理想磁流体力学方程组共94页文档
流体力学第四章_理想流体运动基本方程
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动 参数（速度、压力、密度等），并给出这些参数与空 间点和时间的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)，
w=w (x, y, z, t) 压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ =ρ (x, y, z, t)
28
‹#›
‹#›
例4-1：已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy ( y 4) x 2
z c， 1 (x 2)2 1 ( y 4)2 c
26
图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点 0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
27
迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的； 流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小 的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间 而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流 线重合。
9
‹#›
‹#›
当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产 生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图4-1所示，不可压流体流过一个有收缩的变截面管道，截 面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。当流 体质点从1点流到2点时，由于截面收缩引起速度增加，从而 产生迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入 量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。
磁流体力学方程
第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。
§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=⎰ （3-2） 231(,)(,)()(,,)22r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰ 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v f g d g fd g t t t∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰ （2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v vq f qE f g E d g d m m qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
第4章-磁流体力学
4.1 速度矩及矩方程
1. 速度矩
建立宏观与微观的联系
等离子体中包含有一种以上正电荷离子和电子，
设α类粒子的分布函数为
f (r, v,t)
它满足动理学方程
ftv frm F fv ft c,
2
Q1nmv2v Kuupq 2
K u 为流体宏观流动带走的总动能；
u p 为流体宏观流动时压强张量做的功率
当u=0时，以上两项都为0；
q 称热流矢量，即使u=0，也存在，它是由碰撞
产生的热量从高温流体元到低温流体元的流动。
2. 速度矩方程
在动理学方程中的各项乘以 ( ，v ) 并对 积d v 分，即可
Enskog展开方法截断, 方程组就可封闭 。
封闭的双流体方程组
n
t
(n u )
0
n
m
du dt
p
n F
R
3 2
n
d T dt
p u
Q
0
q 0
上共面10方个程，组中含有独不p立是未独n知立T函的数，：正n好α、方u程α、数T目α(α也=i1,e0)
个。
pkl mnwkwl plk
如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局 域性麦克斯韦分布
f(r,v,t)n(r,t) 2T m (r,t) 3/2exp 2 m (w r,2t)
用局域性麦克斯韦分布得
p k k n (r,t)T (r,t)p (r,t)
3
nmw2 pkk 3nT3p k1 p的对角项就是热压强。
第七章磁流体力学方程
（7-40）
2. 与等离子体中的电流有关的粒子加热， 这种加热的功率密度是电流密度 （ j = qnu ） 与电场强度（ E ）的乘积； 3. 碰撞时的能量变化。 利用动能表示成定向运动能量和无规运动能量之和 K = mu / 2 + 3T / 2 ，以及能量
2
通量密度矢量表达式（7-18）式，得
∂u 3 mu 2 ∂n 3 ∂T + mnu ⋅ + ( T + n ) ∂t 2 ∂t 2 2 ∂t J G ∂ (n K ) mu 2 +divq + div( π ⋅ u) + div(nu ) + Zenu ⋅ E = ∂t 2
δn =( ν i − ν r )n δt
这里 ν i 和 ν r 分别是平均电离和复合频率。
（7-28）
求一级矩方程，设 g = vk , 则平均值为 g = vk = uk ，引入通量密度张量，量 g υl 为
g υl = υk υl =
方程（7-25）式第二项成为
Pkl π p = uk ul + δkl + kl nm mn nm
其中 (7-8)
plk = nm wk wl = nm ∫ wk wl f (υ)d 3υ
（7-9）
2 ，当麦克斯韦分布时，有 称为压强张量，因为其对角项（k=l）为 pkk = nm wk
pkk = nT = p
由此可以定义粒子系的总动能
（7-10）
n K =
1 3 1 3 Pkk = nmu 2 + p ∑ 2 k =1 2 2
（7-29）
86
div(n gυ ) = ∑
l
∂ (n g υl ) ∂xl
第四章 理想流体动力学基本方程(Y)
在恒定流动时，动量方程为：
v v dA fd p ndA
n A A
单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。
