相互独立，则： E( XY ) E( X ) E(Y ) 例.（P95.2）设连续型随机变量 X 的分布函数为
( 0 0)
1 1 1 1 (0 1) 0 (1 0) (1 1) 3 2 6 6
例 13.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
2,0 x 1,0 y x f ( x, y ) 其他 0,
求：（1） E ( X Y ) ；（2） E ( XY ) ；（3） P{ X Y 1} 。 解： (1) E ( X Y ) 0 dx0 2( x y )dy 1
令 Y g( X ) ，若级数 g( xk ) pk 绝对收敛，则随机变量 Y 的数学期望
k 1
为
E (Y ) E ( g( X )) g( xk ) pk
k 1
例 5.设随机变量 X 的分布律为 X P 令 Y 2 X 1 ，求 E(Y ) 。 解：由于 X 的分布律为： X P 所以，Y 的分布律为： Y P -1 0.3 1 0.2 3 0.4 5 0.1 -1 0.3 0 0.2 1 0.4 2 0.1 -1 0.3 0 0.2 1 0.4 2 0.1
含光伏发电的配电网风险评估
含光伏发电的配电网风险评估徐孟霞;钟成元;张二龙;陈祥平;甘新华;王富根;朱代发【摘要】针对输出功率具有随机性的大规模分散光伏并网对配电网运行带来的风险影响,开展了计及光伏处理和负荷相关性的概率潮流算法,建立了含大规模分散光伏的配电系统风险评估指标,通过算例对光伏不同安装位置等情况下的配电网运行风险进行了评估。
【期刊名称】《电气技术与经济》【年(卷),期】2018(000)004【总页数】5页(P57-61)【关键词】光伏;模型;配电网;风险评估【作者】徐孟霞;钟成元;张二龙;陈祥平;甘新华;王富根;朱代发【作者单位】[1]国网安徽省电力有限公司岳西供电公司;;[2]国网安徽省电力有限公司安庆供电公司;;[1]国网安徽省电力有限公司岳西供电公司;;[1]国网安徽省电力有限公司岳西供电公司;;[1]国网安徽省电力有限公司岳西供电公司;;[1]国网安徽省电力有限公司岳西供电公司;;[1]国网安徽省电力有限公司岳西供电公司【正文语种】中文【中图分类】TM6150 引言大量分散的分布式光伏发电在配网中应用导致潜在的未知风险难以预估［1－3］。
局部风险得不到有效控制的情况下，可能会导致输电网发生大面积停电事故。
针对含有大规模光伏分散接入的复杂配电网，亟待建立一套科学有效的风险评估方法及体系以准确地评估电网实时运行状态。
1 光伏发电概率模型描述光伏发电出力特性主要有参数估计法和非参数估计法两类。
前者受多种因素的影响，往往存在较大误差。
而后者对总体的假定较少，避免了总体分布预判偏差或分布变化造成的错误。
因此，选用核密度估计法对光伏发电随机模型进行描述。
设光伏发电输出功率P1的概率密度函数为fpv（P1），则fpv（P1）的核估计为：式中：K为核函数，h为光滑参数，n为样本容量。
由核密度估计理论可知，当n→∞，h→0且nh→∞时，式（1）将收敛于可见，核密度估计的精度取决于带宽和核函数。
带宽一定时，不同核函数对fpv（P1）的影响是等价的。
样本的k阶中心矩和k阶原点矩
样本的k阶中心矩和k阶原点矩样本的k阶中心矩和k阶原点矩是统计学中常用的概念，用于描述数据分布的特征。
本文将详细介绍k阶中心矩和k阶原点矩的概念、计算方法以及在统计分析中的应用。
第一部分：引言（200字）统计学是一门研究收集、分析、解释和呈现数据的科学。
在实际应用中，我们经常需要对一些数据进行统计分析，从而得出关于总体的推断。
而样本的k阶中心矩和k阶原点矩则是统计分析中常用的工具之一。
本文将详细介绍k阶中心矩和k阶原点矩的概念、计算方法以及在实际应用中的意义。
第二部分：k阶中心矩（800字）在统计学中，k阶中心矩是用来描述样本数据分布形态的重要参数。
对于一组样本数据X={x1, x2, ..., xn}，其k阶中心矩定义为：Mk = (1/n) * Σ(xi - x̄)^k其中，n为样本容量，xi为第i个个体观测值，x̄为样本均值。
k阶中心矩衡量了样本数据集的离散程度和分布的形态，k越大，其结果越能反映数据的尖锐程度，k越小，则越反映数据的平坦程度。
