插值法-基本知识与应用
MATLAB数值实验一(数据的插值运算及其应用完整版)
佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法与数据拟合 专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 10 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和三次样条插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、三次样条插值 三、实验步骤1、用MATLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、用MATLAB 编写独立的三次样条函数（边界条件为第一、二种情形）4、已知函数在下列各点的值为：根据步骤1,2,3编好的程序，试分别用4次拉格朗日多项式4()L x 、牛顿插值多项式4()P x 以及三次样条函数()S x (自然边界条件)对数据进行插值，并用图给出 ｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，4()L x 、4()P x 和()S x 。
5、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x=-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
6、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x 。
（2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 。
7、对于给函数21()125f x x =+在区间[-1,1]上取10.2(0,1,,10)i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第5题的结果比较。
四、实验过程与结果：1、Lagrange 插值多项式源代码：function ya=lag(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 ya=0; mu=1; %初始化%循环方式求L 系数，并求和： for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) if i ~= jmu = mu * (xa - x(j) ) / ( x(i) - x(j) ); else continue end endya = ya + y(i) * mu ; mu = 1; end2、Newton 源代码：function ya = newton(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 %建立系数零矩阵D 及初始化：D = zeros(length(x)-1);ya = y(1);xi = 1;%求出矩阵D，该矩阵第一行为牛顿插值多项式系数：for i=1:(length(x)-1)D(i,1) = (y(i+1) -y(i))/(x(i+1) -x(i));endfor j=2:(length(x)-1)for i=1:(length(x)-j)D(i,j) = (D(i+1,j-1) - D(i,j-1)) / (x(i+j) - x(i)); endend%xi为单个多项式（x-x(1))(x-x(2))...的值for i=1:(length(x)-1)for j=1:ixi = xi*(xa - x(j));endya = ya + D(1,i)*xi;xi = 1;end3、三次样条插值多项式（1）（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1)%第一类边界条件下三次样条插值；%xi 所求点；%yi 所求点函数值；%x 已知插值点；%y 已知插值点函数值；%f_0左端点一次导数值；%f_n右端点一次导数值；n = length(x0);z = length(y0);h = zeros(n-1,1);k=zeros(n-2,1);l=zeros(n-2,1);S=2*eye(n);for i=1:n-1h(i)= x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-2k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i));l(i)= 1-k(i);end%对于第一种边界条件：k = [1;k]; _______________________(2)l = [l;1]; _______________________(3)%构建系数矩阵S：for i = 1:n-1S(i,i+1) = k(i);S(i+1,i) = l(i);end%建立均差表：F=zeros(n-1,2);for i = 1:n-1F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i));endD = zeros(n-2,1);for i = 1:n-2F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i));D(i,1) = 6 * F(i,2);end%构建函数D：d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4)dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5)D = [d0;D;dn]; ______________(6)m= S\D;%寻找x所在位置，并求出对应插值：for i = 1:length(x)for j = 1:n-1if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j))y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+...(m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+...(y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break;else continue;endendend（2）（自然边界条件）源代码：仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改:__(1):function y=yt2(x0,y0,x)__(2):k=[0;k]__(3):l=[l;0]__(4)+(5):删除—(6):D=[0:D:0]4、——————————————PS:另建了一个f方程文件，后面有一题也有用到。
常见的插值法及其应用
H2n+1 ( x)
=
f (2 n+1) (2n +
(ξ) 2) !
w 2n+1
(
x)
2. 5 分段插值
由于高次的插值多项式有不收敛现象 ,有时会出现较
大的误差 ,不能有效的逼近被插函数 , 所以人们提出了用
分段的低次多项式逼近被插函数 , 这就是分段插值方法.
事实上 ,构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法. 常
函数插值法 ,简称插值法. 在许多实际问题中 , 有的函 数 f ( x) 虽然有解析表达式 ,但其计算复杂 ,使用不便. 甚至 有些函数 f ( x) 只是给出了某些点上的函数值. 因此我们希 望根据给定的信息 ,构造一个既能反映函数特性又便于计 算的简单函数. 用 p( x) 近似 , 我们可采用插值法来达到这 个目的.
