弹性力学基础分析
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学在建筑结构分析中的应用
弹性力学在建筑结构分析中的应用随着现代建筑技术的不断发展，建筑结构设计和分析变得越来越重要。
弹性力学作为一门关于物体在外力作用下产生的形变和应力反应的学科，被广泛地应用于建筑结构的分析和设计中。
本文将探讨弹性力学在建筑结构分析中的应用，并着重介绍一些典型的实际案例。
1. 弹性力学基础弹性力学研究的是物体在荷载作用下的形变和应力分布规律。
它基于一些基本的假设，如线弹性假设，即物体在小形变范围内的应力和应变之间的关系是线性的。
此外，还有胡克定律、平面假设等。
这些基础理论为建筑结构的分析提供了重要的数学模型和工具。
2. 建筑结构问题的弹性力学分析2.1 梁和柱的弹性力学分析梁和柱是建筑结构中常见的构件，它们承受着复杂的荷载，并需要满足一定的刚度和稳定性要求。
弹性力学分析可以帮助工程师确定合适的截面形状和尺寸，以及材料的选择，以满足结构的要求。
通过计算和模拟，可以得到构件的位移、应力和应变分布的信息，从而进行进一步的优化设计。
2.2 桁架结构的弹性力学分析桁架结构是一种由许多直线杆件和节点组成的结构，常用于大跨度的建筑物和桥梁。
在设计和分析过程中，弹性力学分析可以帮助工程师确定桁架结构的稳定性和刚度，以及杆件的受力情况。
利用弹性力学的方法，可以计算结构的位移、节点的反力和杆件的应力，并进一步进行结构参数的调整和优化。
3. 弹性力学在建筑结构设计中的案例3.1 特殊形状建筑的结构分析特殊形状建筑常常具有复杂的结构形态和荷载要求，在设计过程中需要进行详细的结构分析。
通过弹性力学的分析和计算，可以验证建筑结构的稳定性和刚度，并提供有关材料使用和构件参数的建议。
例如，鸟巢体育馆的设计中就运用了弹性力学的原理，确保了其稳定性和安全性。
3.2 地震荷载下建筑结构的分析地震是建筑结构设计中必须考虑的重要因素之一。
弹性力学可以帮助工程师预测建筑结构在地震荷载下的响应，并评估其抗震性能。
通过进行地震动力学分析，可以模拟地震时建筑结构的位移、应力和应变，进而进行结构参数的校核和调整，以提高结构的抗震性能。
理论力学中的弹性力学与变形分析
理论力学中的弹性力学与变形分析弹性力学是理论力学的重要分支之一，研究物体在受到外力作用后所发生的变形和应力分布规律。
变形分析是弹性力学中的基本概念，它涉及物体的改变形状和尺寸的过程。
本文将对理论力学中的弹性力学和变形分析进行探讨。
一、弹性力学的基本原理弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡方程和边界条件等。
胡克定律是描述物体线弹性变形的基本理论，即应力与应变之间的线性关系。
胡克定律可以用数学公式表示为：σ = Eε其中σ为物体的应力，E为弹性模量，ε为物体的应变。
平衡方程是弹性力学的基础，它描述了物体在受到外力作用后的平衡状态。
平衡方程可以分为静力学平衡方程和动力学平衡方程。
静力学平衡方程主要包括力的平衡和力矩的平衡两个方面，而动力学平衡方程考虑了物体在外力作用下的加速度和惯性力。
边界条件是指物体表面处的应力和位移与相邻物体或环境的相互作用关系。
边界条件的确定对于解决弹性力学问题非常重要，它涉及到物体与物体之间的相互作用以及物体与外界环境的相互作用。
二、变形分析的基本概念变形分析是弹性力学研究中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用后所发生的形状和尺寸的变化。
变形分析主要包括线弹性变形和刚体位移两个方面。
线弹性变形是指当物体受到轴向力作用时，在垂直于该力的方向上发生的形变。
根据胡克定律，线弹性变形与物体的应变成正比。
刚体位移是指物体在受到力作用后整体平移或旋转的位移。
刚体位移描述了物体的整体运动状况，也是变形分析的重要内容。
变形分析也可以通过应变能和势能方法进行求解。
应变能方法是基于物体内部的应变能储存，通过最小化系统总应变能来求解物体的位移和应力分布。
势能方法则是基于物体内部的势能储存，通过最小化总势能来求解物体的位移和应力分布。
这两种方法在弹性力学的应用中被广泛使用。
三、弹性力学与工程应用弹性力学在工程领域有着广泛的应用。
它被用于解决各种与结构和材料有关的问题，如桥梁、建筑、航空航天和机械工程等。
第二章 固体弹性力学基础
应力定义为：单位面积上所受的内力，是在面力或 体力作用下，物体内部假想面上单位面积上的一对 大小相等、方向相反的力，是作用在该面上力的大 小的度量。
应力也称为胁强(力的强度)：应力并不是一个 “力”，因为它的量纲不是力而是单位面积上的力。
应力的方向与作用力的方向相反。
6
2.1 应力分析
16
2、非均匀变形 用物体内部变形 单元体（应变椭 圆）表示非均匀 变形 ——褶皱
17
2.2.3 应变分类
应变---当弹性体受到应力作用后，将发生体积和形 状的变化，即应变。
体积形变----指物体只发生体积变化而无形状变化的 应变。它是受正应力作用的结果。 形状形变-----物体只发生形状的变化。它是剪切应力 作用的结果。 理论力学是研究物体的整体运动。把物体作为一种刚 体，在外力作用下只能产生整体平移和转动。 弹性力学不仅要考虑物体的整体运动，而且要研究物 体内部各质点的相对运动，相对运动是产生应变的必 要条件。
