数学人教A选修45素材：教材习题点拨 31二维形式的柯西不等式 含解析

教材习题点拨

“思考”：你能简明地写出定理1的证明吗？

答：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2

＝(a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2)－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd )

＝(ad )2＋(bc )2－2abcd ＝(ad －bc )2≥0.

所以，(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.

当且仅当ad ＝bc 时等号成立．

“探究”：试从不等式①推导不等式②，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系．

答：设α＝(a ，b )，β＝(c ，d )．

①⇒②：因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，

所以(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ， 即a 2＋b 2c 2＋d 2≥│a 2＋b 2c 2＋d 2cos θ│

因此，│α││β│≥│α·β│.

②⇒①：因为│α·β│＝││α││β│cos θ│≤│α││β│(其中θ为向量u ，v 的夹角)． 所以α·β＝ac ＋bd ＝a 2＋b 2c 2＋d 2cos θ，

(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．

数形结合略．

当且仅当α与β同向，即ad ＝bc 时等号成立．

“探究”：请结合平面直角坐标系，解释不等式④的几何意义．

答：如图，

|CA |＋|CB |≥|AB |，即在△ABC 中两边之和大于第三边．当CA u u u r 与CB u u u r 反向时，等号成立．

习题3.1

1．解：函数的定义域为[5,6]，且y ＞0，

y ＝3x －5＋46－x ≤32＋42·(x －5)＋(6－x )＝5×1＝5.

当且仅当4x －5＝36－x ，等号成立，即当x ＝13425

时，函数取得最大值． 2．解：三维形式的柯西不等式为：设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21

＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2,3)或者存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时等号成立．

设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，c 3是实数，则(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2＋(a 3－b 3)2＋ (b 1－c 1)2＋(b 2－c 2)2＋(b 3－c 3)2≥(c 1－a 1)2＋(c 2－a 2)2＋(c 3－a 3)2.

3．证明：由柯西不等式，(x ＋2y )2≤[(2x )2＋(3y )2]⎣⎡⎦

⎤⎝⎛

⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫232 ＝(2x 2＋3y 2)⎝⎛⎭⎫12＋43≤6×116

＝11，∴x ＋2y ≤11. 4．证明：因为a 2＋b 2＝1，cos 2θ＋sin 2θ＝1，故由柯西不等式可知(b sin θ＋a cos θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ)＝1.

∴|b sin θ＋a cos θ|≤1.

5．证明：∵(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)

＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]

≥(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，

∴(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.

6．解：将x ＋2y ＝1看成一条直线，则x 2＋y 2就是坐标原点到直线上任一点(x ，y )的距离的平方．

故最小值为d ＝

11＋22＝55，当且仅当x ＝15，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值，且最小值为55

. 7．解：由柯西不等式，可知 ⎝⎛⎭⎫a ＋1b ⎝⎛⎭⎫2b ＋12a ＝⎝⎛⎭⎫1b ＋a ⎝⎛⎭⎫2b ＋12a ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1b 2＋()a 2⎣⎡⎦

⎤(2b )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2

≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1b ·2b ＋⎝

⎛⎭⎫a ·12a 2 ＝⎝⎛⎭⎫2＋122＝92

. 当且仅当1b ·12a ＝a ·2b ，即ab ＝12时，等号成立． 8．证明：设x 1，x 2＞0，则由二维形式的柯西不等式有(px 1＋qx 2)(p ＋q )≥(px 1·p ＋qx 2·q )2＝(p x 1＋q x 2)2.

又∵p ，q ＞0，p ＋q ＝1， ∴px 1＋qx 2≥p x 1＋q x 2.①

又∵f (x )＝x ，

∴①式可变形为pf (x 1)＋qf (x 2)≤f (px 1＋qx 2)． 9．解：∵y ＝3sin x ＋41＋cos 2x ＝322sin x ＋41＋cos 2x ≤⎝⎛⎭

⎫92＋162sin 2x ＋(1＋cos 2x ) ＝(16＋4.5)2＝

4122. 当且仅当321＋cos 2x ＝2sin x ·4，即1＋cos 2x ＝83sin x 时，等号成立，此时y 值最大为4122

.