6 YYSZXB
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姜 琴 ,周天宏 : 常见的插值法及其应用
=
f ( x0 , …, x k- 2 , x k ) - f ( x0 , x1 , …, x k- 1 ) ( xk - xk- 1 )
x ∈[1 ,2]
P2 ( x) = 3φ0 ( x - 2) + 6φ1 ( x - 2) + 8 b0 ( x - 2) +
见的有分段线性插值和分段三次埃尔米特插值. 但是分段
插值光滑性较差.
2. 6 三次样条插值
工程上常用三次样条插值 ,其基本思想是将插值区间
n 等分 ,在每一个子区间上采用三次 Hermite 插值方法导
五种插值法的对比研究
学号：2013大学毕业论文五种插值法的对比研究A Comparative Study of Five Interpolation Methods学院: 理学院教学系：数学系专业班级: 信息与计算科学专业1301学生:指导教师: 讲师2017年6月7日目录容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 1 导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.1 选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11.2 研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 22 五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2.1 拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.2 牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2.3 分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.4 分段三次Hermite插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 52.5 样条插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 53 五种插值法的对比研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.1 五种插值法的解题分析比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 63.2 五种插值法的实际应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．154 结语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21 致．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22容摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。
插值多项式
由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1
0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
各种插值法的对比研究样本
各种插值法对比研究目录1.引言 (1)2.插值法的历史背景 (1)3.五种插值法的基本思想 (2)3.1拉格朗日插值 (2)3.2牛顿插值 (3)3.3埃尔米特插值 (4)3.4分段线性插值 (5)3.5三次样条插值 (6)4.五种插值法的对比研究 (6)4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (6)4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (7)4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (7)4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (7)5.插值法在实际生活中的应用 (7)6.结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (8)各种插值法对比研究摘要：插值法是一种古老数学办法,也是数值计算中一种算法.插值法不但是微分方程、数值积分、数值微分等计算办法基本,并且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文一方面简介了插值背景以及惯用五种插值法基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应算法与MATLAB 程序,依照已学知识对五种插值办法与被插函数逼近限度进行对比研究,找出不同办法间联系与区别,分析出它们优缺陷,最后在此基本上进一步研究插值法实际应用,以提高插值法实用性,从而能让咱们在后来应用中看到一种问题,就懂得哪种办法更适合于它,然后大大地迅速提高效率.核心词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用1.引言在诸多解题以及应用生活中,经常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言精确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数表达式表达出来.例如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系,但是依照观测和测量或者实验只能得到有限个函数值,咱们可以运用这几点来拟定函数表达式.或者有某些函数表达式是已经懂得,但是它们计算是十分繁琐复杂,不容易发现它本质,并且它用法也比较局限.函数是表达数与数之间联系,为了能较好地用数学语言表达出函数关系,普通通过给定数据构造一种函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 特点,又以便计算,用)(x P 近似)(x f .普通选一种简朴函数)(x P ,并且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候)(x P ,从要表达函数规律来看,就是咱们需要插值函数[1].所用办法就是插值法,由于所选用)(x P 多样化,得到不同插值法.2.插值法历史背景插值法历史源远流长,在很早时候就涉及到了它.