设N为M 邻近点，其向径 为 r dr 。受力后N点位移 到 N ，它的位移向量记 为 u(r dr) 。 N点对M点的相对位移是
z
N (x+dx,y+dy,z+dz)
dr
M （x,y,z)
u (r )
u( r )
u (r dr)
N
u(r dr) u(r)
dx 1。由 （1-9） ds
u e e xx x
同理可求得沿y和z轴上单位长度得伸长值
e e yy
e e zz
v y w z
28
（2）切应变：变形体不仅在三个坐标方向上有相对伸长(或 压缩)，而且还会产生旋转，即夹角也会发生变化。(见下图) 假设两个正交线元素 MN和MP。受力后， 相对位移分别是du1 和du2。假设： dx=|MN|=|dr1| dy=|MP|=|dr2| MN、MP的相对位移 du1和du2对可由（11）式求出。
工程力学中的弹性力学分析
工程力学中的弹性力学分析弹性力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
它的应用广泛，涉及到许多领域，如结构设计、材料科学等。
本文将介绍弹性力学的基本概念、应力和应变的关系以及一些常见的弹性力学分析方法。
一、弹性力学的基本概念1.1 响应函数在弹性力学中，响应函数描述了物体对外力的响应。
它是外力和物体的变形之间的关系，通常用应力-应变关系表示。
响应函数的形式根据物体的几何形状和材料的性质而定。
1.2 弹性力学模型弹性力学模型用于描述物体的变形行为。
常见的模型有胡克定律、泊松比等。
胡克定律指出应力和应变成正比，泊松比描述了材料在受拉伸或压缩时横向收缩或扩张的程度。
1.3 应力集中与材料破坏应力集中是指物体中某一点受到的应力远大于其周围区域的应力。
当应力集中超过了材料的极限强度时，材料可能发生破坏。
弹性力学分析常考虑应力集中和材料的极限强度，以保证结构的安全性。
二、应力和应变的关系应力和应变是弹性力学中的核心概念，用于描述物体受力后的变形行为。
应力是单位面积上的力，可以分为正应力、剪应力等。
应变是物体长度或体积相对变化的度量，可以分为线性应变、剪应变等。
三、常见的弹性力学分析方法3.1 静力学方法静力学方法是最基本的弹性力学分析方法之一，根据力平衡定律和物体的几何特征来求解应力和位移。
通常适用于简单的静力学问题，如梁的弯曲和轴的伸缩。
3.2 弹性势能法弹性势能法是一种能量方法，将物体的变形看作是内能的变化。
通过最小化弹性势能的原理，可以得到物体的平衡位置和应力分布。
这种方法适用于复杂的弹性力学问题，如结构的稳定性分析。
3.3 有限元方法有限元方法是一种数值分析方法，将实际物体离散为有限数量的单元，通过求解单元边界的约束条件来获得整个物体的应力和位移分布。
这种方法适用于复杂的几何形状和材料非均匀性的问题。
四、弹性力学在工程中的应用弹性力学在工程领域有广泛的应用。
例如，在结构设计中，弹性力学分析用于确定结构的强度和稳定性。
《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识
（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析弹性力学是力学中的一个重要分支，涉及弹性体的变形和应力响应。
在工程设计和材料分析中，正确理解和应用弹性力学理论非常关键。
本文将首先介绍弹性力学的基本原理和公式，并随后分析一个实际案例来展示如何使用弹性力学理论进行材料应力分析和设计。
一、弹性力学基本原理弹性力学研究的对象是处于弹性变形范围内的固体材料。
主要涉及的参数有应力、应变、模量等。
1. 应力（Stress）应力是指单位面积上的力，常用符号为σ。
根据弹性理论，应力与应变之间存在线性关系。
应力可以分为各向同性应力和各向异性应力。
2. 应变（Strain）应变是指物体的形变程度，常用符号为ε。
在弹性变形情况下，应变与应力之间存在线性关系。
3. 模量（Modulus）模量是描述与应力应变相关性的物理量。
常见的模量有弹性模量、剪切模量和泊松比。
弹性模量表示物体在受压缩或拉伸时的应力和应变关系，通常用符号E表示。
二、材料应力分析案例假设我们的案例是设计一个弹簧，需要分析材料的应力分布并进行设计验证。
1. 材料力学性质分析首先，我们需要获取材料的力学性质参数。
假设使用的材料是钢，具有已知的弹性模量E和屈服应力σy。
2. 弹簧设计与力学分析根据设计要求和材料的力学性质，我们可以计算出合适的弹簧长度、直径和线径。
接下来，我们进行力学分析，包括弹簧的应力和位移。
应力分析：根据弹性力学理论，弹簧的应力可以通过应变和材料的模量来计算。
假设弹簧在工作状态下产生的应变为ε，那么应力可以用以下公式计算：σ = E · ε。
位移分析：弹簧在受力时会发生弹性变形，根据胡克定律，弹簧的位移与力和弹簧刚度相关。
位移可以通过以下公式计算：δ = F / k，其中F为受力，k为弹簧刚度。
3. 弹簧设计验证通过以上的力学分析，我们可以得到弹簧的应力和位移。
我们需要验证这些结果是否满足设计要求和材料的承载能力。
比如，我们可以将应力与材料的屈服应力进行比较，确保不会出现超出材料极限造成破裂的情况。
弹性力学中的胡克定律解析
弹性力学中的胡克定律解析在物理学的领域中，弹性力学是研究材料在受力后能够恢复其原始形状和大小的科学原理。
而胡克定律是弹性力学中最基础且常见的定律之一。
胡克定律描述了弹性体的力学行为，为我们理解和解释弹性体力学性质的变化提供了重要的理论基础。
