最新高一数学《必修一》《必修二》培优班讲义

高一数学《必修一》《必修二》培优班讲义
专题一、三个二次（一元二次方程、二次函数、一元二次不等式）一元二次不等式及其解法
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42
-=∆，则
不等式的解的各种情况如下表：判别式
ac
b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数
c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
c
bx ax y ++=2c
bx ax y ++=2c
bx ax y ++=2一元二次方程
()的根
00
2>=++a c bx ax 有两相异实根)
(,2121x x x x <有两相等实根
a
b
x x 221-
==无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax {}
2
1
x x x x x ><或两根之外
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R
的解集
)0(02><++a c bx ax {}
21
x x x
x <<两个之间
∅
∅
1、解下列关于x 的不等式
（1）062
>--x x ；
（2）01442
>+-x x ；
（3）0
322
>++-x x （4）0
942
>+-x x （5）10
732
≤-x x （6）0
322
>-+-x x 2、求函数)23(log 2)(23x x x x f -++-=
的定义域.
3、若0＜a ＜1，则不等式()1
)0(x a x a
--
＜的解是______.
4、已知不等式220ax bx ++>的解集为11 23x x ⎧⎫
-
<<⎨⎩
⎭
，则a b +的值为______.5、方程2
(21)0mx m x m +++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______.
6、不等式2
0x mx n ++≤的解集是{}|23x x -≤≤，则m =
__，n =
__.
7、函数的定义域为22--=
x x x f )(______________
8、对于任意实数x ，一元二次不等式()()2
()21140m x m x m -+++-＞恒成立，则实数m 的取值范围是____
__
9、函数()f x =的定义域为R ，则a 的取值范围是_________
10、若不等式组2
2230
4(1)0
x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是
11、已知一元二次不等式()0f x ≤的解集为132x x x ⎧⎫
≤
≥⎨⎬⎩
⎭
或，则()0x f e >的解集为12、关于x 的一元二次不等式2
5005x x a ->-的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 等于
13、解关于x 的不等式223
()0
x a a x a -++>14、已知关于x 的不等式2
0x bx a c ++<的解集是122x x x ⎧⎫
<->-⎨⎩
⎭
或，求关于x 的不等式
20x bx a c +>-的解集.
15、若不等式22
34
133
kx kx x x -+>-+的解集为R ，求k 的取值范围.16、已知不等式2
0ax bx c ++>的解集为{}
,x x αβ<<其中0βα>>，求不等式
20cx bx a ++<的解集.
17、要使满足关于x 的不等式2
290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值，至少满足不等式
2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，求实数a 的取值范围.
18、已知不等式2
12x px x p ++>+.
（1）如果不等式当2p ≤时恒成立，求x 的取值范围；（2）如果不等式当24x ≤≤时恒成立，求p 的取值范围。

19．已知下列三个方程：2222
44301()0220x ax a x a x a x ax a ＋－＋＝，＋－＋＝，＋－＝，至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．
20、某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x （百台），其总成本为g （x ）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入
()r x 满足20.5710.5(07)
()13.5 (7)
x x x r x x ⎧-+-≤≤=⎨
>⎩，假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（1）要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
专题二、集合
1、（2016年高考新课标I 卷文）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （
）
A .
{}1,3 B.{}
3,5C .
{}
5,7D .{}
1,72、（2016年高考新课标I 卷理）设集合2
{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （
）A .3
(3,)
2
--B .3(3,)
2
-C .3(1,)
2
D .3(,3)
2
3、（2016年高考新课标Ⅱ卷文）已知集合{1,2,3},A =2{|9}B x x =<，则A B = （）
A.{210123}
--，，，，， B.{21012}
--，，，， C.{123}
，， D.{12}
，4、（2016年高考新课标Ⅱ卷理5）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =
（）A.{}
1 B.{12}
， C.{}0123，
，， D.{10123}-，，
，，5、（2016年高考新课标Ⅲ卷文）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（
）
A.{4,8}
B .{0,2,6}
C .{0,2,6,10}
D .{0,2,4,6,8,10}
6、
（2016年高考新课标Ⅲ卷理）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则S T=⋂（）
A.[2]
3， B.]3,[2⋃-∞+∞（，）
C.[3,+∞）
D.][23,+⋃∞（0，）
7、
（2016年高考山东卷文）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5A B =U=，()U C A B ⋃=A.
{}
2,6 B.
{}
3,6 C.
{}
1,3,4,5 D.
{}
1,2,4,68、
（2016年高考山东卷理）设集合2
{2,},{|10}x
A y y x R
B x x ==∈=-<则A B ⋃=A.(1,1)
- B.(0,1)
C.(1,)
-+∞ D.(0,)
+∞9、
（2016年高考浙江卷文）已知全集1234{56}U =，，，，，，集合13512{{4}}P Q ==，，，，，，则()U C P Q ⋃=（
）A.
{}
1 B.{3}
5， C.1246{}
，，， D.1234{}
5，，，，10、
（2016年高考浙江卷理）已知集合{}
{
}
2
13,4,
P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则
()P Q ⋃=
R ð （）A ．[]
2,3B ．(]
2,3 -C ．[)
1,2D ．(,2][1,)
-∞-⋃+∞
11、（2016年高考天津卷文）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =
A.}
3,1{ B.}
2,1{ C.}
3,2{ D.}
3,2,1{12、（2016年高考天津卷理）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（
）
A.{1}
B.{4}
C.{1,3}
D.{1,4}
13、（2016年高考四川卷文理）设集合{}
15A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A Z ⋂中元素的个数是（）
A.6
B .5
C .4
D .3
14、已知集合{|},B {|34}A x x a x x =<=<<且A R C B R ⋃=，则实数a 的取值范围（
）
A.3a ≤
B.3a <
C.4a ≥
D.4
a >15、当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合
{}
21110,0,,,122M x ax a N ⎧⎫
=-=>=-⎨⎬⎩⎭
，若M N 与“相交”
，则a =（）
A .4
B .3
C .2 D.
