浅谈金融投资收益与风险的数学模型
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从常识出发，我们可以粗略地认为，拥有绝对收益和极小化风 险的金融资产是不存在的，所以个体投资者必须采用复合资产配置 的方法努力实现自身的收益最大化。类似于“不把鸡蛋放到同一个
篮子里”，有经验的投资人会把资金同时投入到多个具有不同风险 和收益特征的金融资产中以构成多样化的投资组合。已有的研究已 经证明，复合投资组合相对于单一金融资产配置具有更好的效果， 证券投资组合模型具有更好的适应性和解决问题的能力，因此在实 际金融市场中使用证券投资组合模型比较明智，所以，我们基于金 融资产配置多样化的考虑来构建我们的模型。
的，更不存在风险暴露。模型建立的整体目标为实现净收益的最大
化和总体风险的最小化。基于以上问题，我们进行下面的过程。
(三)模型假设
类似于经典的Markowitz投资组合模型，我们可以针对现有的
模型提出如下几点辅助假设：
其一，不考虑金融资产配置过程中存在的双向市场摩擦(手续
费，管理费等)，只考虑单向市场摩擦
其二，投资组合的收益率是一个随机变量，我们假设用其具有
的数学期望收益作为收益因子的衡量，用标准差作为风险因子的衡
量
其三，投资组合中有多种具有不同风险因子的金融资产，我们
用最大的一个风险因子度量整个投资组合所具有的风险。
(四) Markowitz投资组合模型
为了更好的进行分析，首先引述经典的Markowitz投资组合模
(二) 问题提出 带入具体参数对问题进行定义。首先，我们假定整体金融市场
中一共有 n 种金融资产，记为 Si ，针对金融资产 Si 分配的投资权
重为 xi ，购买资产 Si 的平均收益率为 ri ，风险暴露因子(风险损失
率)为 qi ，交易手续费率为 pi ，最高上限为 ui 。我们再假设银行
的存款利率为 ri = 5% ，当然，我们假定银行是不存在交易费用
型。这一模型是金融数学领域中最经典的Biblioteka Baidu产配置模型之一。
首先，对模型进行定义。定义市场中存在两种金融资产：风险
型和无风险型。对于一定的资产总额进行大类资产配置，要求投资
人合理分配两种金融资产的比率，在面临尽可能小的风险暴露的情
况下努力实现最大的预期收益率。
这一模型的公式列示如下
∑ ∑ min δ 2 (rp )=
一、概念背景
首先，从概念背景出发。在当下的市场经济体制下，金融资 产的定义中自发携带了收益性和风险性两类双重属性。简而言之， 当个体针对某个固定资产总额，采用投资金融产品的方式进行投资 时，有一定的几率获得可观收益，亦有一定几率面临损失风险。根 据现代投资学的理论框架，收益性一般通过收益率进行衡量，而风 险性这一难以通过直接的变量进行衡量的参数，采用实际收益率的 波动进行定义研究[3]。所以，现有的针对金融投资收益与风险的数 学模型主要是一个基于收益率和收益波动的复杂数学模型。
金融数学领域具有一系列复杂而又精妙的研究，包括但不限于 主动投资组合管理，期权定价，二级市场交易策略与套利等等，各 自具有复杂的数学背景和研究范式。其中，金融投资收益与风险的 数学模型作为最重要的核心模型之一，得到了广泛关注。如何采用 量化的手段建立一个稳健的投资组合，是每一代投资者和研究人员 的共同心愿。本文着重针对这一问题，采用复合的研究方法，分析 介绍金融投资收益与风险的数学模型。
关键词:金融数学；投资风险；数学模型 DOI:10.14097/j.cnki.5392/2019.01.049
金融行业是一门具有重要意义的学科，自人类自发的开展经济 活动以来，就在整个人类社会中扮演着极为重要的角色。随着时代 的发展，金融服务的广度和深度都有着显著提升，在这一过程中， 为了实现更快、更准确、更稳健的投资活动，各类复杂而又不失精 妙的数学模型应运而生，发挥着重要作用，诸多具有优秀数学水平 的人才也纷纷进入金融市场参与资本运营，金融数学这一分支得到 了长足发展。
wiwj cov(ri , rj )
(1)