胡克定律是以十七世纪的著名科学家罗伯特·胡克(Robert Hooke)的名字命名的。
这个定律指出，当一个物体受到一个外力作用时，它会发生形变。
根据胡克定律，物体的形变与外力的大小成正比，与物体的弹性系数成反比。
具体而言，胡克定律可以用如下的公式表示：F = -kx其中，F表示外力的大小，k表示弹性系数，x表示物体的形变。
符号“-”表示物体受力与形变方向相反。
通过胡克定律，我们可以推导出一些有趣的结论。
首先，根据胡克定律的公式，当外力为零时，物体的形变也为零。
也就是说，当外力作用于物体上时，物体会变形，但是当外力消失时，物体会恢复到原始的形状和大小。
其次，胡克定律还告诉我们，外力越大，物体的形变也越大。
这是因为外力的大小与物体受力大小成正比，而物体的形变与外力的大小成正比。
所以，当外力增加时，物体的形变也会增加。
另外，通过胡克定律，我们可以计算物体的劲度和弹性势能。
对于一个弹性体，其劲度是指单位形变所需要的外力大小。
根据胡克定律，劲度可以通过弹性系数k来计算，即劲度等于弹性系数乘以形变大小。
同样地，弹性体的弹性势能是指由于形变所存储的能量。
通过胡克定律，我们可以将弹性势能表示为弹性系数和形变大小的平方的乘积。
这表明了弹性体的弹性势能与形变程度成正比。
胡克定律在工程学、物理学和材料科学中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，胡克定律可以用来分析建筑物的结构和材料的稳定性。
在机械工程中，胡克定律可以用来设计弹簧和悬挂系统。
在材料科学中，胡克定律可以用来研究材料的力学性能和行为。
尽管胡克定律在弹性力学中无处不在，但实际应用中存在一些限制。
首先，胡克定律只适用于小形变的系统。
2024版弹性力学
•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧•一维问题求解方法与实例分析•二维问题求解方法与实例分析•三维问题求解方法与实例分析•弹性力学在工程中应用与拓展弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象弹性力学定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内部应力分布规律的科学。
研究对象弹性力学的研究对象主要是弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设弹性体在变形过程中，其内部各点之间保持连续性，且变形是微小的，即小变形假设。
约束条件弹性体的变形受到外部约束和内部约束的限制。
外部约束指物体边界上的限制条件，如固定端、铰链等；内部约束指物体内部的物理性质或化学性质引起的限制条件，如材料的不均匀性、各向异性等。
0102 03应力应力是单位面积上的内力，表示物体内部的力学状态。
在弹性力学中，应力分为正应力和剪应力。
应变应变是物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体形状的改变。
在弹性力学中，应变分为线应变和角应变。
位移关系位移是物体上某一点位置的改变。
在弹性力学中，位移与应变之间存在微分关系，即位移的一阶导数为应变。
应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律虎克定律是弹性力学的基本定律之一，它表述了应力与应变之间的线性关系。
对于各向同性材料，虎克定律可表示为σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
适用范围虎克定律适用于小变形条件下的线弹性问题。
对于大变形或非线性问题，需要考虑更复杂的本构关系。
此外，虎克定律还受到温度、加载速率等因素的影响，因此在实际应用中需要注意其适用范围和限制条件。
弹性力学分析方法与技巧ABDC建立问题的数学模型根据实际问题，确定弹性体的形状、尺寸、边界条件、外力作用等，建立相应的数学模型。
选择合适的坐标系根据问题的特点和求解的方便性，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
列出平衡方程根据弹性力学的基本方程，列出平衡方程，包括应力平衡方程、应变协调方程等。
有限元分析第3章 弹性力学基础知识-弹性力学的平衡
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
zy zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
x
zy
zx
x
xz yz yx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二
YX
Y
YZ
ZX ZY Z
应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一
致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
应力状态的概念
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
金属材料一般是均匀的和各向同性的。对于纤维增强复合材料、
木材、竹材等通常是各向异性的。