以二阶中心矩为例，其计算公式为：M2 = (1/n) * Σ(xi - x̄)^2二阶中心矩常用来描述样本数据的方差，也即数据的离散程度。
当数据的二阶中心矩较大时，说明数据的离散程度较大，反之亦然。
第三部分：k阶原点矩（800字）k阶原点矩是衡量一组样本数据X={x1, x2, ..., xn}的k阶矩，与k阶中心矩相比，其不需要样本均值。
k阶原点矩的定义为：M'k = (1/n) * Σ(xi)^kk阶原点矩与k阶中心矩在计算公式上的主要区别就是没有减去均值。
k阶原点矩描述了数据分布的中心和位置，可以用来衡量数据的偏度和峰度。
以三阶原点矩为例，其计算公式为：M'3 = (1/n) * Σ(xi)^3三阶原点矩常用来描述数据的偏度，即数据分布的左右对称程度。
当数据的三阶原点矩为正时，说明数据分布右偏（正偏），反之则为左偏。
若三阶原点矩为0，说明数据分布对称。
自-题解第5章数理统计的基本概念
习题 5.11． 为了解2010年云南省某师范学院新生的每月消费情况，调查了该校50名新生。
试问：(1）研究的总体是什么？(２)研究的样本是什么？（３）样本容量是多少？解 (１）总体为该师范学院所有新生的每月消费。
（２)样本为5０名该师范学院新生的每月消费。
（３）样本容量为５0。
2. 某厂生产的灯泡使用寿命X 服从参数为λ的指数分布，为了研究其平均寿命，从中抽取一个样本容量为n 的样本12(,)n X X X ,试写出该样本的密度函数。
解 因为总体的密度函数为()0,0x 0.x e x f x λλ-⎧>=⎨≤⎩，，所以，样本12(,)n X X X 的密度函数为()112121,0,,()0nii x nn n i i e x x x f x x x f x λλ=-=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏ ， ， 其余.3. 设某厂大量生产某种产品,其次品率p 未知，每m 件产品包装为一盒,为了检查产品的质量,任意抽取n 盒,查其中的次品数，试在这个统计问题中说明什么是总体,样本以及它们的分布。
解 总体X 表示一盒产品中的产次品数,X 服从参数是(),m p 的二项分布。
这是由于产品的批量很大,次品率为p ,从大批产品中取m 件,可以认为每件产品的取出是相互独立的，从而次品数服从二项分布。
样本1(,,)n X X 表示所抽取的n 盒产品中的次品数。
由样本的独立性与代表性得1(,,)n X X 的联合分布列为11(,...,)n n P X x X x ===11()P X x =…()n n P X x == 111(1)(1)n n n x x m x x xm x m m C p p C p p ----＝1[(1)]i i inx x m x m i C p p -=-∏． 4. 从总体ξ中抽取了一个容量为5的样本，样本值为(5,3,1,2,0)--,试求ξ的经验分布函数。
解 经验分布函数为()0,3,1,31,52,10,53,02,54,25,51, 5.n x x x F x x x x <-⎧⎪-≤<-⎪⎪-≤<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪⎪≤<⎪≥⎪⎩5. 研究某地区小学五年级男生身高的分布,抽取了100名男生进行测量。
中心矩的名词解释
中心矩的名词解释在统计学和数学领域中，中心矩是描述随机变量分布特征的重要概念。
它们提供了关于数据分布的位置、形态和偏态的信息。
本文将对中心矩的概念进行解释，探讨其应用和性质。
中心矩是以分布的均值为中心的各阶矩，并衡量了数据与均值的偏离程度。
它们能够帮助我们了解数据的分散情况和对称性。
在统计学中，第一阶中心矩为零，第二阶中心矩即方差，而第三阶中心矩衡量了分布的偏斜度。
对于一个随机变量X，其n阶原点矩定义如下：M_n = E(X^n)第n阶中心矩可以通过原点矩进行计算，用μ表示X的均值，则第n阶中心矩可以表示为：μ_n = E[(X-μ)^n]通过这种定义，中心矩能够消除数据集的位置效应，使得我们能够更好地了解数据集的形态特征。