1
16、设集合{
}{}
2
2
=230,210,0A x x x B x x ax a +->=--≤>，若A B ⋂中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是
17、对正整数元素a ，正数集合M ，若a M ∈，当1,1a M a M -∉+∉时，称a 为集合M 的“独立元素”.则集合{}1,3,4,6,7A =的“独立元素”是，集合{}1,2,3,4,5,6B =不含“独
立元素”的非空子集有
个.
18、若1,1x A A x ∈∈-且
,则称集合A 为“和谐集”.已知集合1122,1,,0,1,,,2,3,223M ⎧⎫
=---⎨⎬⎩⎭
，
则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为
19、若存在一个集合M ，M 同时满足如下的两个条件：（1）{}1,2,3,4,5M ⊆；（2）,6a M a M ∈-∈且则非空集合M 的个数为
20.已知集合2
625,12,
,31A a a A a ⎧⎫
=+-∈⎨⎬-⎩
⎭
且，求实数a 的值．21.已知集合(){}
(){}2
2,1,,,2,,
A x y x
y x R B x y y x b x R =+=∈==+∈A B ⋂≠∅,求b 的
取值范围.
（变式）已知集合(){}
(){}2
2,1,,,,A x y x
y x R B x y y kx b x R =
+=∈==+∈，对任意的
,k R A B ∈⋂≠∅,求b 的取值范围.
22．已知集合{|}{4}122|3A x x B x x x ≤<≥＝－，＝－－．
（1）求A B ⋂；
（2）若集合0{}2|C x x a >＝＋，满足B C C ⋃＝，求实数a 的取值范围．
23.设全集1
U {,5,3}3
=--,集合2A {|350}x x px =+-=与集合2
B {|3100}x x x q =++=，且
1
A B {}3
⋂=-，求C ,U U A C B
24.已知集合{}{
}2
,,2,,,A a a b a b B a ac ac
=++=，若A B =，求实数c 的值.
25．已知集合2
A {|40}x x =-=,集合
B {|20}x ax =-=且B A ⊆求实数a 的可能取值.
26．已知集合{}
{}
=14,23A x x x B x a x a <->=≤≤+⊆或，若B A ,求实数a 的取值范围.
27.设集合{}{}
(3)()0,,(4)(1)0,A x x x a a R B x x x A B A B =--=∈=--=⋃⋂求，.
28.已知集合{}
{}
12,1,A x ax B x x =<<=<满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.
29.若集合{}
322P x x =<≤,非空集合{}
2135Q x a x a =+≤<-，求能使()Q P Q ⊆⋂成立的所有实数a 的取值范围.
30.设{
}{
}
2
22
40,,2(1)10,,.A x x x x R B x x a x a a R x R =+=∈=+++-=∈∈（1）若A B B ⋂=,求实数a 的取值范围.（2）若A B B ⋃=,求实数a 的值.
专题三、函数的基本概念
1、函数的定义、函数相等
1、函数(x)y f =的图像与直线2x =的公共点有（）
A.0个
B.1个
C.0个或1个
D.不能确定
2、（2016.浙江高考）函数{}{}:1,21,2f →满足(())()f f x f x =，则这样的函数个数有（）
A .1个
B .2个
C .3个
D.4个
变式：函数{}{}:1,2,31,2,3,4f →满足(())()f f x f x =则这样的函数共有
个.
3、已知函数[]2,0,6y x =∈，将函数图象绕原点逆时针旋转θ角，要使得图像在旋
转过程中为函数图象，则角θ正切值的最大值为多少？
4、已知{}4,25B =，则能构成以B 为值域且对应法则为2
()f x x =的函数关系有（
）个
A .4
B .8
C .9 D.10
变式：已知函数()2
(1)f x ln x ＝＋的值域为{}0,1,2，则满足这样条件的函数的个数为()
A ．8
B ．9
C ．26
D ．27
5、在下列各族函数中，找出是同一函数的一组
（1）0
1y x y ==与（2）2
y y ==
与
（3）1x y y x =
=与变式：下列函数中，与是同一函数的是（
）
（1）y =（2）log x a y a =；（3）log a x y a =；（4）y =；（5）N )y *=∈.A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（3）
（5）2、映射的定义
1、若:f A B →构成映射，下列说法中正确的有（）
①A 中任一元素在B 中必须有象且唯一；②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象；③B 中的元素可以在A 中无原象；④象的集合就是集合B A.①②
B.③④
C.①③
D.②③④
变式1.在对应法则f 下，给出下列从集合A 到集合B 的对应.（1）1
,,:A N B R f x y x
==→=
（2）,,:(1)
x
A N
B Z f x y ==→=-（3）{}{}
,A x x B y y ==是平面内的三角形是平面内的圆，y 是x 的外接圆
（4）设集合{}{}
A x x
B y y ==是平面内的圆，是平面内的矩形，:f x y →是x 的内接矩形其中能够成映射的是
2、集合{}{},,1,0,1A a b B ==-，从A 到B 的映射A B f →满足
()
0(b)
f a f =，那么这样的映射A B f →的
个数有（）
A ．2个
B ．3个
C ．5个
D ．8个
3、已知映射:,A B R,f A B →==对应法则2
:2f x y x x →=-+对于实数k B ∈B 在A 中没有原
象，则k 的取值范围是（）
A ．1
k >B ．1
k ≥C ．1
k <D ．2
k ≤4、建立{},,A a b c =到{}1,0,1,2B =-的映射:A B f →，满足()(b)(c)0
f a f f ++=的不同映射有（）
A ．6个
B ．8个
C ．10个
D ．12个
5、若[)1,A =+∞，B=R ，映射:A B f →，对应法则为2
:2ln f x y x x
→=-
，对于实数m B ∈，在集合A 中不存在原象，则实数m 的取值范围是A ．()
,1-∞-B ．[)
2,-+∞C ．()
,2-∞-D ．(]