3.1 弹性力学的几个基本假定
4．小变形假定 在外部因素（如外力、温度变化等）作用下，物体发生变形而
产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。所以，在建立物体的 平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不 致引起显著的误差。在研究物体的应变及位移时，可以略去转角和应 变的二次幂或其乘积，因此，在微小形变的情况下弹性力学中微分方 程是线性的。 5．无初应力假定
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力 1．外力 外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积力。 （1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受的内 压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力是位置坐标的 函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量 成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。 2．内力 弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在，若假想用一经过 物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，如图3.1所示，并移去 其中的一部分B。则当物体受到外力作用下处于平衡状态时，物体各 个部分都应保持平衡。则在截面mn上必定由某种力存在，这种力称 为内力。
第二章 弹性力学基础1026
2.3弹性力学基本变量
正面（外法线是沿着坐标轴的正方向） 负面（外法线是沿着坐标轴的负方向） 正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负 方向为负 负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正 方向为负
正应力以拉应力为正，压应力为负
2.3弹性力学基本变量
剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交
x
x
y
y
xy
x y
变形协调条件
它的物理意义是：材料 在变形过程中应该是整 体连续的，不应该出现 “撕裂”和“重叠”现 象发生。
2 2 x y 3u 3v 2 2 2 y x xy yx 2
一般而论, 弹性体内任意一点的体力分量、面力分 量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的 位置而变的, 因而都是位置坐标的函数。
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
2.3弹性力学基本变量
位移与应变的关系
ui ui ij dx j wij dx j
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A 上的内力为 Q , 则内力的平均集度,即平均应 力 ,为 Q / A Q lim S A 0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面 mn上、P点的应力。
应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力
均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，
整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性 常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定
弹性力学的基本概念与应用
弹性力学的基本概念与应用弹性力学是力学的一个分支，研究固体材料在外力作用下的形变和应力分布规律，以及材料的弹性恢复性能。
本文将介绍弹性力学的基本概念和应用，并探讨其在现实生活中的重要性。
一、弹性力学的基本概念弹性力学研究的主要内容包括应力、应变、胡克定律以及材料的弹性恢复性能。
应力是指固体材料单位面积内的内力，是对材料对外力作用的反应。
应力可以分为正应力和剪应力。
正应力指作用垂直于材料截面的力引起的应力，剪应力指作用于材料截面平行于截面的力引起的应力。
应变是指物体在受力作用下发生的形变，是描述材料变形程度的物理量。
应变也可以分为正应变和剪应变。
正应变指物体在受到力的拉伸或压缩时引起的长度变化与原始长度之比，剪应变指物体在受到力的剪切时引起的形变与原始长度之比。
胡克定律是弹性力学的基本定律之一，描述了弹性材料的应力与应变之间的关系。
胡克定律认为，在弹性变形范围内，应力与应变成正比。
这个比例常数就是弹性模量，用E来表示。
胡克定律的数学表达式为：应力 = 弹性模量 ×应变。
弹性恢复性能是指材料在受力后能够恢复原状的性质。
这是弹性力学研究的核心问题之一。
材料的弹性恢复性能可以通过弹性模量和杨氏模量来刻画。
