DedeKind原理与实数基本定理之间的关系

z ＜ y 可得 x ＜ y，即 A 中的数都比 B 中的数小．
因此，（ A，B） 是实数域的一个 DedeKind 分割．
这样，根据 DedeKind 原理可知，存在实数 c 使 x≤c≤y．
由于 x≤c，这表明 c 是 S 的一个上界． 另外，对任意 ε ＞ 0，有
c － ε ＜ c，由上面的不等式可知存在 x' ∈S，使 x' ＞ c － ε 成
（ 1） 不空： 由于 b1 ∈B，a1 ∈A，则 A，B 两类不空； （ 2） 不漏： 由于 A = Ｒ \ B，则 A，B 两类不漏；
（ 3） 不乱： a∈A，b∈B，可知 a 不是｛ an ｝ 的上界，因
此，存在 x∈｛ an ｝ ，使 a ＜ x． 又 b 为｛ an ｝ 的上界，所以 x≤b， 则有 a ＜ x≤b，即得 a ＜ b，则 A，B 不乱．
因此，（ A，B） 是实数域的一个 DedeKind 分割． 此时我们
运用 DedeKind 原理知，存在唯一的 c，a ∈ A，b ∈ B，有
a
＜
c≤b．
所以n，an ≤c≤bn ，又因为
lim （
n→∞
bn
－
an ）
= 0，所以
lim
n→∞
a
n百度文库
=
c
=
lim
n→∞
b
n
．
四、总 结
实数的 DedeKind 构造立论严谨、叙述简明，直观而又
高教视野
2
GAOJIAO SHIYE
DedeKind 原理与实数基本定理之间的关系
◎严兴杰1 樊 静2* 李帅锜1 （ 1． 中国矿业大学数学学院，江苏 徐州 221116； 2． 中国矿业大学物理学院，江苏 徐州 221116）
【摘要】DedeKind 分割学说在分析学中占有重要地位， 它揭示了实数的完备性． 本文考查 DedeKind 原理与实数基 本定理之间的关系，从而加深对数学分析的理解．
数学学习与研究 2019. 6
【关键词】DedeKind 原理； 聚点定理； 区间套定理； 单调 有界定理
【基金项目】中国矿业大学教育教学改革与课程建设项 目资助（ 2017YB29） ．
一、引 言 德国数学家 Ｒichard DedeKind 所创立的分割学说是将 有理数扩充到实数的一种非常有效的方法［1］，证明了无理 数存在以及实数的完备性． 很自然地，我们认为 DedeKind 分割与实数基本定理之间存在着某种联系． 但大部分数学 分析书中都没有给出这种关系或者只有简单的介绍． 在本 文中，我们将揭示 这 种 关 系，从 而 加 深 对 数 学 分 析 的 理 解， 激发学习兴趣． 定义 1［2］ DedeKind 原理： 设 A，B 是实数域 Ｒ 的两个 子集，它们满足以下三个条件： （ a） 不空： A≠且 B≠； （ b） 不漏： A∪B = Ｒ； （ c） 不乱： 对x∈A，y∈B 都成立 x ＜ y； 则称（ A | B） 为实数域的一个 DedeKind 分割，A 为分割 的下类，B 为分割的上类． 定理 1［3］ 设（ A，B） 是实数域的一个 DedeKind 分割， 则或者下类 A 中有最大数，或者上类 B 中有最小数． 上述定理也可等价地表述为： 设（ A，B） 是实数域的一个 DedeKind 分割，则存在实数 c 使 x≤c≤y，x∈A，y∈B 成立． 实数 c 称为分划（ A | B） 的分点，且 c 是唯一的． 二、DedeKind 原理证明聚点定理 设 S 是一个非空有上界的实数集，定义两个集合 A 和 B 分别如下： B = ｛ b Ｒ： S，x ＜ a｝ ，A = Ｒ \ B． 即 B 由所有比 S 中的数都大的实数组成，A 则为 B 的 余集． 下证（ A，B） 是实数域的一个 DedeKind 分割． （ 1） 不空： 由于 S 有上界，可设实数 M 是 S 的一个上界， 令 a = M + 1，则 a 大于 S 中的所有数，从而 a∈B，所以 B≠ ． 又由于 S 中的所有数都不在 B 中，因而，都在 A 中，说明 A≠； （ 2） 不漏： 根据 A 与 B 的定义有 A∪B = Ｒ； （ 3） 不乱： 设 x∈A，y∈B，由 x∈A 可知 xB，从而存在 z∈S，使 x≤z． 而由 y∈B 和 z∈S 可知必有 z ＜ y． 由 x≤z 和
立，这意味着 c 是 S 的上界，从而存在聚点．
三、DedeKind 原理证明区间套定理
设［an ，bn］为一列闭区间套． 令 ｛ an ｝ 全 体 上 界 为 上 类 B，令 A = Ｒ \ B，由 已 知［a1 ，b1］ ［a2 ，b2］ … ［an － 1 ， bn － 1］［an ，bn］可知 a1 ≤a2 ≤…≤bn ≤…≤b2 ≤b1 ，所以有 结论：
深刻地揭示了实数的完备性，因此，必然与实数基本定理有
着密不可分的联系． 本文运用 DedeKind 原理对聚点定理、
区间套定理进行了详细证明． 我们也可运用同样的想法，证
明其他的实数基本定理． 本文的结果对加深数学分析内容
的理解、激发数学分析的学习兴趣有促进作用．
【参考文献】 ［1］王建午． 实数的构造理论［M］． 北京： 人民教育出版 社，1981． ［2］陈广荣． 现代数学的重要方法集合论浅说［M］． 内 蒙古： 内蒙古人民出版社，1979． ［3］崔尚斌． 数学分析教程（ 第一版） ［M］． 北京： 科学 出版社，2013． ［4］华东师范大学数学系编． 数学分析（ 第四版） ［M］． 北京： 高等教育出版社，2010． ［5］单墫． 数列与极限［M］． 合肥： 中国科学技术大学出 版社，2017． ［6］常庚哲，史济怀． 数学分析教程［M］． 北京： 高等教 育出版社，2003．