,2-∞6、已知集合,,,:,A B R x A y B f x y ax b ==∈∈→=+若4和10的原象分别对应6和9，则19
在f 作用下的象为()A ．18
B ．30
C ．
272
D ．28
7、已知映射:A B f →，其中A=B=R ，对应法则2:2f x y x x →=-+，对于
实数k B ∈在集合A 中存在两个不同的原像，则的取值范围是（）A ．1
k >B ．1
k ≤C ．1
k <D ．1
k ≥8、设{}{}02,03A x x B y y =≤≤=≤≤,下列各图中不能表示从集合A 到B 的映射是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
9、设2
:f x x →是集合A 到集合B 的映射，如果{}1,2B =，那么A B 等于
10、
定义一个对应法则:(m,n)0,n 0)g P P '→≥≥，现有点A (1,3)'与B (3,1)'，点M '是线段A B ''上一动点，按定义的对应法则:g M M '→，当点M '在线段A B ''上从点的A '开始运动到点B '结束时，则点M '的对应点M 所经过的路线长度为11、已知f 是有序数对集合{
}(,y)N ,M x x y N
*
*
=∈∈上的一个映射，正整数数对(,y)x 在映射f
下的象为实数z ，记作(,y)z f x =．对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：
则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x
f x ≤成立的x 的集合是_____________．
3、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：(1)分式的分母不为零；
(2)偶次方根的被开方数大于等于零；
(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次幂或负指数幂的底数不为零；
（5）求抽象函数的定义域只需遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f 下，括号内式子的范围相同。

1、（2013.
江西理）函数())f x x =-的定义域为（
）A.
(0,1)
B.
[)0,1 C.
(]0,1 D.
[]
0,12、函数2
ln(43)y x x =-+的定义域为3、（2009.
江西理）函数y =的定义域为（）
A.(4,1)
-- B.(4,1)- C.(1,1)
- D.
(]
1,1-4、（2008.安徽理，13
）函数2()f x =
的定义域为
5、已知函数2
()3
f x ax ax =--的定义域为R ，则a 的取值范围是
6、若函数()f x =
的定义域为R ，则a 的取值范围是7、
（2006.湖北理）设2()lg 2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为（）
A.(4,0)(0,4)-
B.(4,1)(1,4)--
C.
(2,1)(1,2)-- D.(4,2)(2,4)
-- 8、若函数()y f x =的定义域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，则2(log )y f x =的定义域是9、已知函数2
(22)y f x x =-+的定义域是[]0,3，则函数()y f x =的定义域是
10、若函数(1)f x +的定义域是1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，则2()y f x =的定义域是11、若函数2
()y f x =，则函数[]()y f f x =的定义域为
12、若函数()y g x =的定义域为2
(1,),()f x x +∞=，则(())y g f x =的定义域为13、(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x
y =的定义域和值域相同的是
(
)
. A y x =.lg B y x
=.2x C y =.D y
=
14、(2016·江苏)函数y 的定义域是________.
15、若函数()log (1)(0,1)a f a a a a =+>≠的定义域和值域都是[]0,1，则a =()
A ．
13
B C ．
22
D ．2
16、使函数22log (21)y ax x =++的定义域为R 的实数a 的集合为A ，使函数2
2log (21)
y ax x =++的值域为R 的实数a 的集合为B ，则A B （）
A ．(0,)
+∞B ．[0,1]
C ．[)
0,+∞D ．[-1,1]
17、已知函数2
21()log (1)4f x ax a x ⎡
⎤
=+-+
⎢⎥⎣
⎦
的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

18、已知函数2
21()log (1)4f x ax a x ⎡⎤
=+-+⎢⎥⎣
⎦
的值域为R ，求实数a 的取值范围。

19
、已知函数()f x =
R ，求实数a 的取值范围。

20、已知函数[][]
1, 0,1()3,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨
-∉⎪⎩，求使[]()1f f x =成立的实数x 的集合。

21、已知函数()f x 的定义域为13,22⎡⎤
-
⎢⎣⎦
，求函数()(0)x y f ax f a a =+>的定义域。

4、函数的值域
求解函数值与主要由以下十种方法
（1）观察法;（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法；（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法；（9）有界性法；（10）导数法
需要指出的是，定义域、值域的结果必须写成区间或集合的形式。

法一：观察法
例：求函数1y =
的值域.
变式1、函数2
2
()1
x y x R x =∈+的值域是变式2、函数()1
x y x R x =∈+的值域是
法二：配方法
例：求函数y =
的值域.
变式1、求函数1
()1(1)
f x x x =
--的值域.
变式3、设函数()0)f x a =
>的定义域为D ，若所有点(,()),(,D)s f t s t ∈构成一个
正方形区域，则a 的取值为
法三：换元法
例、求函数[]()3423,1,2x
x
f x x =⋅-+∈-的值域.