∑ E(rp ) = wiri
对其中的变量展开解释，组合收益为 rp ，第 i 和 j 种资产的收
MODERN BUSINESS 现代商业 99
Financial View | 金融视线
益分别为 ri 和 rj ， wi 和 wj 分别代表第 i 和第 j 种资产的权重，
金融视线 | Financial View
浅谈金融投资收益与风险的数学模型
傅浩哲 东营市第一中学 山东东营 257091
摘要:我国的国民经济在过去的很长一段时间内处于稳健增长的状态，这一过程离不开当今蓬勃的金融行 业。随着时代的发展，金融行业已经成为了一门结合数学、计算机、经济学的多重学科。本文基于这一理论基 础，选取金融投资收益与风险这一经典话题，从数学的角度对其所蕴含的数学模型展开分析，经历问题重述、模 型假设等过程，引述了经典的Markowitz投资组合模型以拓展后续的复杂模型，推导了一系列表达式。研究结果表 明，投资者在进行投资组合配置时，必须把资金分散到多种具有不同收益和风险的金融资产上。研究金融投资收 益与风险的数学模型对于制定合理的投资方案具有重要意义。
δ 2 (rp ) 为整个投资组合所具有的组合风险， cov(ri , rj ) 为协方
差。 求解Markowitz投资组合模型具有多种方法，学界针对这一种
回溯到金融市场上的投资者行为，我们不难发现，一般的投资 者将获得更高的投资收益率看作是投资活动的主要目标，同时，他 们也采取各种方式努力规避投资活动中具有的风险。从常识出发， 我们不难得知，对于任意的大类金融资产而言，风险和收益是无法 分开的，只有相对强弱之分。所以，寻找一个数学模型将两者统合 起来，实现一个收益期望的最优化是一个相对于直接规避风险，显 而易见更加实际的模型。接下来的部分将以此为主要假设展开。
二、模型建立 (一) 模型概述
根据上述的基础分析过程，我们不难得出，我们可以将金融资 产配置过程归纳为三个要素的共同作用，即金融资产的预期收益水 平(收益期望)，金融资产的风险参数(预期收益波动率)和投资者为了 承担这一金融资产所具有的风险而享受的补偿水平(补偿函数)。三 者的共同作用构成了金融投资收益与风险的整体数学模型[4]。
篮子里”，有经验的投资人会把资金同时投入到多个具有不同风险 和收益特征的金融资产中以构成多样化的投资组合。已有的研究已 经证明，复合投资组合相对于单一金融资产配置具有更好的效果， 证券投资组合模型具有更好的适应性和解决问题的能力，因此在实 际金融市场中使用证券投资组合模型比较明智，所以，我们基于金 融资产配置多样化的考虑来构建我们的模型。
的，更不存在风险暴露。模型建立的整体目标为实现净收益的最大
化和总体风险的最小化。基于以上问题，我们进行下面的过程。
(三)模型假设
类似于经典的Markowitz投资组合模型，我们可以针对现有的
模型提出如下几点辅助假设：
其一，不考虑金融资产配置过程中存在的双向市场摩擦(手续
费，管理费等)，只考虑单向市场摩擦
其二，投资组合的收益率是一个随机变量，我们假设用其具有
的数学期望收益作为收益因子的衡量，用标准差作为风险因子的衡
量
其三，投资组合中有多种具有不同风险因子的金融资产，我们
用最大的一个风险因子度量整个投资组合所具有的风险。
(四) Markowitz投资组合模型
为了更好的进行分析，首先引述经典的Markowitz投资组合模
(二) 问题提出 带入具体参数对问题进行定义。首先，我们假定整体金融市场
中一共有 n 种金融资产，记为 Si ，针对金融资产 Si 分配的投资权
重为 xi ，购买资产 Si 的平均收益率为 ri ，风险暴露因子(风险损失
率)为 qi ，交易手续费率为 pi ，最高上限为 ui 。我们再假设银行
的存款利率为 ri = 5% ，当然，我们假定银行是不存在交易费用
型。这一模型是金融数学领域中最经典的Biblioteka Baidu产配置模型之一。
首先，对模型进行定义。定义市场中存在两种金融资产：风险
型和无风险型。对于一定的资产总额进行大类资产配置，要求投资