它是数值计算中一种古老分支,它来源于生产实践.由于牛顿力学物理理论知识在一千年前没有浮现,因此咱们祖先没有办法用很精确数学解析式来表达日月五星运营规律.日后,古代人们有着聪明头脑,想出了插值办法,然后发现了日月五星运营规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法概念以及不等距节点插值,并将其应用在天文历法观测中.当代工业革命后来欧洲知名数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法概念以及应用.微积分产生后,插值法基本理论和成果进一步得到改进.3.五种插值法基本思想如果一种函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简朴函数)(x P ,使得成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 办法称为插值法.若)(x P 多项式次数不超过n ,即有)(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数办法来解决n 次多项式插值问题.拉格朗日插值多项式可以表达为=)(x L n ∑=n k k k x ly 0)(,)(x l k 为插值基函数,表达式为=)(x l k ))...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 =截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,预计有如下定理[2]: 设)(x f n 在[]b a ,上持续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n ≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式应用有它局限性,普通只适合于)(x f 高阶导数存在状况下.若设1)1()(max ++≤≤=n n b x a M x f ,则误差为)()!1()(11x w n M x R n n n +++≤. 3.2牛顿插值牛顿插值基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因而,提出了均差（即差商）概念.设 称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等点,则[]=k x x f ,000)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 一阶均差; []=k x x x f ,,10[]1100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 二阶均差; []=k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )k 阶均差. 咱们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式此外一种表达形式—牛顿插值多项式=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x … []n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -))...((11---n x x x x , =)(x R n []n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --,=)(x f +)(x P n )(x R n . )(x P n 为牛顿插值多项式,)(x R n 为余项.3.3埃尔米特插值有时候解决函数)(x f 问题,不但要在某些点上懂得函数值,并且已知在某些点上导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处导数值和函数值与原表达式值相等.那么咱们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式曲线,不但通过已知点组,并且在这些点处与原曲线＂相切＂[4].(一)、泰勒插值定义 [][])(,lim ,0'0000x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差; [][])(21,,lim ,,0''2100000201x f x x x f x x x f x x x x ==→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!1,,,lim ,,,0100000x f n x x x f x x x f n n x x i ==→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式极限为=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！n x f n )(0)(nx x )(0-. 称为泰勒插值多项式.它满足条件=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =（二）、两点三次埃尔米特插值若)(x f 在k x ,1+k x 函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,咱们可以构造出一种次数不超过3多项式,)(3x H 为插值函数.设=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.可得成果 =)(3x H 2111))(21(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2111))(21(kk k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(121)(++--k k k k m x x x x, =)(3x R 2124)())((41+--k k x x x x f ξ！,),(1+∈k k x x ξ. 3.4分段线性插值分段线性插值:普通描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应函数值)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k kh h max =. 构造)(x I h 满足:(1)[]b a C x I h ,)(∈;(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;(3))(x I h 在每个社区间[]1,+k k x x 上是线性函数.