变式：求函数y x =+.
法四：分离常数法
例、求21
2x x e y e +=+的值域.
变式1：求函数35
1
x y x -=-的值域.
变式2：求函数2256
6
x x y x x -+=+-的值域.
法五：判别式法
例、求函数221
1
x x y x x -+=++的值域.
变式1：已知函数2()1
ax b
f x x +=
+的值域是[]1,4-，求,a b 的值.变式2：已知函数2328()log 1
mx x n
f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值.
法六：单调性法
例、求函数y =
的值域.
变式2
：函数()f x =的值域是变式3
：求函数y =
的值域.
变式4:
求函数y =的值域.
法七：有界性法
例、求函数2
2
2()2
x y x R x =∈+的值域.变式1：已知函数[]2(0,1)2
x
x
e y x e =∈+，求函数的值域.变式2：已知函数2
()1,()43x
f x e
g x x x =-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围是（
）
.22A ⎡-+⎣
(.22B +[].1,3C ()
.1,3D 1、定义域为R 的函数()y f x =的值域为[],b a ，则函数()y f x a =+的值域为（
）
[]A.2,b a a +[]B.,b a []C.0,b a -[]
D.,b a a -+2、已知实数0a ≠，函数2, 1
()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨
--≥⎩
.若(1)(1)f a f a -=+，则a 的值为
3、(2015·新课标全国Ⅱ)设函数211log (2),1
()2, 1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩则2(2)(log 12)f f -+＝(
)
.3
A .6
B .9
C .12
D 5.(2015·安徽合肥模拟)已知函数1,0
()2(4),0x
x f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪->⎩
则()2 015f ＝________.
16．已知函数12(0)()3(0)
x x e x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则1()4f f ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦的值是
A ．9
B ．-9
C ．
1
9
D ．19
-
14．设12
33, 2log (1),2
x e x f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则
((2))f f 的值为（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
49.已知函数2
32,1(),1
x x f x x ax x +<⎧=⎨
+≥⎩若((0))4f f a =，则实数a ＝
.
48.若函数2
x b y x -=
-在(,b 4)(b 2)a +<-上的值域为(2,)+∞，则x
a =.
14.2
()215f x x x =+-，定义域是[],(,b Z)a b a ∈，值域是[]15,0-，则满足条件的整数对(,b)a 有
对.
21.(2015·河北唐山模拟)已知()(12)3,1
ln , 1 a x a x f x x x -+<⎧⎨≥⎩
＝的值域为R ，那么a 的取值范围是
()
A .
(]
,1-∞-B .11,2⎛⎫- ⎪
⎝
⎭
C.11,2
⎡⎫-⎪
⎢⎣
⎭
D .10,2⎛⎫
⎪
⎝
⎭
13.已知函数321
()()212
x f x x x -=
≠-求12100410062009()()()()()20102010201020102010
f f f f f ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值.51.已知函数2
()(,b R)f x x ax b a =++∈的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式()c f x <的解集为
()3,3m m -+，则实数c 的值为
．
53.
对于函数()f x =，存在一个正数b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则非零实数a 的
值为__
__．
4.(2015·福建)若函数6, 2
()(0,1)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩
且的值域是[)4,+∞,则实数a 的取值
范围是________.
5.(2015·山东)已知函数()(0,1)x
f x a b a a =+>≠且的定义域和值域都是[]1,0-，则
a b +=________.
6.(2014·重庆)
函数2
()log )f x x =的最小值为________.
4．若函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4
--，则m 的取值范围是（）
A ．(]
4,0B ．3[]
2
，4C ．3[3]2
D ．3[2
+∞，
）5、函数的解析式
求函数解析式的常用方法如下:
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若宜将含x 的式子配成，用配凑法；若宜换元求就出x，用换元法
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求法一：待定系数法（函数类型确定）
例、已知二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图像上任意一点都不在直线y x =的下方（1）求证：b c 1
a ++≥（2）设2
()3,()()g()g x x x F x f x x =++=+，若F(0)5=且()f x 的最小值等于2，求()f x 的解析式
法二：换元法或配凑法（适用于()f g x ⎡⎤⎣⎦型）
例、已知1)f x =+，求函数()f x 的解析式
变式1：设1()1x
f x x
+=
-，又记11()(),()(())(k 1,2)k k f x f x f x f f x +===⋅⋅⋅，则2015(x)f =（）
A.1x -
B.x
C.11x x -+
D.
11x x
+-变式2：已知函数(x)f 满足2
211()f x x x x
+=+,则()f x 的表达式为
变式3：已知22111
(x x f x x x
++=+,求()f x 的解析式.