人合理分配两种金融资产的比率，在面临尽可能小的风险暴露的情
况下努力实现最大的预期收益率。
这一模型的公式列示如下
∑ ∑ min δ 2 (rp )=
一、概念背景
首先，从概念背景出发。在当下的市场经济体制下，金融资 产的定义中自发携带了收益性和风险性两类双重属性。简而言之， 当个体针对某个固定资产总额，采用投资金融产品的方式进行投资 时，有一定的几率获得可观收益，亦有一定几率面临损失风险。根 据现代投资学的理论框架，收益性一般通过收益率进行衡量，而风 险性这一难以通过直接的变量进行衡量的参数，采用实际收益率的 波动进行定义研究[3]。所以，现有的针对金融投资收益与风险的数 学模型主要是一个基于收益率和收益波动的复杂数学模型。
金融数学领域具有一系列复杂而又精妙的研究，包括但不限于 主动投资组合管理，期权定价，二级市场交易策略与套利等等，各 自具有复杂的数学背景和研究范式。其中，金融投资收益与风险的 数学模型作为最重要的核心模型之一，得到了广泛关注。如何采用 量化的手段建立一个稳健的投资组合，是每一代投资者和研究人员 的共同心愿。本文着重针对这一问题，采用复合的研究方法，分析 介绍金融投资收益与风险的数学模型。
关键词:金融数学；投资风险；数学模型 DOI:10.14097/j.cnki.5392/2019.01.049
金融行业是一门具有重要意义的学科，自人类自发的开展经济 活动以来，就在整个人类社会中扮演着极为重要的角色。随着时代 的发展，金融服务的广度和深度都有着显著提升，在这一过程中， 为了实现更快、更准确、更稳健的投资活动，各类复杂而又不失精 妙的数学模型应运而生，发挥着重要作用，诸多具有优秀数学水平 的人才也纷纷进入金融市场参与资本运营，金融数学这一分支得到 了长足发展。
wiwj cov(ri , rj )
(1)
∑ E(rp ) = wiri
对其中的变量展开解释，组合收益为 rp ，第 i 和 j 种资产的收
MODERN BUSINESS 现代商业 99
Financial View | 金融视线
益分别为 ri 和 rj ， wi 和 wj 分别代表第 i 和第 j 种资产的权重，
金融视线 | Financial View
浅谈金融投资收益与风险的数学模型
傅浩哲 东营市第一中学 山东东营 257091
摘要:我国的国民经济在过去的很长一段时间内处于稳健增长的状态，这一过程离不开当今蓬勃的金融行 业。随着时代的发展，金融行业已经成为了一门结合数学、计算机、经济学的多重学科。本文基于这一理论基 础，选取金融投资收益与风险这一经典话题，从数学的角度对其所蕴含的数学模型展开分析，经历问题重述、模 型假设等过程，引述了经典的Markowitz投资组合模型以拓展后续的复杂模型，推导了一系列表达式。研究结果表 明，投资者在进行投资组合配置时，必须把资金分散到多种具有不同收益和风险的金融资产上。研究金融投资收 益与风险的数学模型对于制定合理的投资方案具有重要意义。
δ 2 (rp ) 为整个投资组合所具有的组合风险， cov(ri , rj ) 为协方
差。 求解Markowitz投资组合模型具有多种方法，学界针对这一种
回溯到金融市场上的投资者行为，我们不难发现，一般的投资 者将获得更高的投资收益率看作是投资活动的主要目标，同时，他 们也采取各种方式努力规避投资活动中具有的风险。从常识出发， 我们不难得知，对于任意的大类金融资产而言，风险和收益是无法 分开的，只有相对强弱之分。所以，寻找一个数学模型将两者统合 起来，实现一个收益期望的最优化是一个相对于直接规避风险，显 而易见更加实际的模型。接下来的部分将以此为主要假设展开。
二、模型建立 (一) 模型概述
根据上述的基础分析过程，我们不难得出，我们可以将金融资 产配置过程归纳为三个要素的共同作用，即金融资产的预期收益水 平(收益期望)，金融资产的风险参数(预期收益波动率)和投资者为了 承担这一金融资产所具有的风险而享受的补偿水平(补偿函数)。三 者的共同作用构成了金融投资收益与风险的整体数学模型[4]。