由以上条件直接可得)(x I h 在社区间[]1,+k k x x 上表达式为=)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k kk k f x x x x ， )1,,2,1,0(-=n k 误差预计-)(x f =)(x I h ))((!2)(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x I h 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .3.5三次样条插值三次样条插值（Spline 插值）详细规定是：函数[]b a C x S ,)(2∈,并在每个社区间[]1,+j j x x 上是一种三次多项式,其中b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定节点函数值有j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时咱们就把)(x S 称为三次样条插值函数.4.五种插值法对比研究通过讨论插值法有关内容,可以让咱们更好理解插值法.当前咱们先从插值多项式形式上、用途上、计算办法上、精准度上等进行对比研究,比较各自优缺陷,然后再通过实例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值比较（一）拉格朗日插值多项式环节衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,由于每添加一种点,因此公式都要重新计算,这样计算环节较多会导致计算量变大,反而会导致浮现误差与本来目背道而驰.（二）牛顿插值多项式计算量小,环节简洁.当添加一种节点时,它依然可以使用,即具备“承袭性”也叫“继承”,因此此类办法应用灵活.但是咱们依照正常想象和观测插值余项,咱们普通局部地总是以为当原函数给出点是越来越多时,咱们借助辅助函多次数越高,它就和原函数越来越近,误差越来越小.然而事实并非如此,当遇到插值节点等距分布状况时,只规定函数点值相等不可以充分反映插值函数性质[5].4.2多项式插值法与埃尔米特插值比较多项式插值规定在插值节点上函数值相等,计算简朴,条件不怎么苛刻.但是如果有时候一方面要在节点处函数值相等,另一方面要导数值相等,这时多项式插值否则不满足此类状况.埃尔米特插值不但算法简朴并且它具备强烈收敛性.但是它光滑度不高,并且它使用条件,也有局限性.在某些特定限制条件下,有时函数导数值在这点是完全没有必要懂得.因而,懂得节点处导数插值函数成为能否运用Hermite插值一种重要因素[6].4.3多项式插值法与分段线性插值比较多项式插计算简朴,比较以便,但是节点增长同步就会浮现龙格现象,图形波动较大[7].分段线性插值可以克服龙格现象,有收敛性,但是在区间内有转折点,光滑性不好.4.4 分段线性插值与样条插值比较样条插值插值函数算法稳定,并且插值函数光滑,收敛性强,误差小.但是它不能局部拟定,经常需要解线性方程组.5.插值法在实际生活中应用插值法是数值逼近中一种非常重要某些,另一方面它在实际生活中起着不容小觑作用,例如天文学以及数学.6.结束语插值法在解决实际问题中有很大应用.插值办法是各种各样,它包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等.咱们无论使用哪个插值法,它原理都是同样.本课题一方面简介了插值背景以及各类办法基本思想;然后通过解题、画图、一道题用几种不同办法来解答,让咱们哪种办法适合解答哪种类型题,再然后进行对比,探讨出它们优缺陷,最后文章举个例子来阐明插值法有很大作用,它和咱们是相连,同步运用MATLAB给出了模仿图,通过这种数与形结合,更好地理解各类插值法应用于特性.道谢本论文在苏晓琴教师悉心指引下完毕，同样也是我第一次写这样文章。
曲面拟合的研究与应用【范本模板】
曲面拟合的研究与应用Research and Application of surface fitting摘要随着科学的发展，数学对世界的影响和改变能力日益突出。
目前，曲面拟合作为数据处理与分析的一种数值方法，已被逐步推广到多个领域，并得到了越来越重要的应用，已经成为数学领域中的一个新的分支。
曲面拟合是一种古老而常用的技术，在工程实验统计和计算机图形等方面有着广泛的应用。
在实际问题中，通常我们通过测量或者实验得到一组离散的数据,我们需要从这组离散数据出发去构作曲线曲面或者求解拟合函数的参数。
这里，我们首先研究曲线拟合的常用方法,包括曲线拟合的插值法和解析法。
插值法这里主要研究的是牛顿插值法,解析法主要研究的是最小二乘法,通过最小二乘法做曲线拟合函数。
然后再从二维的曲线拟合过渡到三维的曲面拟合。
在曲面拟合过程中,通过最小二乘法得到一个一个非线性方程组，然后利用牛顿法求解，便得到拟合函数或者拟合参数的参数。
最后我们通过一个现实中实例来说明曲面拟合的全部过程及其有点。
通过对有曲面拟合的研究与学习，初步了掌握曲面拟合的最小二乘方法及其应用.在科学技术日新月异的发展过程中，曲线曲面拟合已应用在各个领域中，尤其在数据处理方面，发挥着越来越重要的作用，为科学技术的进步作出了重大的贡献，曲线曲面拟合作为一种方法也得到了巨大的发展。
关键词：曲线拟合；最小二乘法；牛顿法；曲面拟合AbstractWith the development of science, the math’s impact and the ability of change to the world has been prominent day after day。
Nowadays, Surface fitting, which as a numerical method of data processing and analysis has been extended to other fields，and it has been a new branch in math.Surface fitting is an old and common technology which is widely used in engineering experiment statistics and computer graphics. In practical problems，Usually，we get a group of discrete data by measurement and experimental。
应用多项式插值的流水线ADC后台数字校正方法