弹性模量是描述固体材料整体抗拉或抗压性能的物理量，而杨氏模量是描述固体材料在压缩或拉伸时改变形状的能力的物理量。
二、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有着广泛的应用，以下将从结构设计、材料选择和力学分析三个方面介绍其应用。
1. 结构设计：弹性力学的概念和原理在结构设计中发挥着重要作用。
通过研究材料的弹性模量和弹性恢复性能，设计结构可以更好地满足相应的荷载需求，并实现材料和结构的优化。
2. 材料选择：弹性力学的理论可以指导工程师选择合适的材料。
通过分析材料的弹性模量和杨氏模量等参数，可以确定材料的力学性能和应力分布规律，从而选择最适合的材料，提高结构的性能和寿命。
3. 力学分析：弹性力学的原理在力学分析中发挥着重要作用。
有限元分析第3章弹性力学基础知识1
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：
¶u ¶v ¶w ， y ， z ¶x ¶y ¶z ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u + ， yz + ， zx + ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移 远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小 于1
u+
¶u dy ¶y
C'
D" b D '
D C
A ' B ' AB x AB ¶u (u + dx) u ¶x dx ¶u ¶x
dy
u
v
A
A'
B'
a
v+
¶v dx ¶x
B dx
¶u u + dx ¶x
B"
x
0
¼ Í
1-5
弹性力学的基本方程之几何方程
（2）y方向的相对伸长量
y
¶u dy ¶y
切应力符号 的含义
受力面的法线方向
xy
力的方向
弹性力学的运动与变形
1、位移、形变、正应变、剪应变的概念
位移（displacement）: 是指位置的移动. 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和w。
弹性力学复习资料
弹性力学复习资料弹性力学复习资料弹性力学是力学的一个分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布。
它在工程学、物理学和材料科学等领域有着广泛的应用。
本文将为大家提供一份弹性力学的复习资料，帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 应力和应变：应力是单位面积上的力，应变是物体形变相对于初始状态的变化量。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力，而应变主要分为线性弹性应变和非线性应变。
2. 弹性模量：弹性模量是衡量物体弹性性质的一个重要参数，常见的有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量描述了物体在拉伸或压缩时的应力和应变关系，剪切模量描述了物体在受剪切力作用下的应力和应变关系，泊松比描述了物体在拉伸或压缩时横向收缩或膨胀的程度。
3. 弹性极限和屈服点：弹性极限是指物体在受力作用下能够恢复到原来形状的最大应力，屈服点是指物体开始发生塑性变形的应力点。
二、弹性力学的基本方程1. 长度与应变的关系：根据胡克定律，线弹性材料的应力与应变成正比。
即应力等于弹性模量乘以应变。
2. 应力与变形的关系：根据杨氏模量的定义，应力等于弹性模量乘以应变。
对于拉伸和压缩变形，应力与变形成正比；对于剪切变形，应力与剪切变形成正比。
3. 应力的平衡方程：在弹性力学中，物体受力平衡的条件是应力张量的散度等于零。
4. 应力的边界条件：在边界上，物体的应力与外界施加的力相等。
三、常见的弹性体模型1. 线弹性体模型：最简单的线弹性体模型是胡克弹性体模型，它假设物体的应力与应变成正比。
然而，实际材料的应力-应变关系通常是非线性的，因此还有其他的线弹性体模型，如非线性弹性体模型和弹塑性体模型。
2. 弹性体的应力分析：对于各向同性的弹性体，可以通过应力分析求解物体的应力分布情况。
常见的应力分析方法有解析法和数值法，如有限元法和边界元法。
四、应用领域1. 结构工程：弹性力学在结构工程中有着广泛的应用，用于分析和设计各种建筑物和桥梁的强度和稳定性。
理论力学中的弹性与材料应力分析与设计
理论力学中的弹性与材料应力分析与设计弹性和材料应力分析是理论力学中重要的内容之一，它们对于材料的设计和工程实践具有重要的指导作用。
本文将从理论力学的角度介绍弹性和材料应力分析的基本概念、方法和应用。
一、弹性力学基础在弹性力学中，材料的弹性是指材料在受到外力作用后能够恢复原状的性质。
弹性力学理论建立了弹性体在受力作用下的平衡条件和应变-应力关系。
这里我们主要关注线弹性力学，即只考虑材料的弹性变形而不考虑塑性变形。
1. 应变和位移弹性力学中的应变描述了材料在受力作用下的形变程度。
最常用的应变量是线性应变，定义为单位长度的变形量。
位移则是描述了物体中各个点的位置变化。
2. 应力和受力应力是指物体内部单位面积上的力，是描述材料受力状态的重要参数。
弹性力学中的应力包括正应力和剪应力。
正应力指的是作用于垂直于物体表面的力，剪应力指的是作用于平行于物体表面的力。