例如，对于一组对称分布的数据，其二阶中心矩可以确定数据的离散程度。
中心矩在实际应用中具有广泛的用途。
在图像处理和模式识别中，中心矩可以用来描述物体的形状和轮廓。
通过计算图像的中心矩，我们可以提取出物体的各种特征，并进行分类和识别。
在经济学和金融学领域，中心矩被广泛应用于风险管理和资产定价模型。
通过对数据分布进行建模并计算中心矩，我们可以评估风险并制定有效的投资策略。
除了用于描述分布特征，中心矩还可以用于推断统计学模型的参数。
在估计两个或多个分布之间的差异时，我们可以通过比较它们的中心矩来得出结论。
这对于数据分析和模型选择至关重要。
中心矩具有一些性质，这些性质在进行推断和分析时具有重要意义。
首先，中心矩具有尺度不变性，即数据集的缩放不会改变中心矩的值。
其次，对于对称分布，奇数阶中心矩为零，偶数阶中心矩能够描述分布的形状。
最后，中心矩可用于确定概率分布函数的矩生成函数，从而推断出分布的性质。
总结起来，中心矩是用于描述随机变量分布特征的重要工具。
它们能够提供数据的位置、形态和偏态信息，帮助我们理解和分析数据集。
通过计算中心矩，我们能够进行形状特征提取、风险评估和参数估计等应用。
在实际应用中，了解中心矩的概念和性质对于数据分析和模型推断至关重要。
离散型随机变量的K阶矩
３ ）泊松 分布 Ｅ（ ）＝ ， ）＝ ，由 （） Ｄ（ ３ 可知
Ｉ … 筹 “ Ｅ） ） ＿ ｄ ㈦ ．
４ ）负二项 分布 Ｅ（ ）：＿ ， ）： ，由 （） ｒ Ｄ（ ｑ ４ 可知
（ ｑ ） ｄ ）州 洲Ｅ
Ｖｏ ． Ｎｏ． １６ ４
ＮＯ ．２ ０ Ｖ Ｏ７
离散型随机变量 的 Ｋ阶矩
朱 成 莲
（ 阴师范 学院 数学系 ， 淮 江苏 淮安 ２３０ ） ２３０
摘 要 ：对 离散 型随机 变量 的 ｋ阶矩进 行 了研 究 ， 出 了几 类 离散 型 随机 变量 的 ｋ阶原 点矩 给 的统 一递 推公 式 ， 到 了离散 型 随机 变量 的 ｋ阶原 点矩 的形 式特征 ． 得
） ㈦一 ＝ ｑ ㈦＝ ， ）古 ）ｑ ） ＝ 一 ＝
所 以 当 ｎ ＝ １２３时命 题成立 ． ，， 假设 当 ， ｍ 时命题 成立 ， ｚ＝ 即
Ｅ（ ）： 盟— 堕
一
Ｐ
ＱＰ
（） １
定理２ 设 服从二项分布， Ｐ ＝ ）＝Ｃｐｑ ， 即 （ ：ｋ Ｐ∈（，）ｑ＝１ ， ０ １， 一Ｐ ｋ：０１２…， ，，， 则
Ｅ（ ）； Ｐ ｑ （ ）＋ｎ Ｅ（ ｐ ￣） （） ２
定 理 ３ 设 服从 泊松 分 布 ， Ｐ（ ＝ ）＝ Ａｅ ＞０ ｋ ＝０ １２ … ， 即 一， ， ，，， ห้องสมุดไป่ตู้
（ ）＝ — ）＋ （ ） Ｅ（
’
０＾
（） ３
定 理 ４ 设 服 从负 二项分 布 ， Ｐ（ ＝ ）＝ ｃ 即 ｒ＞０ 则 ，
（ ）： （ ）一 ｑ （ ） ．
ｐｑ ， Ｐ∈ （ ， ） ｑ＝ １ ｒ ０１， 一Ｐ， ｋ＝０ １２ … ， ，，，
样本k阶中心矩
样本k阶中心矩样本k阶中心矩（sample kth central moment）是一种统计量，它可以用来描述一组数据的分布特征。
它是指对一组数据进行平方、立方、四次方等操作后再求平均数，并将这些平均数依次称为样本的第二、三、四……阶中心矩。
公式表示为：μ_k = 1/n ∑(x_i - x)^k其中，μ_k 表示样本的第k阶中心矩，n 表示样本中数据的个数，x_i 表示样本中的第i个数据，x表示样本的平均数。
样本k阶中心矩可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况，并且与样本的均值（mean）、方差（variance）、偏度（skewness）和峰度（kurtosis）有关。
例如，样本的第二阶中心矩（μ_2）可以用来计算样本的方差，样本的第三阶中心矩（μ_3）可以用来计算样本的偏度，样本的第四阶中心矩（μ_4）可以用来计算样本的峰度。
