线性规划单纯形法

单纯形法的计算步骤
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学习要点：
1. 线性规划解的概念以及3个基本定理
2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
人工变量法：
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前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易 确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位 矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的 等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加 的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M 法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称 为人工变量法。
1 4 0 2
表1-4
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
－1/2 0 1/4 －3/4

x2
j
第二步：将第一行减去第三行乘以2 第一步：将第三行除以4
单纯形法的计算步骤
将4化为0
（表1-4）Cj
cB 0 0 0 基变量 x3 x4 b 2 16 3
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换入列
2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
max Z 3 x1 x 2 x 3 0 x4 0 x5 x1 2 x 2 x 3 x4 11 4 x x 2 x x 3 1 2 3 5 2 x1 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
单纯形法的计算步骤
例1.9 用单纯形法求解
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 20 3 x1、x 2、x 3 0
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解：将数学模型化为标准形式：
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划 max Z 3 x1 x 2 x 3
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x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x 3 1 x1、x2、x3 0 解：首先将数学模型化为标准形式
单纯形法的计算步骤
单纯形表
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cj
cB
XB
c1 cm
x1 xm
c1 cm cm 1 cn i b x1 xm xm1 xn b1 1 0 a1,m1 a1n 1
bm 0 1 am,m1 amn m
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 x 5 20 3 x j 0, j 1,2, ,5
不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
2 c2 (c3a12 c4a22 c5a32 ) 3 (0 2 0 0 0 4) 3
单纯形法的计算步骤
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3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
cj CB 0 -M -M 0 -M -1 0 -1 XB x4 x6 x7 x4 x6 x3 x4 x2 b 11 3 1 10 1 1 12 1 3 x1 1 -4 -2 3-6M 3 0 -2 1 3 0 -1 x2 -2 1 0 -1+M -2 1 0 -1+M↑ 0 1 -1 x3 1 2 1 -1+3M↑ 0 0 1 0 0 0 0 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1 -M x6 0 1 0 0 1 1 0 0 2 1 -M x7 0 0 1 0 -1 -2 1
减 去 x s, 加 入 xa
不 处 理
令 z′=- Z minZ =－ max z′
0 -M
找出基变量 列出初始单纯形表
求 : j c j ci a j
i 1
m
循环
基变 有某个 否 否 唯一 量中是否 非基变量的 最优解 含有xa j 0
是 是
所有
是
j 0
否
找出 ( j )max即 k
bi ≥0
bi < 0
≤ =≥
maxZ
minZ
约 束
xs xa
求 解
图 解 法、 单 纯 形 法
单 纯 形 法
不
令xj = xj′令 x j″ 处 xj’ = -xj
不 处 理
理
xj′ ≥0 xj″ ≥0
xj’ ≥0
约 束 条 件 两 端 同 乘 以-1
加 松 弛 变 量 xs
加 入 人 工 变 量 x a
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θi 11 3/2 1
j
→ →
—— 1 —— 4
j
1-3M -5 -2
→
——
-1
3 -1 -1
j
x1 x2 x3 4 1 9
x3
－2
1↑ Hale Waihona Puke Baidu 0 0 0
0
0 0 1 0 0
1
0 0 0 1 0
0
0 1/3 0 2/3 -1/3
0
-1 -2/3 -1 -4/3 -1/3
0
-M+1 2/3 1 4/3 M+1/3
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
单纯形法的计算步骤
③
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用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
将4化为1，本列 的其他值化为0
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0 1 c1 (0 c3a11 c4a21 c5a31 ) 2 (0 1 0 0 4 0 0) 2 x3 1 x4 0 x5 0
θi
4
0
0
x4
x5
16
12
4
0 2
0
4 3
0
0 0
1
0 0
0
1 0
-3 Z=0
j
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 c5a31 ) 2 (0 1 0 4 0 0) 2
bi /ai2，ai2>0
0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 Z=9 θi
换 出 行
2 4
j
x2
2 0 3
x1
2
1 0 0 0
表1-5
0 0 1 0
1 -4 0
0 1 0
－1/2 2 1/4