法三：方程组法（若一个方程中同时出现()f x 与其他形式()f g x ⎡⎤⎣⎦（如()(0)()a
f a f a x x
≠-或等）时，可用()g x 代替两边所有的x ，得到关于()f x 与()f g x ⎡⎤⎣⎦的另一个方程组，解方程组即可求出()f x 的解析式，我们称之为方程组法）
例、已知函数()f x 满足1()2(3(0)f x f x x x
+=≠,求()f x 的解析式
变式1：函数()f x 满足方程()()af x f x ax +-=，其中R x ∈，a 为常数，且1a ≠±，求()f x 的解析式
法四：分段函数的解析式的求法
例、已知函数2,0
()21,()1,0x x f x x g x x ⎧≥=-=⎨-<⎩，求[][](),()f g x g f x 的解析式
变式1.已知函数22,1
(),222,12
x x x
f x x x x +≤-⎧⎪⎪=≥⎨⎪-<<⎪⎩，（1）求
7()4f f f ⎧⎫
⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣
⎦⎩⎭（2）若()3f a =，求a 的值
变式2.（2012，江西理，3）若函数21,1
(x)lg ,1
x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（
）
A .lg101
B .2
C .1
D .0
变式3.已知实数0a ≠,函数2,1
()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩
,若(1)(1)f a f a -=+,则a 的值为
变式4.已知实数0a ≠，函数2,1
()2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨
--≥⎩，若(1)(2)f a f a -=+，则a 的值为
2.设()f x 是R 上的函数，(0)1f =，对任意的实数,x y 有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 67.求下列函数()f x 的解析式．
（1）已知2
(1)21f x x x -=-+，求()f x ；
（2）已知一次函数()f x 满足(())41f f x x =-，求()f x ；71.已知2
(1)3f x x x -=-．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式．
（Ⅱ）设()()g x f x a x =++,（a 为实常数），求()g x 在[]1,3-的最小值．
15．若(())63,()21f g x x g x x =+=+，则()f x 的解析式为（
）A ．3
B ．3x
C ．3(21)
x +D ．61
x +
6、分段函数
分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
[提醒]分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)；
(2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)；(3)由分段函数解析式，求解不等式；(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．
3.(2016·浙江)已知3a ≥，函数{
}
2
()min 21,242F x x x ax a =--+-，其中
{},min ,,p p q
p q q p q
≤⎧=⎨
>⎩(1)求使得等式2
()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；(2)(ⅰ)求()F x 的最小值()m a ；
(ⅱ)求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .
9.(2014·江西)已知函数2,0
()()2,0
x
x a x f x a R x -⎧⋅≥⎪=∈⎨<⎪⎩，若[](1)1f f -=，则a ＝
11.(2013·新课标全国Ⅰ)已知函数22,0
()ln(1), 0
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若()f x ax ≥，则a 的取值范围是
14.(2014·浙江)设函数22
,0
() ,0
x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若()2f f a ≤⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是________.15.(2014·四川)设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，
242,10(), 01
x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨
≤<⎩则3
()2f ＝________.
17.(2014·新课标全国Ⅰ)设函数113,1(),1
x e x f x x x -⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是
________.
2.(2015·山东济宁模拟)若函数21,1
()ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则()()f f e (e )为自然对数的底数)＝
3.(2016·豫南九校联盟一模)若3
1,(0)
()3log ,(0)
x
x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪>⎩则1(())9f f ＝8.(2015·北京东城模拟)已知函数13
log ,0
()2, 0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a >，则实数a 的取值范围是
12.(2016·甘肃张掖一模)已知函数21(),4
(),(1log 5)2
(1), 4
x
x f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为13.(2016·广东广州五校模拟)已知函数2
22
2,0
(),(3)(2)2,0
x x x f x f a f a x x x ⎧--≥⎪=-<⎨-<⎪⎩若,则实数a 的取值范围是________.
18.(2016·福建漳州八校模拟)设函数3,15(),62,1
x
x b x f x f f x -<⎧⎛⎫
⎛⎫=⎨
⎪ ⎪≥⎝⎭⎝⎭⎩若=4,则b=6.(2016·江苏)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上，
,10
()2
,01
5x a x f x x x +-≤<⎧⎪
=⎨-≤<⎪⎩
,其中a R ∈.若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是________.专题四：函数图象
1、函数图象的定义
设函数()y f x =，则由点(,)x y 构成的曲线即函数的图象，从函数图象可以看出：（1）定义域：横看，图象最左端点的横坐标是x 的最小值，最右端
即为最大值，所构成的范围即定义域，注意区间的开闭，图示函数的定义域为[-1,5]；
（2）值域：竖看，图象上最高（低）点的纵坐标即为y 的最大（小）值，所确定的范围即值域，
图示函数的值域为[-1,2]
（3）单调性：图象上升（下降）的区间即为增（减）区间，图中增区间是
，减区间是
2、函数图象与方程、不等式的关系
（1）不等式()0f x >（0<）的解为函数()f x 的图象在x 轴上（下）方的曲线所对应点横坐标的取值范围；上图不等式()0f x >的解为11x -<<或45x <<；不等式()0f x ≤的解为14x ≤≤；（2）方程()f x k =的解为函数()f x 的图象与直线x k =（过(0,)k 与x 轴平行的直线）的交点的横坐标，特别地，当0k =时，方程()0f x =的解是函数图象与x 轴的交点，上图()0f x =的解为
1,4x =，()2f x =的解为1
x =-3、函数图象的变换