例如，设样本的平均数为x，样本的方差为σ^2，则有：σ^2 = 1/n ∑(x_i - x)^2 = μ_2样本的偏度（skewness）可以用以下公式计算：η_3 = (μ_3 / σ^3) = (1/n ∑(x_i - x)^3) / σ^3样本的峰度（kurtosis）可以用以下公式计算：η_4 = (μ_4 / σ^4) - 3 = (1/n ∑(x_i - x)^4) / σ^4 - 3其中，η_3 表示样本的偏度，η_4 表示样本的峰度。
通常，当样本的偏度η_3大于0时，表示样本的分布呈正偏态分布；当样本的偏度η_3小于0时，表示样本的分布呈负偏态分布；当样本的偏度η_3等于0时，表示样本的分布呈正态分布。
当样本的峰度η_4大于3时，表示样本的分布呈高峰度分布；当样本的峰度η_4小于3时，表示样本的分布呈低峰度分布；当样本的峰度η_4等于3时，表示样本的分布呈正态分布。
总结一下，样本k阶中心矩是一种用来描述数据分布特征的统计量，它与样本的均值、方差、偏度和峰度有关，可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况。
原点矩与中心矩
第10讲 原点矩与中心矩 协方差与相关系数教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。
教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。
教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。
教学学时：2学时教学过程：第三章 随机变量的数字特征§3.3 原点矩与中心矩随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。
定义1 设X 是随机变量，若),2,1)(( =k X E k 存在，则称它为X 的k 阶原点矩，记作)(X v k ，即)()(k k X E X v =， ,2,1=k显然，一阶原点矩就是数学期望，即)()(1X E X v =。
定义2 设随机变量X 的函数),2,1()]([ =-k X E X k 的数学期望存在，则称})]({[k X E X E -为X 的k 阶中心矩，记作)(X k μ，即})]({[)(k k X E X E X -=μ， ,2,1=k易知，一阶中心矩恒等于零，即0)(1≡X μ；二阶中心矩就是方差，即)()(2X D X =μ。
不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：2122v v -=μ31213323v v v v +-=μ412121344364v v v v v v -+-=μ等。
定义3 设X 和Y 是随机变量，若),2,1,)(( =l k Y X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合矩。
若),2,1,}()]([)]({[ =--l k Y E Y X E X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合中心矩。
§3.4 协方差与相关系数1.协方差与相关系数的定义二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。
定义 3 设有二维随机变量),(Y X ，如果)]()][([Y E Y X E X E --存在，则称)]()][([Y E Y X E X E --为随机变量X 与Y 的协方差，记作),cov(Y X ，即=),cov(Y X )]()][([Y E Y X E X E -- 而)()(),cov(Y D X D Y X 称为随机变量X 与Y 的相关系数，记作),(Y X R ，即)()(),cov(),(Y D X D Y X Y X R =)()(),cov(Y X Y Xσσ=显然，协方差),cov(Y X 是X 和Y 的二阶混合中心矩。
3-3 原点矩和中心矩
– 13
i , j = 1,2,L, n 都存在, 则称矩阵 ⎛ c11 ⎜ ⎜ c 21 C =⎜ M ⎜ ⎜c ⎝ n1 c12 c 22 M cn2 L c1 n ⎞ ⎟ L c2n ⎟ M ⎟ ⎟ L c nn ⎟ ⎠
为 n 维随机变量的 协方差矩阵 .