二、弹性模量与材料性质弹性模量是衡量材料抵抗形变能力的重要参数，它反映了材料的刚性和变形能力。
根据应力-应变关系，我们可以得到不同类型的弹性模量，如杨氏模量、剪切模量和泊松比等。
1. 杨氏模量杨氏模量是最常用的弹性模量，它描述了材料在拉伸或压缩过程中的应力和应变关系。
杨氏模量越大，材料的刚性越高。
2. 剪切模量剪切模量描述了材料在受到剪切力时的应力和应变关系。
剪切模量越大，材料的抗剪强度越高。
3. 泊松比泊松比描述了材料在受到纵向应变时横向应变的比例关系。
泊松比越大，材料的变形能力越强。
三、应力分析与设计材料的应力分析是弹性力学在工程实践中的重要应用之一，它通过分析材料受力状态和应力分布，对结构和构件进行设计和优化。
1. 应力计算应力计算是应力分析的基础，它通过施加边界条件和外力条件，计算出材料内部的应力分布。
一般采用有限元分析等数值方法进行应力计算。
2. 构件设计材料的应力分布对构件的设计和制造具有重要的影响。
在设计过程中，需要合理选择材料和几何形状，以保证结构的稳定性和安全性。
理论力学中的弹性力学分析
理论力学中的弹性力学分析弹性力学是研究固体物体在受力后产生弹性变形的物理学分支。
在理论力学中，弹性力学是一门重要的学科，广泛应用于工程、材料科学和物理学等领域。
本文将对理论力学中的弹性力学分析进行详细讨论。
一、背景介绍弹性力学研究的对象是具有弹性变形特性的固体物体。
当固体受到外力作用时，会发生形状和体积的变化，但在外力消失后，固体会恢复到原始状态，这种恢复性质称为弹性。
弹性力学的研究主要包括应力、应变和弹性模量等基本概念。
二、应力分析在弹性力学中，应力是对物体单位面积上的力的描述。
根据牛顿力学，应力可以分为正应力、剪应力和体积应力三种形式。
正应力指的是垂直于物体截面的力，剪应力指的是沿截面方向的力，体积应力是作用在物体体积内的力。
应力分析的目的是确定物体上各点的应力分布情况，以便进一步研究固体的变形特性。
三、应变分析应变是物体在受力作用下发生的形状和尺寸变化。
根据应变的类型，可以将应变分为线性应变和切变应变。
线性应变描述了物体在受拉伸或压缩时的长度变化，切变应变描述了物体在受剪切力时的形变情况。
应变分析的目的是确定物体上各点的应变分布情况，从而了解物体的变形状态。
四、弹性模量弹性模量是衡量物体抵抗应力的能力的物理量，通常用于描述物体的刚度和弹性特性。
根据不同类型的应力和应变，弹性模量可以分为杨氏模量、泊松比和剪切模量。
杨氏模量描述了物体在拉伸或压缩时的弹性特性，泊松比描述了物体在受拉伸或压缩时的横向变形情况，剪切模量描述了物体在受剪切力时的弹性特性。
弹性模量的确定对于理解物体的力学性质和设计工程结构具有重要意义。
五、弹性力学方程弹性力学方程是描述物体受力后的变形情况的方程。
其中最重要的方程是胡克定律，它描述了物体的线性弹性变形规律。
胡克定律可以表达为应力和应变之间的关系，即应力等于弹性模量与应变的乘积。
根据不同类型的应力和应变，可以推导出各种不同形式的弹性力学方程。
六、应用领域弹性力学研究的成果广泛应用于工程实践和科学研究中。
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
弹性力学与材料力学分析
弹性力学与材料力学分析引言弹性力学和材料力学是物理学和工程学中重要的学科，涉及了许多实际应用和理论研究。
弹性力学是研究物体在受力后能够恢复原状的力学性质，而材料力学主要关注材料在受力下的变形和破坏行为。
一、弹性力学的基本原理弹性力学研究的对象是弹性体，即可以在受力后恢复原状的物体。
弹性力学的基本原理可以通过胡克定律来描述，即应力与应变之间的线性关系。
胡克定律表明，在弹性范围内，应力与应变成正比，比例常数为弹性模量。
根据弹性模量的不同，物体可以分为不同的材料，如金属、塑料和橡胶等。
二、材料力学的研究对象材料力学的研究对象是各种材料在受力下的变形和破坏行为。
材料力学的主要研究内容包括材料的力学性质、力学测试方法、破坏机制以及材料的耐久性等方面。
通过对材料的力学性质和破坏机制的研究，人们可以设计出更加适用的材料，提高产品的质量和使用寿命。
三、弹性力学与材料力学的联系弹性力学和材料力学有着密切的联系，二者相互补充，共同应用于实际工程问题的解决。
弹性力学为材料力学提供了基本的理论框架和计算方法，而材料力学则深化了对材料力学性质和行为的认识，从而提高了弹性力学的应用效果。
例如，在工程设计中，人们常常需要考虑材料的强度和刚度等参数。
通过对材料的拉伸和压缩测试，可以得到材料的应力-应变曲线，从而计算出材料的弹性模量、屈服强度和断裂强度等参数。
这些参数又可以用于弹性力学的分析和计算，以评估结构的稳定性和安全性。
材料的破坏行为也是弹性力学和材料力学相互联系的另一个重要方面。
材料的破坏通常会导致结构的失效，因此对于材料的破坏行为的了解和预测是工程设计中的关键问题之一。
通过材料力学的研究，人们可以分析和预测不同材料在受力下的破坏形式，如拉伸断裂、剪切破坏和压缩破坏等。
这些破坏行为的分析结果可以通过弹性力学的方法进行验证和计算。
结论弹性力学和材料力学是物理学和工程学中重要的学科，它们的研究对象和方法有所不同，但又有着密切的联系。
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岩石力学－第三讲：弹性力学基础（一、应力应变分析）教学备忘录大多数物质在受到外力时发生变形，在外力撤除后又能恢复到原来的形状。