() ()() y f x y f x a y f x ==±=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r uuuuuuuuu r ()() ()() y f x c y f x y f x y f x =+==-=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r ()() ()() y f x y f x y f x y f x =-==--=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r ()() y f x y f x ==uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuuuuuuuuu r 1
()() ()
() y f x y f x y f
x y f x -====uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r ()(0)() ()(0)
y Af x A y f x y f x ωω=>==>uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r
例1、将2
2y x =的图象（1）向左平移2个单位，得到的图象，（2）向右平移3个单位，得到的图象，（3）向上平移4个单位，得到
的图象；
例2、由lg y x =的图象如何变换得到lg(1)3
y x =-+例3、下列函数的图像是由函数()2x
f x y ==的图像经过怎样的变换得到的？（1）1
2
x y -=（2）21x
y =+（3）2
x
y =（4）21
x
y =-（5）2
x
y =-（6）2
x
y -=-例4、已知0a >且1a ≠，函数x
y a =与()log a y x =-的图象只能是（
）
例5、已知函数()y f x ＝的图象如右图所示，则函数()||y f x ＝的图象为(
)．
例6、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数2log y x =重合的函数图像是（
）
.2x
A y =12
.log B y x
=4.2
x C y =
2
1.log 1D y x
=+例7
、设函数()4f x =+（3x ≥－），则其反函数1
()f x -的图象是（）
A B C
D
x
O
2
-1
2
y
x
O 2
-1
2
1
y
x
O
1
-2
-1
2
y
x
O
1
-2
-2
y
x
O
1
-2
-1
2
1
y
A B C D
例8、（2010.全国I 理.15）直线1y =与曲线2
y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是
4、常用技巧和说明
（1）掌握函数图像的两种基本方法---直接画法（列表描点）和图像变换法（2）、知式选图---利用函数的性质判断
函数的各种性质如：定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性等，总能在图象中得到直观的体现，因而在确定函数的图象时可针对函数的某一性质进行比较，从而确定正确的结果。

（3）、相对位置判断
通过两个函数在相同的自变量情况下函数值大小的比较，确定两个函数图象的相对位置来确定选项。

一般地，当()()00f x g x ＞时，对应0x 处()f x 的图象在g(x)图象的上方，反之则表示对应0x 处()f x 的图象在()g x 图象的下方。

（4）、高考函数图像考查的说明
高考中总是以几类基本初等函数（一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，或者已知方程解的个数，求参数的范围，研究零点所在的区间，利用函数图像解不等式等。

（5）函数图像的应用
求方程根的个数、函数零点的个数、函数图像交点的个数问题或已知方程根的个数及函数零点的个数、函数图像交点的个数，求参数的取值范围问题。

常见题型练习
1、将函数3()2y lg x ＝＋的图象向_____平移______个单位长度可得函数3()1y lg x ＝－的图象．
2、函数3x
y t =+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是
．
3、直线3y =与函数2
6y x x =-的图象的交点个数为（）A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
4、某工厂8年来某种产品的总产量c 与时间t (年)的函数关系如下图，下列四种说法：
（1）前三年，总产量增长的速度越来越快；（2）前三年中，总产量增长的速度越来越慢；（3）第三年后，这种产品停止生产；（4）第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是_______________．5、要得到函数22x
y =+的图象，只需将函数2
2x y +=的图象
A 、向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B 、向右平移2个单位，再向下平移2个单位
C 、向左平移2个单位，再向上平移2个单位
D 、向右平移2个单位，再向上平移2个单位
6、函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式为（）．
A
B ．
1
||22+-x x C ．2
|1|x -D ．2
21
x x -+7
、设函数()1(01)f x x =≤≤，则()f x 的反函数1
()y f
x -=的图象是（
）
8、函数b x y +-=与x
b
y -=（0>b 且0≠b ）的图象可能是（
）
38
O
t
c
45º
45º
1
1
-1
x
y
A B C
D
9、函数(1)||
x
xa y a x =>的图像大致形状是
（
）
10、函数()()1
212
x f x log x g x -++＝与＝在同一直角坐标系下的图象大致是()
11、已知()()y f x y g x ==与的图象如图所示
则函数()()()·F x f x g x =的图象可以是（
）
x
)
(x f y =y
O
x
)(x g y =y
O
12、定义运算,,a a b a b b a b
≤⎧⊗=⎨>⎩，则函数()12x
f x =⊗的图象是（
）
A B C D
13、已知函数2y log x =的反函数是()1
y f
x -=，则函数1(1)y f x -=
－的图象是（
）
14、定义在R 上的函数(1)y f x =+的图象如图1
所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①1(0)f =；②()11f -=；；③若0x >，则
()0f x <；④若0x <，则()0f x >，其中正确的是（
）
A.②③
B.①④
C.②④
D.①③
15、已知1
()(0,1),(2)0,x f x a a a f
-=>≠<且，则1(1)f x -+的图象是（
）
16、设函数()y f x ＝的定义域为R ，则函数()1y f x =-与函数()1y f x =-的图象关于(
)
A 、直线0y ＝对称
B 、直线0x ＝对称
C 、直线1y ＝对称
D 、直线1x ＝对称
x
y
O
1
1-
17、方程2
2
2x x x
-=的正根个数为（）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
18、若关于x 的不等式2
2x x a ->-至少有一个负数解，则a 的取值范围是
19、（2011.上海高三调研.14）若0a >且1a ≠，函数2x
y a =-与3y a =的图像有两个交点，则实数a 的取值范围是
20、方程22
440x y y x --++-=所表示的曲线与值线y x b =+有交点，则实数b 的取值范
围是
21、设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]
2,0x ∈-时，1()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不
同的实数根，则实数a 的取值范围是（
）
A ．3
4,2)
B ．(2,)+∞
C ．3
4)
D ．(1,2)
22、已知函数1,(01)()12(1)2
x x x f x x +≤≤⎧⎪
=⎨-≥⎪⎩，设0a b >≥，若()(b)f a f =，则b ()f a ⋅的取值范围是
（
）
A ．(]
1,2B ．3,24⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．3
,24
⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