例如 二维随机变量 ( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
c1n ⎞ ⎟ c2 n ⎟ ⎟. L ⎟ cnn ⎟ ⎠
三、小结
矩是随机 变量的数字特征.
随机变量 X 的 ⎧数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩 ; ⎪ ⎨方差 D( X ) 是 X 的二阶中心矩 ; ⎪协方差 Cov( X ,Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩 . ⎩
作业
⎛ c11 C =⎜ ⎝ c21 c12 ⎞ ⎟ c22 ⎠
其中 c11 = E {[ X 1 − E ( X 1 )]2 }, c12 = E {[ X 1 − E ( X 1 )][ X 2 − E ( X 2 )]}, c21 = E {[ X 2 − E ( X 2 )][ X 1 − E ( X 1 )]}, c22 = E {[ X 2 − E ( X 2 )]2 }.
2 ⎡( x1 − μ1 )2 1 ( x1 − μ1 )( x2 − μ2 ) ( x2 − μ2 ) ⎤ = − 2ρ + 2⎢ 2 2 ⎥. σ1σ2 σ2 1 − ρ ⎣ σ1 ⎦
于是 ( X 1 , X 2 ) 的概率密度可写成
f ( x1 , x 2 ) 1 ⎧ 1 ⎫ T −1 = exp⎨ − ( X − μ ) C ( X − μ )⎬. 22 12 ( 2π) (det C ) ⎩ 2 ⎭
由于 c ij = c ji ( i , j = 1,2,L , n ) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 .
k阶原点矩和k阶中心矩
k阶原点矩和k阶中心矩随着数字图像处理技术的使用越来越广泛，各种图像特征的提取也变得越来越重要。
其中，矩是一种常见的特征，常用于图像处理中的形状描述、边缘检测、目标跟踪等领域。
本文将介绍两种常用的矩：k阶原点矩和k阶中心矩。
k阶原点矩指的是对于一幅图像I(x,y)而言，对其像素值进行k次幂次方的累加和，即：Mk0 = ΣΣx^k y^0 I(x,y)其中，k阶原点矩表示的是图像的像素分布情况，也称为“零阶矩”。
这种矩能够提供有关图像亮度和对比度的信息，同时还能提供图像的整体大小和形状信息。
k阶中心矩是指对于一幅图像I(x,y)而言，对其像素值进行k次幂次方的累加和，同时将每个像素的坐标减去图像的中心点坐标，即：Mkpq = ΣΣ(x-xc)^p(y-yc)^q I(x,y)其中，xc、yc是图像的中心坐标，p+q=k，表示了图像的几何特征，如重心、惯性矩等。
一般而言，k阶中心矩提供的信息更加丰富，能够描述图像的细节特征。
对于一般图像而言，我们常常会先求出其一阶原点矩和二阶中心矩，来估计图像的重心坐标和形状。
一阶原点矩可以用来计算图像的总亮度，从而可以做灰度直方图均衡化等预处理；而二阶中心矩可以用来计算图像的旋转角度、长宽比等重要的形状信息。
需要注意的是，由于矩的定义中包含了像素的幂次方，所以其值通常会非常大，可能超过数据类型所能表示的范围。
因此，在计算矩的过程中可能需要进行数据类型转换，或者使用double等数据类型来存储结果。
总的来说，k阶原点矩和k阶中心矩是图像处理中常用的特征描述工具，能够提供图像的亮度、形状等重要信息。
对于需要进行图像处理操作的人员和学生而言，了解矩的相关知识是非常重要的，能够更好地理解和利用图像特征提取技术。
总体k阶中心矩
总体k阶中心矩总体k阶中心矩是统计学中常用的一种统计量，用于描述数据集的集中趋势和离散程度。
它是对数据集中各数据点与数据集中心的距离进行求和的一种方式。
在本文中，我们将详细介绍总体k阶中心矩的定义、计算方法以及其在数据分析中的应用。
我们来定义总体k阶中心矩。
对于一个包含n个观测值的总体，其k阶中心矩定义为：M_k = (1/n) * Σ(x_i - μ)^k其中，x_i 是第i个观测值，μ是总体的均值，k是阶数。
可以看出，总体k阶中心矩是每个观测值与总体均值的差的k次方的平均值。
接下来，我们来讨论总体k阶中心矩的计算方法。
为了计算总体k 阶中心矩，我们需要先计算总体的均值。