x4
j
8
3
x2
-2
0
1/4
第一步：将第二行减去第一行乘以4
单纯形法的计算步骤
单纯形法的计算步骤
cj
cB 0 0 基变量 x4 b 15 20
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1
x1 2 1/3
2
x2 -3 1
1
x3 2 5
0
x4 1 0
0
x5 0 1
θi
j
x5
－ 20 25 60
2
0
j
1
2
x2
x1
x4
75 3 20 1/3 1/3
25 35/3
1
0 1 0 0 1
0
2
17 5
－9
1
1 0 0
将2化为1，本列的其他值化为0
（表1-5）Cj
cB 0 0 0 基变量 x1 x4 b 2 8 3 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0
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换入列
0 x3 1 -4 0 -2 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 2 1/4 1/4 Z=13 θi
换 出 行
4
j
x2
第二步：将第一行加上第二行乘以1/2
2 0 3 x1 x5
4 4 2
1 0 0 0
表1-6
0 0 1 0
0 -2 1/2 -3/2
1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 1 0

x2
j
0
第一步：将第二行除以2 第三步：将第三行减去第二行乘以1/4
单纯形法的计算步骤
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表1-6中所有的 j 都小于或者等于0，表明已经达到了最 优解，因此，现行的基本可行解X=（4，2，0，0，4）T是 最优解，Z=14是该线性规划的最优值。
1
-M-1 -5/3 -2 -7/3 M+2/3
——
j
单纯形法的总结
解的判别：
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1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非 零,则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为 零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。
j >0且aij≤０（i=1，2,…,m）则线 3）无界解判别：某个 性规 划具有无界解。
（表1-3）cj
cB 0 0 0 基变量 x3 x4 b 8 16 12
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换入列
2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3 0 x3 1 0 0 0
bi /ai2，ai2>0
0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θi
j
x5
4 3
Z=0
换 出 行
0 0 3
x3 x4
2 16 3
aik 0 (对任一 j 0)
否
无可行解
无穷多 最优解
循 环
是
无界解
bi 计算 i ( alk 0) alk
用非基变量xk 替换基变量xl
列出下一个 新单纯形表
单纯形法的计算步骤
单纯形表
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cj
cB
XB
c1 cm
x1 xm
c1 cm cm 1 cn i b x1 xm xm1 xn b1 1 0 a1,m1 a1n 1
系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
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故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： max Z 3 x1 x2 x3 0 x4 0 x5－Mx 6 Mx 7
x1 2 x2 x3 x4 11 4 x x 2 x x x 10 1 2 3 5 6 2 x1 x3 x7 1 x j 0, j 1,2, ,7 其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变
量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检 验数，即： k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。 变量作为换出变量。
bi L min a ik 0 a ik
0
0
3 1
－2
j
x2
1 0
0
17/3 1/3 1 28/9 -1/9 2/3
-98/9 -1/9 -7/3
单纯形法的计算步骤
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表1-6中所有的 j 都小于或者等于0，表明已经达到了最 优解，因此，现行的基本可行解X=（25，35 /3，0，0，0） T是最优解，Z=95/3是该线性规划的最优值。
j
00 j c j ci aij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解 max Z 2 x1 3 x 2
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x1 2 x 2 8 4 x1 16 4 x 2 12 x1 , x 2 0 解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4、 x5则标准 型为: max Z 3 x1 4 x 2 0 x 3 0 x4 0 x5
x1 2 x 2 x 3 8 4 x1 x4 16 4 x 2 x5 12 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
单纯形法的计算步骤
2）求出线性规划的初始基可行解， 列出初始单纯形表。 cj CB 0 XB x3 b 8 2 x1 1 3 x2 2
bm 0 1 am,m1 amn m
4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解 并且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
单纯形法小结
建 立 模 型
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等式或 不等式
决策变 量个 数 两 个
三个 以上 xj≥0
取 xj 无
值
右 端 项
极大或极小
新加变 量系数
xj ≤ 0