应用多项式插值的流水线ADC后台数字校正方法I. 绪论1.1 研究背景和意义1.2 研究目的与意义1.3 本文结构概述II. 基础知识介绍2.1 多项式插值基本原理2.2 流水线ADC工作原理2.3 数字校正原理III. 多项式插值在流水线ADC数字校正中的应用3.1 多项式插值法的优点3.2 多项式插值在流水线ADC数字校正中的应用IV. 实验方法与结果分析4.1 实验环境介绍4.2 实验步骤详述4.3 实验结果分析与总结V. 结论与展望5.1 结论5.2 不足与展望VI. 参考文献附录：插值算法代码I. 绪论1.1 研究背景和意义随着科学技术的迅速发展，数字信号处理技术在各种领域的应用越来越广泛。
其中，ADC（模数转换器）是将模拟信号转换为数字信号的重要设备，在各种领域的应用越来越广泛。
随着工艺的不断升级和电路的不断复杂，ADC在数字校正过程中所需要的准确度和精度也不断提高。
在ADC中，最常用的校准方法是数字校准法。
该方法使用校正电路的输出数字值来校正ADC的数字输出。
该方法可提高ADC的精度和准确度。
然而，在实践中，数字校准法也存在一些问题：数字校准电路对系统的时序有严格要求；ADC与数字校准电路之间存在时滞，这些特点使得数字校准误差较大。
因此，如何提高数字校准的精度和准确度一直是研究的热点问题。
为了解决数字校准法的缺陷，研究者们提出了许多方法来提高数字校准的精度和准确度。
其中，多项式插值法是一种常用的校准方法，可用于任何基于ADC的校准器。
而流水线ADC是现代高速转换器的重要形式之一，具有高速、分辨率高等优点。
本文将研究应用多项式插值法优化流水线ADC数字校准的方法。
1.2 研究目的与意义本文旨在提出一种基于多项式插值的流水线ADC数字校正方法，通过算法优化实现数字校正的自动化，提高数字校正的精度和准确度，减小误差。
同时，本文研究的方法可适用于各类流水线ADC，并具有工程应用意义。
此外，在理论研究和实践应用方面的探索，也将为后续相关领域的研究和应用提供理论与实践指导。
常见的插值方法及其基础原理
常见的插值方法及其原理这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。
为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。
首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。
A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。
我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。
显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。
在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。
最临近插值法唯一的优点就是速度快。
图10，最临近法插值原理接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear）线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。
换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。
由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。
线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。
如果讲究速度，这是个不错的折衷。
图11，线性插值原理其他插值方法立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。
图12，高级的插值原理如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。
计算量显然要比前两种大许多。
好了，以上就是基本知识。
所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。
在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。
他们的目的是使边缘的表现更完美。
插值(Interpolation)，有时也称为“重置样本”，是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩。
考研复试数学面试题目(3篇)
第1篇一、数学分析1. 请解释实数的完备性及其意义。
2. 证明：若数列{an}单调有界，则{an}收敛。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
4. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
5. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
6. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
7. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
8. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
9. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
10. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
二、高等代数1. 请解释行列式的定义及其性质。
2. 证明：若矩阵A可逆，则|A|≠0。
3. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
4. 证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
5. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
插值的概念和各种基本方法
k o o b n c . w ww( xi ) = yi （ i = 0, 1, 2, L , n ） 。 证明：
要证明 P( x) 存在惟一，就是要证明存在惟一的一个 P( x) = a0 + a1 x + L an x n 满足：
n ⎧a0 + a1 x0 + L an x0 = y0 ⎪ n ⎪a0 + a1 x1 + L an x1 = y1 ⎨ ⎪L ⎪a + a x + L a x n = y n n n ⎩ 0 1 n
点
函
l0 ( x) l1 ( x)
k o o b n c . w ww
x0 x1
1 0 0 0 0 1
t e .n
x2
0 1
t e n . k o o b n c .
