第一章 晶体结构习题

解：倒格子基矢
b1 2 a2 a3 a1 a2 a3
其中v0为正格子原胞体积
a3 a1 a1 a2 a3
b2 2
b3 2
a1 a2 a1 a2 a3
3 (2 ) * * v0 b1 (b2 b3 ) v0 3 (a2 a3 ) (a3 a1 ) (a1 a2 ) v 0
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固体物理
固体物理学
例1：如图在立方体中，
a i, b j, c k
A
c
b
E
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。
解： OB i,
OE i j k,
C D
a
BE OE OB j k
[011] 晶列BE的晶列指数为：
O
B
AD的晶列指数。
OA k ,
1
1 1:1:1 (111)

1
1

1 1 1 h:k :l : : h k l
(hkl)
1 1 1 : : 1
(001)
1 1 1 : : 2 1
(120)
AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。
D
C
B
I G F
其中v0为正格子原胞体积
固体物理
1.6 如果基矢 a , b , c 构成简单正交系，证明晶面族 ( hkl)
1 d h 2 k 2 l 2 ( ) ( ) ( ) a b c
a b c
固体物理学
的面间距为：
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理 简单正交系 倒格子基矢
可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为面心立方格子
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固体物理
固体物理学
面心立方格子原胞基矢:
a1 a ( j k ) / 2 a2 a ( k i ) / 2 a3 a ( i j ) / 2
a 2 a3 倒格子基矢 b1 2 a1 a2 a3
倒格子体积
A B C ( A C) B ( A B)C (a3 a1 ) (a1 a2 ) [(a3 a1 ) a2 ]a1 [(a3 a1 ) a1 ]a2 [(a3 a1 ) a2 ]a1 v0 a1 3 3 ( 2 ) ( 2 ) v* (a2 a3 ) v0 a1 3 v0 v0
[110]
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固体物理
固体物理学
石墨烯是二维六边形晶格,求其倒格子基矢
解：设其晶格原子间距 为a 基矢为
a1
a a1 (i 3 j ) 2 a a2 a2 (i 3 j ) 2 3 2 a k 设 3 则格子原胞体积 a1 a2 a3 a 2 2 1 2 1 b1 (i j) b2 ( i j) a a 3 3
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固体物理
固体物理学
倒格子基矢 倒格子矢量
2 2 2 b1 i , b2 j , b3 k a b c G hb1 kb2 lb3
2 2 2 Gh i k j l k a b c
2 晶面族 ( hkl) 的面间距 d G
AB aj ak
—— 晶向指数
[0 11]
AB OB OA j k
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固体物理
固体物理学
(111)面与(110)面的交线的AB
—— 将AB平移，A与原点O重合，B点位矢
RB ai aj
(111)面与(110)面的交线的晶向
AB ai aj
—— 晶向指数
2 2 a 2 (i j k ) (i j k ) ( j k) 4 a a 3 a1 2 (i k ) 同理 b2 2 a1 a 2 a 3 a a1 a 2 2 b3 2 (i j ) a1 a 2 a 3 a
固体物理
固体物理学
4 3 r 3
（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG= 3a 4r a n=2, Vc=a3
4 3 4 3 2 r 2 r 3 3 3 x 0.68 3 8 a 4 3 3 ( r) 3
（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC= 2a 4r, a 2 2r n=4，Vc=a3
1 h 2 k 2 l 2 ( ) ( ) ( ) a b c
—— 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格 点的密度越大，这样的晶面越容易解理
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固体物理
固体物理学
1.8 画出体心立方和面心立方晶格结构在(100), (110),(111)面的原子排列
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固体物理
固体物理学
1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的 交线的晶向 (111)面与(100)面的交线的AB —— AB平移，A与O点重合 B点位矢 RB aj ak (111)面与(100)面的交线的晶向
a
A
c
b
O
E
H
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固体物理学
例3:
在立方晶系中画出(210)、(121) 晶面。 C
E
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a
(210)
1Baidu Nhomakorabea2
1
b
1
c
1 G
B D
c
b
(121)
1 2
a A
F
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面； 密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
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4 3 4 3 4 r 4 r 2 3 3 x 0.74 3 3 6 a ( 2 2r )
1
固体物理
固体物理学
（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 SABO 6
3 3 2 a 2 3 3 2 8 a a 3 2a 3 24 2r 3 晶胞的体积：V= S C 2 3
a a sin 60 2
=
1 1 n= 12 2 3 =6个 6 2
4 3 6 r 2 3 x 0.74 3 6 24 2r
（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=
3a 4 2r a
8r 3
n=8,
Vc=a3
4 4 8 r 3 8 r 3 3 3 3 x 0.34 6 a3 83 3 r 3 3
体心立方格子原胞基矢
a a a a1 (i j k ), a2 (i j k ), a3 (i j k ) 2 2 2
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固体物理学
倒格子基矢
a2 a3 2 a a b1 2 (i j k ) (i j k ) a1 a2 a3 2 2
a1 ai , a2 bj , a3 ck
a2 a3 b1 2 b2 2 a3 a1 b3 2 a1 a2 a1 a 2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3
1 OD i j , 2
1 AD OD OA i j k 2
AD的晶列指数为: [212]
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固体物理学 注意: (1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
(2)晶列指数用方括号表示[
]；
晶列[11-1]
晶列(111) 晶列[111] D A
c
b
2 b1 ( i j k ) a
2 2 (i j k ) 同理 b2 (i j k ) b3 a a 可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子
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固体物理
固体物理学
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(2 ) 1.4 证明倒格子原胞体积 v0
(3)遇到负数在该数上方加一横线。 (4)等效晶向。 例2：如图所示 a b c ， I和H 分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG ，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指数
C B I G
a
O
E
H
F
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固体物理
固体物理学 AEG 1 ABCD DIHG 2
在三个坐标 轴上的截距
h' k' l'
2
固体物理
固体物理学
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方； 面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义
a2 a3 b1 2 a1 a 2 a3
a3 a1 b2 2 a1 a2 a3
a1 a2 b3 2 a1 a2 a3