12.1.1曲线和方程(1)
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PQ QP
则称：方程 F ( x, y ) 0为曲线C的方程; QP 曲线C是方程 F ( x, y ) 0 的曲线. 方程的解与曲线上的点是一一对应的;
辨析： 设曲线C 上的点的集合为 P M | M在曲线C上； 设方程 F x, y 0的解集为Q x, y | F x, y 0 集合 P 与Q 之间存在怎样的关系?
(1)求证： 曲线 C 既关于 x 轴,又关于 y 轴对称；
12.1 曲线与方程
教学小结：
（1）体会曲线与方程关系；
（2）曲线的方程、方程的曲线的定义；
（3）解析几何研究问题的一般方法（思想）
用代数方法，研究几何图形的性质；
12.1 曲线与方程
华罗庚论数形结合：
数与形，本是相倚依； 焉能分作两边飞， 数缺形时少直觉， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事非， 切莫忘， 几何代数统一体， 永远联系，切莫分离。
不是. 不符合曲线与方程的定义中的条件① 解： 例如：点 N (1, 1) 到x轴的距离是1，到y轴的距离也是1，所以 点 N 在轨迹C上，但点 N 的坐标 (1, 1)不是方程 x y 0 的解.
【典型例题】
例2. 求证: 坐标平面上到点A(1,0)距离等于1的 点的轨迹方程是：( x 1)2 y 2 1
第十二章 圆锥曲线
11.4 点到直线的距离
12.1 曲线和方程（1）
1. 直线与直线方程； 2. 曲线与曲线方程；
12.1 曲线与方程
复习引入：
怎样的方程表示直线？ 一般地, 形如 ax by c 0 (a,b不全为零)的二元一次方程 表示直线.
直线l与方程ax+by+c=0的关系：
【典型例题】
例 3.判断下列点是否在方程 x y 4 的曲线 C 上，并说
2 2
（2） B
明理由.
（1） A 1, 3 ；
2, 3 ；
（3） C 2 sin ,2 cos
【典型例题】
例 4.已知曲线 C 的方程为 x y 2 (2)求曲线 C 围成的图形的面积.
①直线上的点的坐标都是方程的解. ②以方程的解为坐标的点都是直线上的点. 当且仅当两者同时成立时, 才可以用方程来表示直线.
12.1 曲线与方程
引例.如何用代数方法表示一个圆心在原点， 半径为 1 的单位圆 C 呢？
几何图形：单位圆，如右图： 代数方程： x 2 y 2 1
即：
y
O
x
x y 1
【典型例题】
例1. (1)已知点A(1,0), B(0,1), 线段AB的方程 是不是 x y 1 0 ？为什么？
解：不是. 不符合曲线与方程的定义中的条件② x 1 例如： 是方程 x y 1 0 的解，但点 M (1,2) 不在线段AB上 y 2
(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不是 x y 0 ？为什么？
2 2
几何与代数 1．圆 C 上的所有点的坐标（x,y）都 的关系： 满足方程 x2+y2=1; 2．以方程 x2+y2=1 的解为坐标的点
（x,y）都在圆 C 上。
12.1 曲线与方程
定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方程 之间满足: F ( x, y ) 0 ①曲线C上的点的坐标都是方程的解; ②以方程的解为坐标的点都在曲线C上;
证明: 设M(x,y)是轨迹上任意一点, 由题意: ( x 1) 2 y 2 1 , 平方得: ( x 1) 2 y 2 1 ① 轨迹上的点的坐标都是方程的解; 反之, 设Q(x1,y1)满足方程, 即: ( x1 1)2 y12 1 开平方得: ( x1 1) 2 y12 1 , 即Q(x1,y1)到A(1,0)的距离为1. ② 以方程的解为坐标的点都在轨迹上; 综上所述, 点的轨迹方程是: ( x 1) 2 y 2 1.
PQ QP
则称：方程 F ( x, y ) 0为曲线C的方程; QP 曲线C是方程 F ( x, y ) 0 的曲线. 方程的解与曲线上的点是一一对应的;
辨析： 设曲线C 上的点的集合为 P M | M在曲线C上； 设方程 F x, y 0的解集为Q x, y | F x, y 0 集合 P 与Q 之间存在怎样的关系?
(1)求证： 曲线 C 既关于 x 轴,又关于 y 轴对称；
12.1 曲线与方程
教学小结：
（1）体会曲线与方程关系；
（2）曲线的方程、方程的曲线的定义；
（3）解析几何研究问题的一般方法（思想）
用代数方法，研究几何图形的性质；
12.1 曲线与方程
华罗庚论数形结合：
数与形，本是相倚依； 焉能分作两边飞， 数缺形时少直觉， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事非， 切莫忘， 几何代数统一体， 永远联系，切莫分离。
不是. 不符合曲线与方程的定义中的条件① 解： 例如：点 N (1, 1) 到x轴的距离是1，到y轴的距离也是1，所以 点 N 在轨迹C上，但点 N 的坐标 (1, 1)不是方程 x y 0 的解.
【典型例题】
例2. 求证: 坐标平面上到点A(1,0)距离等于1的 点的轨迹方程是：( x 1)2 y 2 1
第十二章 圆锥曲线
11.4 点到直线的距离
12.1 曲线和方程（1）
1. 直线与直线方程； 2. 曲线与曲线方程；
12.1 曲线与方程
复习引入：
怎样的方程表示直线？ 一般地, 形如 ax by c 0 (a,b不全为零)的二元一次方程 表示直线.
直线l与方程ax+by+c=0的关系：
【典型例题】
例 3.判断下列点是否在方程 x y 4 的曲线 C 上，并说
2 2
（2） B
明理由.
（1） A 1, 3 ；
2, 3 ；
（3） C 2 sin ,2 cos
【典型例题】
例 4.已知曲线 C 的方程为 x y 2 (2)求曲线 C 围成的图形的面积.
①直线上的点的坐标都是方程的解. ②以方程的解为坐标的点都是直线上的点. 当且仅当两者同时成立时, 才可以用方程来表示直线.
12.1 曲线与方程
引例.如何用代数方法表示一个圆心在原点， 半径为 1 的单位圆 C 呢？
几何图形：单位圆，如右图： 代数方程： x 2 y 2 1
即：
y
O
x
x y 1
【典型例题】
例1. (1)已知点A(1,0), B(0,1), 线段AB的方程 是不是 x y 1 0 ？为什么？
解：不是. 不符合曲线与方程的定义中的条件② x 1 例如： 是方程 x y 1 0 的解，但点 M (1,2) 不在线段AB上 y 2
(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不是 x y 0 ？为什么？
2 2
几何与代数 1．圆 C 上的所有点的坐标（x,y）都 的关系： 满足方程 x2+y2=1; 2．以方程 x2+y2=1 的解为坐标的点
（x,y）都在圆 C 上。
12.1 曲线与方程
定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方程 之间满足: F ( x, y ) 0 ①曲线C上的点的坐标都是方程的解; ②以方程的解为坐标的点都在曲线C上;
证明: 设M(x,y)是轨迹上任意一点, 由题意: ( x 1) 2 y 2 1 , 平方得: ( x 1) 2 y 2 1 ① 轨迹上的点的坐标都是方程的解; 反之, 设Q(x1,y1)满足方程, 即: ( x1 1)2 y12 1 开平方得: ( x1 1) 2 y12 1 , 即Q(x1,y1)到A(1,0)的距离为1. ② 以方程的解为坐标的点都在轨迹上; 综上所述, 点的轨迹方程是: ( x 1) 2 y 2 1.