然后，我们将每个观测值与均值的差的k次方求和，并除以观测值的个数n，即可得到总体k 阶中心矩的值。
总体k阶中心矩在数据分析中有广泛的应用。
首先，它可以用来衡量数据集的集中趋势。
当k=2时，总体2阶中心矩就是方差，可以用来描述数据的离散程度。
当k=3时，总体3阶中心矩可以用来衡量数据的偏斜程度。
当k=4时，总体4阶中心矩可以用来衡量数据的峰度。
通过计算不同阶数的总体中心矩，我们可以综合地了解数据集的分布特征。
总体k阶中心矩还可以用于比较不同数据集之间的差异。
通过计算不同数据集的总体k阶中心矩，我们可以比较它们的集中趋势、离散程度、偏斜程度和峰度，从而判断它们的差异程度。
总体k阶中心矩还可以用于数据的规范化处理。
通过对数据进行中心化，即将每个观测值减去总体均值，然后再计算总体k阶中心矩，可以消除数据之间的尺度差异，使得不同数据集之间可以进行更为准确的比较和分析。
总的来说，总体k阶中心矩是一种重要的统计量，它可以用于描述数据集的集中趋势和离散程度，衡量数据的偏斜程度和峰度，比较不同数据集之间的差异，以及进行数据的规范化处理。
在实际数据分析中，我们可以根据具体的问题和需求，选择不同的阶数k来计算总体中心矩，从而得到更全面和准确的数据分析结果。
概率论 统计量
n
1 n X Xi n i 1
2
19
n 取不同值时样本均值 X 的分布
20
2 ( n 1) S n 取不同值时 的分布
2
21
推论. 设 X1 , X 2 则
X n 是总体 N ( , 2 ) 的一个样本，
X
~ N (0,1)
n
注: ▲ 推论的实质是把服从一般正态分布的随机变 量 X 化为标准正态分布的一个方法。它类似
X ~ t (n), 所以由 t 分布的定义，即：
2
其图形如下：
8
f (x)
面积 =
2 ( n) 2 对于不同的 与 n ， (n)有表可查（见教材
P193 的附表6）
0
x
9
2. t 分布 定义. 设 X～N ( 0, 1 ) , Y ～ ( n), 且 X 与 Y 相互 独立 ，则称随机变量：
2
Y n 为服从自由度为 n 的 t 分布. 记为t ～ t ( n )
6.32 样本均值 X ~ N ( 52, ) N ( 52, 1.052 ) 36
样本的容量为 36
(1.71) (1.14) 1 0.9564 0.8729 1 0.8293
30
例2. 已知 X ~ t (n) 求证：X 2 ~ F (1, n)
证明:
25
则有：
X Y ( 1 2 ) 1 1 sW n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 其中： sW n1 n2 2
0 证明: 1
X ~ N ( 1 ,
总体K阶中心距
总体K阶中心距
总体K阶中心距是统计学中常用的一种描述数据分布形态的方法。
它
可以帮助我们了解数据分布的偏态程度、峰度以及分布的形状等重要
特征。
在实际应用中，总体K阶中心距也被广泛应用于各种领域，如
金融风险评估、市场调查和医学研究等。
总体K阶中心距是指对于一个概率分布函数F(x)，它的K阶中心距可
以通过下式计算得出：
μk=E[(X-μ)k]
其中，E表示期望值，X表示随机变量，μ表示该随机变量的均值。
这个公式描述了随机变量与其均值之间的关系，并且可以用来计算数据
集的偏离程度。
当K=1时，μ1=0，因为随机变量与其均值之间没有偏离。
当K=2时，μ2描述了数据集的方差。
当K=3时，μ3描述了数据集的偏态程度。
当K=4时，μ4描述了数据集的峰度。
对于一个正态分布来说，它的偏态系数和峰度系数都为0。
如果一个数据集具有正偏或负偏，则它会有一个非零的偏态系数。
如果一个数据
集具有比正态分布更陡峭的峰，则它会有一个大于0的峰度系数。
总体K阶中心距可以用来描述任何类型的概率分布函数，包括正态分布、均匀分布和指数分布等。
在实际应用中，我们可以使用样本K阶中心距来估计总体K阶中心距。
通过对样本数据进行统计分析，我们可以了解到数据集的偏态程度、峰度以及分布形状等特征。
总之，总体K阶中心距是一种重要的统计学方法，它可以帮助我们了解数据集的偏离程度、偏态程度和峰度等特征。
在实际应用中，我们可以使用它来评估金融风险、市场调查和医学研究等领域。
参数的矩估计值计算器
参数的矩估计值计算器
多功能矩阵计算器是一个方便实用的矩阵计算软件，无需安装，下载可直接使用。
多功能矩阵计算器功能列表：