f x dxdydz
x 轴方向受到的表面压力：
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz x 2 x 2 x
流体微团受到 x 轴方向的质量力：
f x dxdydz
根据牛顿第二定理：
max Fx
( v ) d v vn dA F t A
F 作用于控制体上的外力：
粘性剪应力为零。
质量力 表面力
表面力：对于理想流体表面力只有压力，
p ndA —— n 指外法线方向，负号表示压力
A
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
Q v2 A2 v1 A1
——总流的流量
dK Q( 2v2 1v1 ) F 两边同除 dt： dt
d K Qdt ( 2 v2 1 v1 )
——不可压缩流体恒定总流的动量方程
不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动 量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。
流速：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。
（1）总流动量方程讨论
①β— 动量修正系数
dK dt[
2 2 A A 2
A2
dA2u2u2 dA u1u1 ] 1
A1
理想流体动力学基本方程
8 9.5 2 3.5m
叶轮机械内相对运动的伯努利方程
叶轮
S
微元体
叶片
R2
R1 r
0
叶轮
S
微元体
叶片
R2
R1 r
dvr
dt p p ds
s
s
Байду номын сангаас
dA
p
0
S方向的力平衡方程为(座标固结叶轮上)
o
pd ( p
p s
ds)d ddsVr
Vr s
解: 1-1与2-2两截 面间流动, 由伯努 利方程有
1
8m
1.5m 1
0
A
0
c 3.5m
2 2B
V2
H 01
z2
p2
g
V22 2g
8m
列1-1与c断面间能量方程有
V22 2m Vc2
2g
2g
H 01
zc
pc
g
cVc2
2g
pc
g
H 01 zc
Vc2 2g
称为动能修正系数, 一般为1
(C )
hw' gVdA hw gQ
A
由 则有
z1
p1
g
1V12
2g
z2
p2
g
2V22
2g
hw
H0
z
p
g
V 2
2g
H 01 H 02 hw
总流能量方程的应用
应用条件:
磁流体力学MHD
F
fd
Tdτ
T
S
nds
S
B2
0
cos
Hale Waihona Puke bdsS
B2 (n)ds
20
侧面受压力：
dS T
B2
dS
20
上端面受拉力：
dS T
B2
dS
20
下端面受拉力：
dS T
B2
dS
20
2 20
单磁流体力学方程组（流体力学方程+电磁场方程）
导电流体的流 体力学方程组
( u) 0
t
重力项 电场力
du dt
P
j
B
g
qE
重力做功
d ( u2 ) (P u) E j q g u
dt 2
p p(,T )
固定a,b,c 改变t 改变a,b,c 固定t
某一流体质点的运动规律 某一时刻流体质点的位置分布
流体质点的速度为： u r r(t;a,b, c)
t
t
流体质点的加速度为： u
2r t 2
2r(t;a, b, c) t 2
2. 欧拉法（当地法） 与拉格朗日法不同，欧拉法不考虑具体的流体质点的运动，而是采用场的观点 研究流体运动，关注的是空间给定点的流动情况，用流场中的各点的流速当作 时间函数进行研究。
B
B2
20
B2
20
B2
20
T
第3章磁流体力学方程
第三章磁流体力学方程（MHD）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。
由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。
建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD）。
与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD理论来描述。
但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD理论却无能力描述。
下面我们从动力学方程出发，建立MHD方程。
§3.2二份量MHD方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。
首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,)n r tα、流速火(,)ru tα及温度(,)rT tα的定义为：(,)(,,)r v r vn t d f tαα=⎰（3-1）(,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f tααα=⎰（3-2）231(,)(,)()(,,)22r r v v r vBk n t T t d m u f tαααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。
动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v fg d g fd g t t t ∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v v qfqEfg E d g d m m qEg f d m qE gm ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
理想流体动力学基本方程共133页文档
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
理想流体动力学基本方程
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明—爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
理想磁流体力学方程组
§3.1 磁流体力学方程组
磁流体模型
磁流体模型是将等离子体看成是导电流体，当导电流体在电磁场中运动时会激起感应 电流，感应电流在磁场中受到磁场的洛仑兹力作用，导电流体的运动状态会发生改变， 同时感应电流会对导电流体进行欧姆加热。在磁流体模型里，等离子体的每种成分的 局域性质都由其密度、温度和平均速度所确定，这三个量是时间、空间的函数。 磁流体模型的适用条件 等离子体的空间特征长度远大于粒子的平均自由程 所研究的物理过程的特征时间内粒子的碰撞次数足够多
memi ei
me ei