我们把物质的这种性质称之为弹性。
弹性是岩石力学的基础，外力和相应的变形间呈线性关系是最简单的情况。
当在外力的作用下，物质发生的变形足够小，那么这种关系几乎总是线性的。
因此，线弹性是所有弹性问题的基础。
1.1介绍了固体物质的线弹性特性。
在实际情况下，线弹性的有效区域经常被超越。
1.1中介绍了一些岩石非线性行为的一般特征。
在石油工程岩石力学中，更多的兴趣集中在那些具有有效孔隙和渗透性的岩石上。
固体材料的弹性理论不能完全描述这种介质，因此，应该引入多孔弹性的概念。
岩石的弹性反应也可能是与时间相关的，因此，介质的变形也是随着时间而变化的，甚至在外力不变的情况下也是这样。
1.3节和1.4节分别介绍了多孔物质的弹性特性和随时间变化效应。
1.1 线性弹性理论弹性理论建立在应力和应变这两个概念之上，在1.1.1和1.1.2节中对应力和应变分别做了介绍。
1.1.3节和1.1.4节分别介绍了各向同性介质和各向异性介质应力和应变之间的线性本构方程 1.1.1 应力考虑图1.1所示（见多媒体）的情况，一个重物加在柱子的顶部。
由于重物的重量，一个作用力施加在柱子上，同时柱子会产生一个大小相等、方向相反的力。
而柱子本身支撑在地面上，因此，施加在柱子顶部的作用力必然会通过柱子的任意横截面。
a)处横截面的区域如A 所示。
如果施加在横截面上的力为F ，则该截面处的应力σ定义为：AF=σ （1.1） 应力经常用Pa(=Pascal=N/m 2)、 bar 、atmosphere 、 psi(=lb/sq.inch.)或 dynes/cm 2等单位来表示。
在理论计算中，国际单位Pa 是最合适的单位，而其它单位大多应用于工程计算。
应力符号σ不仅表示受力面的物理性质，而且已经依照惯例进行了定义。
在岩石力学中，符号惯例规定：压应力为正。
历史原因在于：岩石力学涉及到的应力几乎都是压应力。
当符号惯例被一直使用时并没有引发问题，但是，记住一些其它科学，包括弹性力学使用相反的符号惯例是重要的。
正如公式（1.1）所表明的那样，应力被一个力和一个截面（或通常来说是一个平面）所定义，力是被施加的。
看看b)处的截面，施加在截面上的力等于施加在截面a)处的力（忽略柱子本身的重量）。
然而，b)处横截面的区域A ´明显小于A 。
因此，b)处的应力σ´＝F/A ´大于a)处的应力，即在受力试件中，应力随位置变化而变化。
我们可以将a)处截面分为无数个小单元ΔA ，总力F 的一个无限小单元力ΔF 施加在这个小单元ΔA 上（图1.2）。
不同的小单元，力ΔF 也不同。
设想一小单元i ，其包含一点P 。
当其面积Δai 趋近于零时，点P 处的应力被定义为Δfi/Δai 的极限，即：iiA A F i ∆∆=→∆limσ （1.2）公式（1.2）定义了截面a)上点i 的局部应力，而公式（1.1）描述的是截面上的平均应力。
当谈到一点的应力状态时，实际上我们指的是局部应力。
与作用力方向相关的截面的取向也很重要。
看看图1.1中c)处截面区域A ´´。
在这里，力不再是截面法向方向上的。
我们可以将力分解为截面法向方向上的力Fn 和与截面平行的力Fp （图1.3）。
方程：'A'nF =σ （1.3） 中的σ被称作法向应力，而方程：''A F p=τ （1.4） 中的τ称作剪应力。
因此，通过一个平面有两种类型的力，每一类型力的大小依赖于平面的取向。
应力张量为了给点P 处的应力状态一个完整的描述，把应力在三维直角坐标系中表示出来是必要的。
垂直于x 轴的平面上的应力可以表示为x σ，τxy ，τxz ，分别代表法向应力， y 方向的剪应力和z 方向的剪应力。
物理上，平面上只有一个剪应力。
然而，剪应力的方向必须被分解，通常被分解为y 方向和z 方向：τxy和τxz 。
相似地，垂直于y 轴的平面上的应力可以表示为y σ, τyx ，τyz ，垂直于z轴的平面上的应力可以表示为z σ, τzx ，τzy 。
因此，点P 上有9个应力分量：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z zy zx y z y y x xz xy στττστττσx （1.5） 表达式（1.5）被称为张量。
它完整地描述了点P 处的应力状态。
有时只用一个符号来表示应力张量是很方便的，例如：σ。
因此，σ隐含的表征表达式（1.5）给出的应力分量的集合。
应力张量还有一个具体的物理意义：如果r代表方向的总应力（法向应力和剪应力）。
然而，不是所有应力张量的9个分量都是独立的。
如图1.4中所示的xy 平面坐标系中的1个小正方形，作用于小正方形上的应力在图上被标注出来。
正方形处于静止状态，因此，没有使其平移或旋转的作用力。
由于没有平移作用力已得到了验证，没有旋转作用力要求：yx xy ττ= （1.6）同样，可以得到：τxz ＝τzx（1.7）τyz ＝τzy关系式（1.6）和（1.7）总是是成立的，从而减少了应力张量独立分量的个数，使其由9个变为6个。
尽管式（1.5）在许多方面是实用的，但其中用到的记法对于理论计算来说是非常不方便的。
出于这样的目的，我们频繁使用下面的符号：将两种应力（法向应力和剪应力）表示为：ij σ，下标i 和j 可以是数字1，2，3其中之一，分别代表了x 轴，y 轴，z 轴。
第一个下标i 代表应力作用面的法向，而第二个下标j 代表应力的方向。