23、定义在()1,+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：⑴对任意的(1,)x ∈+∞恒有(2)2()
f x f x =成立；⑵当(]1,2x ∈时，()2f x x =-；记函数()()(1)
g x f x k x =--若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（
）
A ．[)
1,2B ．4,23
⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
C ．3,24
⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
24、定义一种新运算：,(b),(b)
a a a
b b a ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数2()2x
f x x =⊗，若函数()()
g x f x k =-恰
有两个零点，则实数k 的取值范围为（）
A ．()
0,1B ．(]
1,2C ．[)
2,+∞D ．()
2,+∞25、对实数a 和b ，定义运算“⊗”
：,1,
, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x R ∈．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是(
)．
A ．(]()
1,12,-+∞ B ．(](]
2,11,2-- C ．()(]
,21,2-∞- D ．[]
2,1--26、已知()2211f x x =--+和2
()2(R)g x x x m m =-+∈是定义在R 上的两个函数，则下列关于()f x ，()g x 的四个命题：
①函数()f x 的图象关于直线0x ＝对称；
②关于x 的方程()k 0f x -=恰有四个不相等实数根的充要条件是(1,0)k ∈-③当m=1时，对[][]12121,0,1,0,()g()x x f x x ∀∈-∃∈-<成立④若[][]12121,1,1,1,()g()(1,)x x f x x m ∃∈-∃∈-<∈-+∞成立，则其中正确的命题有
（写出所有正确命题的序号）．
27、已知函数2
,0()2,x x x a
f x x a
⎧≤<⎪=⎨≥⎪⎩若存在实数b ，使函数()()b g x f x =-有两个零点，则实数a
的取值范围是（）
A ．(0,2)
B ．(2,)
+∞C ．(2,4)
D ．(4,)
+∞
28、现定义一种运算“⊕”：对任意实数,1,,,1
b a b a b a b a a b -≥⎧⊕=⎨-<⎩．设2
()(2)(3)f x x x x =-⊕+，
若函数g()()x f x k =+的图象与x 轴恰有三个公共点，则k 的取值范围是______．
29、已知函数2log ,0()3,0
x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的
取值范围是_____
___．
30、已知函数2
,()24,x x m
f x x mx m x m
⎧≤⎪=⎨
-+>⎪⎩其中0m >．若存在实数b ，使得关于x 的方程
()b f x =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______．
31、已知函数22,1()log ,1
x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩若直线y m =与函数()f x 的图象只有一个交点，则实数m 的取
值范围是____________
32、对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a b
a b b b a ≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数()f x 满足
(4)()f x f x +=，且当02x ≤≤时，{}(x)min 21,2x f x =--，若方程()0f x mx -=恰有两个
根，则m 的取值范围是（
）
A ．{}111,1(ln 2,)(2)33
--- B ．111,,133⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥
⎣
⎭⎝⎦
C ．{}111,1(ln 2,)(,ln 2)
22
--- D ．1111,,2332⎡⎫⎛⎤
-
-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
33、若关于x 的方程x x a a -=有三个不相同的实根，则实数a 的取值范围为（
）
A ．(4,)
+∞B ．(,4)
-∞C ．(4,4)
-D ．(,4)(4,)
-∞+∞
34、已知函数()e ()x a
f x a -=为常数．若()f x 在区间[)1+∞，上是增函数，则a 的取值范围
是
．
35、定义2(b)
m (,b),()m (1,65)(b)
a a ax a f x ax x x x
b a ≥⎧==--+-⎨
<⎩，若()f x m =有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（）
A ．(,4)
-∞B ．(0,3)
C ．(0,4)
D ．(3,4)
36、已知函数21,0
()(1),0
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--只有一个零点，则实数a 的取
值范围是（）
A ．(1,)
+∞ B.[)
1,+∞C ．(,1)
-∞D ．[)
1,+∞37、已知函数2,0
()(R)ln ,0
kx x f x k x x +≤⎧=∈⎨
>⎩，若函数()y f x k =+有三个零点,则实数k 的取值范围是（）
A ．2
k ≤B ．10
k -<<C ．21
k -≤<-D ．2
k ≤-38、已知函数1
1,02
()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数
k 的取值范围是（）
A ．(1,)
+∞B ．3,2⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
C ．32,e ⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
D ．[)
ln 2,+∞39、已知函数2
(),0
()2,()(1),0
g x x g x a x x f x g x x <⎧=--=⎨-≥⎩且函数()y f x x =-恰好有3个不同的零
点，则实数a 的取值范围是
40、对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,b ,a a b a b a b
≤⎧⊗=⎨>⎩设函数22
()(1)(),R f x x x x x =-⊗-∈.若
函数()c y f x =-恰有两个不同的零点，则实数c 的取值范围是（）
A .3(,1)(,0)4
-∞--
B.31,4⎧⎫--⎨⎩
⎭C.3
(1,4
-- D.3(,1),04⎡⎫
-∞--
⎪⎢⎣⎭
41、对实数a 和b 定义运算⊗,,1b ,1
a a
b a b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩设函数22
()(2)(),R f x x x x x =-⊗-∈.若函
数()c y f x =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）
A.
(]3,2(1,)4-∞---
B.3(,2)(1,)2
-∞-- C.11(1,),4
4
⎛⎫-+∞ ⎪
⎝⎭
D.311,,44⎛⎫⎡⎫--
+∞ ⎪⎪⎢⎝
⎭⎣⎭
42、已知函数2
54,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()4y f x a x =--恰有四个零点，则实数a 的
取值范围是
43、已知关于x 的方程2
210x mx --=在区间(0,1)上至少有一个实数根，则m 的取值范围是（）
A.(0,1)
B.(0,)
+∞ C.(1,)
+∞ D.(,1)
-∞44、已知关于x 的方程1
1(()2042
x
x
a ⋅-+=在区间[]1,0-上至少有实数根，则a 的取值范围是
（）
A.10,8
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
B .