等离子体电导率
热压力梯度项 ▽рe 出现则说明非均匀加热或密度不均匀的等离子体由于热
电效应或者扩散效应导致电流产生，即电子压强梯度等效于有一附加电场。
பைடு நூலகம்
令
E*
E
u
B
1 en
pe
则 j E* ce j B B ei
等离子体的电导率张量
σ
1
c2e
•B 0
运流电流
j (E u B) qu
只考虑传导电流、感应电流
理想磁流体力学方程组
电导率无穷大、不传热、无粘滞
• ( u) 0
t
du p j B
dt
d ( p ) 0
dt
E B t
B 0 j
而根据麦克斯韦方程有
j 1 B
0
所以 f j B 1 ( B) B 1 B2 1 (B • )B
第3章磁流体力学方程
第3章磁流体⼒学⽅程第三章磁流体⼒学⽅程（MHD ）§3.1引⾔由上⼀章的讨论可以看出，等离⼦体动⼒学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒⼦的分布函数随时间的演化规律。
由于动⼒学⽅程是⼀个⾮线性的积分微分⽅程，数学处理较复杂，在⼀般情况下很难求解。
实际上，我们可以把等离⼦体看成为是⼀种电磁流体，它的宏观状态可以⽤密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。
这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。
建⽴电磁流体状态参置随时间的演化⽅程称为磁流体⼒学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。
与动⼒学理论相⽐，磁流体⼒学在数学处理上简单的多，⽽且等离⼦体中的许多过程，如等离⼦体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以⽤MHD 理论来描述。
但对于等离⼦体中的另外⼀些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却⽆能⼒描述。
下⾯我们从动⼒学⽅程出发，建⽴MHD ⽅程。
§3.2⼆份量MHD ⽅程设等离⼦体是由电⼦成份和⼀种离⼦成份组成的⼆份量电磁流体。
⾸先我们引⼊⼆份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于⼀个多粒⼦系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。
这样，第α类成份流体的密度(,)rn r t α、流速⽕(,)r r u t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=? （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v v n t u t d f t ααα=? （3-2）231(,)(,)()(,,)22r r v v r v r B k n t T t d m u f t αααα=-? 下⾯我们利⽤上章给出的等离⼦体运动学⽅程来建⽴MHD ⽅程。
动⼒学⽅程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v r r q E B f t I t t m αααα+++= (3-3) ⾸先定义等离⼦体矩⽅程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v fg d g fd g t t t ??==<>（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ??=??=??<>??（3） ()()()[]()v v v vv v v v v v v rv rr qfqE fg E d g d m m qE g f d m qE g m =?=?-??=-?<>其中⽤到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。
理想流体动力学基本方程.
例 已知流场速度为
u
q 2
x x2
y2
,
v
q 2
y x2 y2
,
w0
其中q为常数, 求流线方程
解:
dx qx
q
dy y
2 x2 y2 2 x2 y2
dx/x=dy/y 积分 lnx=lny+c’ 即 y=cx 为平面点源流动
例题: 已知平面流场速度分布为 u = 2yt+t3 v = 2xt
解:
Q Qm 300 0.3m3 / s
1000
V1
Q A1
Q
1 4
d12
0.3
1 0.32
4
4.24m / s
V2
Q A2
Q
1 4
d
2 2
0.3
1 0.22
4
9.55m / s
极坐标的连续性方程为
y
u
ur
r
t
1 r
( rur )
r
( u v w)dxdydz dxdydz
x y z
t
u v w 0
t x y z
V
0
t
u v w 0
t x y z
V
0
t
某些条件下, 连续性微分方程的具体形式
( u
)
0
0
x
( rur ) ( u ) 0
r
定常
(rur ) u 0
流体动力学方程(完整资料).doc
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将 代入动量方程即得： ，其中 。
当流场温度变化不大时， 近似为常数，故有
，
其中
。
最后得到
。
又，若流体不可压缩，方程化为N—S方程： 。
又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程： 。
V-3耗散函数
耗散函数 ——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内能。
其中 为压缩功，而 为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。
3各向同性流体及其四阶张量 的表达式
3－1各向同性流体：若在原坐标系 和旋转后的坐标系 中偏应力张量分别表示为 和 ，若 则应当有 ，于是要求 。
*****************************************************************************************
（关于 与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章节。）
9关于偏应力张量
A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress’tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whosediagonalelements have zero sum .