因此，在图1.4上，我们看到：11σ＝x σ, 13σ＝τxz ，等等。
在这个记法中，应力张量（1.5）变成：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσστ （1.8）应力不变量公式（1.5）是应力张量的一个矩阵表达式。
当转换成不同的坐标系时，矩阵（1.5）转换成一个普通的矩阵。
因此，平均法向应力为：στ=(3/)zyxσσσ++（1.9）其等于矩阵迹的1/3，在坐标轴的任何变化中保持不变。
因此，这意味着平均法向应力是一个应力不变量。
还存在其它的应力组合，它们在坐标系中是独立的。
当然，应力不变量的任何组合也是一个应力不变量。
经常用到的应力不变量为：I 1=z y x σσσ++I 2=－()x z z y y x σσσσσσ+++xy τ2+yz τ2+zx τ2I 3=z y x σσσ+2xy τyz τzx τ－xσyzτ2－yσzxτ2－σz xyτ2（1.10）偏应力公式（1.9）中定义的平均法向应力本质上能引起均匀压缩与拉伸。
另一方面，扭曲是由所谓的偏应力引起的。
偏应力（也称应力偏斜张量或应力偏移，不同文献中的技术术语是不一致的）是通过从法向应力分量中减去平均法向应力得到的：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z zy zx y z y y x xz xy s s s s s s s s s x =xy xz yx y yz zx zy z σσσστττστττσ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x （1.11）就像公式（1.10）中的应力不变量，应力偏量不变量可以这样建立：J 1=sx+sy+sz(=0)（1.12）J 2=－(s x s y +s y s z +s z s x )+s xy 2+s yz 2+s zx2J 3=s x s y s z +2s xy s yz s y s z s zx －s x s yz 2－s z s xy 2－s y s zx 2不变量J 1，J 2，J 3和它们的组合与坐标轴的选择无关。
例如，在破坏准则中，应力偏量不变量与扭曲相关，但必须对独立与坐标轴的选择。
平衡方程除了作用在物体表面上的力，还可能有作用在物体内每一部分的力。
这样的力我们称之为体力。
重力就是体力的一个例子。
我们将用X ，Y 和Z 来表示作用在物体内一点x ，y ，z 上的单位质量的体力分量。
根据符号约定，如果作用在x 的负方向，X 是正的，对于Y 和Z 也如此。
举一个例子，材料的密度为ρ，取其一小部分容积ΔV ，如果z 是竖轴，由于重力作用在这小部分容积ΔV 上，那体力就是：ρZ ΔV ＝ρg ΔV ，在这里g 是重力加速度。
体力通常产生应力梯度。
例如，地层中的一个单元体不仅受到单元体自身重力的作用，而且还要承受单元体以上地层的重量。
因此，总应力随着深度的增加而增加。
外力作用下，物体保持静止状态，应力张量（公式（1.6）和（1.7））不仅是对称的，应力梯度之间还要满足一组方程，我们这称组方程为平衡方程。
考察图1.5中的平行六面体，作用在物体x 方向的力是： 法向应力：－σx ∆y ∆z+(σx +xx∂∂σ∆x)∆y ∆z 剪应力: －τyx ∆x ∆z+(τyx +yyx∂∂τ∆y)∆x ∆z －τzx ∆x ∆y+(τzx +zzx∂∂τ∆z)∆x ∆y 体力： ρX ∆x ∆y ∆z（1.13）累加（1.13）中各部分，然后除以Δx Δy Δz ，我们发现x 方向各力之间保持平衡的条件等同于：x x ∂∂σ+y yx ∂∂τ+zzx∂∂τ+ρX=0 （1.14）同样，对于y 方向和z 方向的力，我们发现：y y ∂∂σ+x yx ∂∂τ+zzy∂∂τ+ρY=0 z z ∂∂σ+x zx ∂∂τ+yzy∂∂τ+ρZ=0 （1.15）公式（1.14）和（1.15）是应力平衡方程。
注意：在交替性符号中（公式（1.8）所示的应力，然后取x 1＝x ，x 2＝y ，x 3＝z ）这些方程采取了特别简单的形式：∑∂∂j jijx σ+ρX i =0 （1.16）主应力在坐标系的特殊方向上，应力张量有一个特别简单的形式。
为揭示这种形式，最初我们在二维空间研究应力。
这不过是学术上的一个练习，实践上的许多问题实际上是二维的。
如图1.6所示，与xy 平面垂直的平面，其法线与x 轴之间的夹角为θ，平面上法向应力为（σ）和剪应力为（τ），若图中的三角形处于静止状态，因此没有净力作用在它上面。
由力的平衡关系可以得出：σ=x σcos 2θ+y σsin 2θ+2τxy sin θcos θτ＝21(y σ－x σ) sin2θ+τxy cos2θ（1.17）选择合适的θ角，有可能使τ＝0。
从公式（1.17）可看出，当下式成立时，会使τ＝0。
tan2θ=yx xy- 2σστ （1.18）公式（1.18）有两个答案：θ1和θ2。
这两个答案对应剪应力τ＝0的两个方向，称之为主应力轴。
对应的法向应力1σ，2σ称作主应力，分别通过在公式（1.17）中代入θ1和θ2得到：1σ=21(y σ＋x σ)＋2)- ( 41y x xy2σστ+ 2σ=21(y σ＋x σ)－2)- ( 41y x xy2σστ+ （1.19）（图1.6）很容易选择符号使1σ>2σ。