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3.可直接从Excel表中复制数据，减少手动输入数据的麻烦
4.可导出计算结果为txt文件，文件内容可直接复制到Excel表格中总体k阶原点矩：
总体k阶中心距：
样本k阶原点矩：
样本k阶中心距：
观察可以发现总体一阶原点矩就是总体的期望E（X），也就是μ。
样本一阶原点矩即为样本均值。
另外，不论总体还是样本，中心距中的k都是从2开始的，因为当k等于1时，中心距的值为0.除此之外，不论总体还是样本，二阶中心距为总体方差或样本方差。
矩估计法是参数估计中点估计的两种方法之一，另外一种参数的点估计是极大似然估计。
矩估计就是用样本的矩去估计总体的矩，即用样本一阶原点矩去估计总体的一阶原点矩，用样本的二阶原点矩去估计总体的二阶原点矩。
必须要注意的是，用来进行矩估计的是原点矩不是中心距。
44 原点矩和中心矩
则方程x2+ x+1=0有实根的概率是 。
4．设随机事件A，B互不相容，且已知P(A)=p1,
P(B)=p2， 0<p1+p2<1，则 P( AB )
。
5. 若随机变量~N(5，4)，且P{ <a}=0.9，则a=
(已知（1.28）=0.8997)。
6. 已知随机变量X的概率密度 函数为
(1)E(1)E()E()14 (2)D(1)D() D()(1)2D()2Co(v,) Co(v,) D() D() 6
691213
(3) E(2)D()E()216 117
E(2)1,3E( )Co (,v)E()E()4 E()2E(2)2E( )E(2)22
求 P (1 .23 )P ,(4 )P ,(||2 ).
( 已 ( 0 . 1 ) 知 0 . 5, 3 ( 1 ) 0 9 . 8, 8 4 ( 1 . 5 ) 1 0 . 9 3 , 3 ( 0 . 5 ) 3 0 . 6 2 ) 9
5. 某仪器装有四只独立工作的同型号电气元件，其寿
0
x0
且E =3/5。
F(x)
a
x 1
1b 2
x2
0 x1 x 1
求（1）系数a，b；（2）随机变量的密度函数；
（3）E 2，D 。
9．设随机变量( ，)的联合概率密度为
f(x,y) 1, 0,
yx, 0x1, 其.它
试求：E ，E ，Cov(，)。
t3dt0
二、综和举例
例一设随机变(量 ,) ~(1,2,12,22, ),其中
1
1,
2
2,12
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二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。
方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。
(The moment of inertia.)
三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。
在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。
A1,一阶矩就是E(X),即样本均值。
具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）
A2,二阶矩就是E(X^2)即样本平方均值,具体说来就是A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2)
Ak,K阶矩就是E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3)
用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。
用已知样本的X的一阶矩和二阶矩来估计分布律，分布函数，概率函数或者数字特征中的某个未知参数a的值，此即矩估计法。
大概步骤如下
1 根据分布律或者分布函数，概率函数，计算EX或者EX2,其中含有未知参数a
2 令样本的一阶矩A1等于EX（二阶矩A2等于EX^2)
3 由2得到
a的表达式子，此式子中含有A1(A2,...),而A1,A2表达式如上(1),(2)，（3）所示.
该含有A1,A2,..Ak的表达式称为估计量，如果把样本具体值带入，即可得a的估计值。