9-chap-4磁流体力学之四
在t2时刻，如图，考 虑一个封闭的曲面。
C1
t1
B 0
1 2
B d 0
3
B(t2 ) d B(t2 ) d B(t2 ) d 0
d 3 B(t2 ) d B(t2 ) (d l u )t
By ( x)
B0
当
plasma
m 0 L
2
x
等离子体就可以被看成是理想导体。 Lm 穿透深度
磁场或者磁力线不能深入等离子体
问题1、非静止的导电流体？ 问题2、磁扩散本质是什么？
当
m 0 L
2
等离子体就可以被 看成是理想导体。
磁场或者磁力线不能深入等离子体
const B E t
1 E B 0 j 2 c t 1 1 J [( E u B) J B pe ] en en j ni qi vi ne qe ve ni qi ne qe
pj j
j e、i
利用双磁流体力学方程 组讨论以下问题：
磁压力 磁张力 磁扩散
磁冻结
磁漂移
4
回顾
磁压力 磁张力
2
1 f J B ( B) B 0 1 1 2 f ( BB B I ) T 0 2
p J B
稳态的成因
设温度均匀
有
p u 2 B
(Ti Te ) n B 2
有
p u 2 B
(Ti Te ) n 2 B
第四章 理想流体力学
其余两项同上，积分得沿流线的能量方程
P u z+ + =C ρ g 2g
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表明：在恒定、质量力只有重力，流体不可压缩条件下沿 流线各点水头相等。
与势流场方程形式上完全相同，积分常数有差 别，（不同流线有不同的C值，势流场中对势流 的全流场C值均为同一常数。
§4.2
理想流体元流的伯努利方程
• 一、流体中的 能量转换现象
∂ u ∂ u ∂ u = ( )dx + ( )dy + ( )dz ∂y 2 ∂z 2 ∂x 2
2 2 2
u = d( ) 2
2
【Ι】=
—gdz
【Ⅱ】= − d (
P
ρ
)
代人总式得
u2 d ( gz + + ) = 0 ρ 2
P
u2 【Ⅲ】= d ( ) 2
积分得：
u ' gz + + = C ρ 2
• 重力作功：
WG = dmg ( z1 − z2 ) = ρ gdQdt ( z1 − z2 )
• 压力作功：
WP = p1dA1dL1 - p2dA2dL2
= p1dAU1dt − p2dAU2dt 1 2 = dQdt ( p1 − p2 )
• 外力做功的总和：
ΣW = ρg dQ dt (z1 z 2 ) + dQdt(p1 2 ) － －p
由动能定理可以得到
：
ρdQdt 2 (u 2 − u12 ) = ρgdQdt(z1 − z 2 ) + (p1 − p 2 )dQdt 2
两边除以ρg dQdt，整理得到恒定元流的能量方程 ：
第4章 磁流__体力学平衡(1)
第四章 磁流体力学平衡§4.1 基本方程，位力定理 4.1.1 平衡方程按照运动方程 ()du u u u P J B dttρρρ∂≡+⋅∇=-∇+⨯∂当体系处于静态、即/0u t ∂∂=时，可得平衡方程()u u P J Bρ⋅∇=-∇+⨯（4.1）在实验室磁约束等离子体中，一般取0u =的近似，故平衡方程组 可以进一步简化成：J B P⨯=∇，B Jμ∇⨯=0B ∇⋅=（4.2）由此方程组，可以直接得到两个不依赖于具体平衡位形的结论：B P ⋅∇=，0J P ⋅∇=（4.3）在存在磁面时，B在磁面上，因此磁面也就是磁通ψ=常数的面．由（4.3）式可知 0||P ∇=，这就是说沿着磁力线压强为常数，但因为磁力线可以达到磁面上的任一点，故整个磁面上各点的压强都一样，即0s P ∇=．这样可以令()PP ψ=，即磁面也是平衡位形的等压面．由（4.3）式可知J 也完全在磁面上．因为，如果当J B时，不用说J一定在磁面上；而若J B⊥时，则可以把J 分成两部分s n J J J ⊥=+，其中s J 是在磁面上而和磁场垂直的电流分量，而n J是既垂直于磁场又垂直于磁面的分量．按（4.3）式s s n n J P J P J P ⋅∇=⋅∇+⋅∇=，其中s P ∇为零；而在其后一项中，一般总有0n P ∇≠，故0n J ≡，这表示电流J只有在磁面上的分量，所以它也是磁面的函数，即()JJ ψ=由前面得到平衡方程的另一种形式22()B BB T P I μμ⎛⎫∇⋅≡∇⋅+-= ⎪⎝⎭ （4.4）其中已利用了0u =。
因为在由||ˆˆ/e b B B== 及 12ˆˆ,ee ⊥⊥构成的直角坐标系中，1122||||ˆˆˆˆˆˆI ee e e e e ⊥⊥⊥⊥=++，故（4.7）式可以进一步表示成 120||||P P P ⊥⊥⊥⊥∇+∇+∇=其中 2222||,BBP P P P μμ⊥=-=+||,P P ⊥分别是平行（磁力线）方向及垂直方向的总压强．因为220||||||(/)P B μ∇=∇=，故最后可得平衡方程120P P ⊥⊥⊥⊥∇+∇=。