[)11,00,
8⎛⎤
- ⎥⎝
⎦
C.11,8
⎡⎤-⎢⎥
⎣
⎦
D .
[]
1,0-45、若方程21(1)10(01)x
x
a
a a a m
++
+=>≠且有解，则m 的取值范围是（）
A.1,3
⎛⎤-∞- ⎥
⎝
⎦ B.(]
1,00,13
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
C.1
,03⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
D [)1,+∞.
46、已知函数()21,()f x x g x kx =-+=，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（）
A .1(0,)
2B .1(,1)
2
C.(1,2)
D.(2,)
+∞47、已知函数22,0
()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩
，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（
）
A.
(]
,0-∞ B.
(]
,1-∞ C.
[]
2,1- D.
[]
2,0-48、已知函数(](]1
3,1,01(), 0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪
+=⎨⎪∈⎩
且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同
的零点，则实数m 的取值范围是（）A.91,20,42⎛⎤⎛⎤
-
- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B.111,20,42⎛⎤⎛⎤
-
- ⎥⎝⎦⎝⎦ C.92,20,43⎛⎤⎛⎤
-
- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
D.112,20,43⎛⎤⎛⎤
-
- ⎥⎝⎦⎝⎦
49、已知定义在R 上且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2
()f x x =,如果直线y x a =+与曲线()y f x =恰有两个交点，则实数a 的值是（）
A .0
B.2(Z)
k k ∈C .1
22(k Z)4k k +
∈或D .1
k 2k (k Z)4
-
∈或50、已知函数2log ,0
()3,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的
取值范围是（）
A.(1,)
+∞B .(1,3)
-C .(,1)
-∞D .(2,4)
51、已知函数21,0
()(1),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩
若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a
的取值范围是（
）
A.
(]
,0-∞B .
[)
0,1C .(,0)
-∞D .
[)
0,+∞52、若存在正数x 使2()1x
x a -<成立，则a 的取值范围是________________
53、(2015·北京)如图函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()2()1f x log x ≥＋的解集是(
)
{}.10|A x x ≤－＜.11{|}B x x ≤≤－{}.11|C x x ≤－＜.1}
2{|D x x ≤－＜54、(2015·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()()f x y f x ，则＝的图象大致为(
)
55、(2014·福建)若函数0)1(a y log x a a ≠＝＞，且的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(
)
56、(2014·辽宁)已知定义在[0，1]上的函数()f x 满足：①()()010f f ＝＝；
②对所有01[]x y x y ∈≠，，，且，
有()()1
|.2
|||f x f y x y <－－若对所有()()[]1||0x y f x f y k ∈<，，，－恒成立，则k 的最小值为()A .12
B .14
C.
12π
D .18
57、(2015·福建福州模拟)定义运算“*”为：,0,*2
,0.
a b
ab a a b a +<⎧⎨≥⎩＝若函数()1)*(f x x x ＝＋，则该函
数的图象大致是(
)
58、(2015·四川乐山模拟)已知函数()[)
[), 1,01
1,0,1.(1)x x f x x f x ⎧-∈-⎪
⎨-∈⎪-⎩
＝若方程()0f x kx k －＋＝有两个实数根，则k 的取值范围是()
A
12
B .－12
，0C .[－1，＋∞)
D .－1
2
，＋∞59、(2015·福建漳州八校模拟)对于定义域为D 的函数()y f x ＝和常数c ，若对任意正实数
()0||x D f x c ξξ∃∈<<，，使得－恒成立，则称函数()y f x ＝为“敛c 函数”.现给出如下函数：
()()()()2111(().
2)x
x f x x x Z f x x Z f x log x f x x -⎛⎫
∈∈ ⎪⎝⎭
①＝；②＝＋；③＝；④＝其中为“敛1函数”的有()
A .①②
B.③④
C.②③④
D.①②③
60、(2015·安徽马鞍山模拟)函数()f x 的定义域为A ，若()()1212x x A f x f x ∈，且＝时总有
12x x ＝，则称()f x 为单函数，例如：函数()21()f x x x R ∈＝＋是单函数.下列命题：
①函数()2
()f x x x R ∈＝是单函数；②指数函数()(2)x
f
x
x R ∈＝是单函数；
③若()f x 为单函数，()()121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；
⑤若()f x 为单函数，则函数()f x 在定义域上具有单调性.其中的真命题是________(写出所有真命题的编号).
7．已知奇函数()f x 定义在()1,1-上，且对任意的()1212,1,1()x x x x ∈-≠，都有
1212
()()
f x f x x x -<-成立，若(21)(1)0f x f x -+->，则x 的取值范围是（）A ．2(,1)
3
B ．(0,2)
C ．(0,1)
D ．2(0,3
23．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有13()log 3f f x x ⎡⎤
+=⎢⎥⎣
⎦，
则方程3
()2f x x =-的解的个数是（）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
55.若函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x f y f x y ⋅=+，且对于任意的x 都有()0f x >，且当
0x <时()1
f x >（1）求证：()f x 为R 上的减函数；（2）当1(4)16f =
时，若2
1(32)4
f x x -+≤，求实数x 的取值范围.52.定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，2
(0,),(())2x f f x x ∀∈+∞-=，则不等式()711f x x >-的解集为___
___
57.已知函数(x)f 定义域为[]1,1-，若对于任意的[],1,1x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且
0x >时，有()0f x >．
（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；
（3）设(1)1f =,若2
()21f x m am <-+，对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范
围．
58.定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，对任意的,b R a ∈都有。