l2 ( x )
由上表知 l0 ( x) 有 x1 和 x2 两个零点，故 l0 ( x) 有因子 ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) ，又因为它的次数不超过 3 ，故
t e n . t k e o n o . b k n o c o . b w n w c w . w ww t k e o n o . b k n o c o . b w n w c w . w ww t e n . k o c o . b w n w c w . w w w t e n . k o o
函 数 值
k o o b n c . w ww
x0 x1
0 1
l0 ( x)
1
l1 ( x)
0
由表 2 和图 3 可以看出两个基函数的性质。插值函数 P 1 ( x ) 实质上是插值基函数 l0 ( x ) 和 l1 ( x ) 的线
数据缺失插值法
数据缺失插值法1.引言1.1 概述数据缺失是指在收集或记录数据的过程中，某些观测值没有被完整地记录下来或遗失。
数据缺失是数据分析中常常遇到的问题，而数据缺失插值法就是一种解决数据缺失问题的方法。
数据缺失问题在现实生活和科学研究中经常出现。
例如，在医学研究中，某些患者可能缺失某些病历数据；在社会调查中，受访者可能因为各种原因没有回答某些问题。
数据缺失不仅对数据分析的准确性造成困扰，还可能导致研究结果的偏差，因此需要采取合适的方法来填补缺失数据。
数据缺失插值法的基本原理是通过已有的观测值和相关的数据特征，来估计或推断缺失的数据值。
插值方法本质上是通过某种模型或算法来预测缺失数据的值，从而使得缺失数据的分析结果更加准确可靠。
数据缺失插值法有多种常见的方法，例如均值插补、最近邻插补、回归插补等。
均值插补是通过计算已有数据的均值，来填补缺失数据；最近邻插补是找到与缺失数据最相似的观测值来进行填补；回归插补则是通过建立回归模型来估计缺失数据的值。
不同的插值方法适用于不同的实际情况，选择合适的插值方法能够提高数据分析结果的准确性和可靠性。
数据缺失插值法的优点是能够在一定程度上填补缺失数据，使得数据分析不再受限于数据缺失问题。
同时，数据缺失插值法也可以提高数据利用率，充分发挥数据的价值。
在实际应用中，数据缺失插值法已经广泛应用于医学、社会科学、经济学等领域，并取得了一定的研究和应用成果。
综上所述，数据缺失插值法是解决数据缺失问题的一种有效方法。
通过合理选择插值方法，可以填补缺失数据，提高数据分析结果的准确性和可靠性。
数据缺失插值法在多个学科领域具有广泛的应用前景，对推动数据分析和科学研究具有重要意义。
1.2文章结构在本篇文章中，将对数据缺失插值法进行详细的介绍和探讨。
为了让读者更好地理解文章内容，本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，我们将首先对文章的主题进行概述，并介绍数据缺失插值法的基本背景。
我们将讨论数据缺失问题对研究和应用的影响，并引出使用插值法来解决数据缺失问题的必要性。
数值分析中插值法的教学实践研究
李军成 ：数值分析 中插值 法的教学 实践研究
８ ７
通过讨论分析 ，教师与学生共同解决问题．（ ） ４ 总结 问题 ．通过总结 ，及时反馈学生的学习情况 ，让学生
明确 自己掌握 的知 识 和进程 ，提 高运 用知识 解决 问题 的能力 ．
２ 插值法 的任务驱动教学实践
在插值函数中，以多项式函数应用最广 ．常用的多项式插值有 Ｌｇ ｎｅ插值 、Ｎ ｗｏ ａｒ ｇ ａ ｅｔ ｎ插值 、Ｈ ｒ ｉ ｅ ｔ ｍｅ 插值及三次样条插值‘ 等．其中 Ｎ ｗｏ 插值法是一种利用均差构造插值多项式 的方法 ，ｎ ｅｔ ｎ 次的 Ｎ ｗｏ 插值 ｅｔ ｎ
定实际背景的小问题去检验 ，这样使学生在掌握数学理论 的同时也引导学生思考如何应用理论去解决实际 问题 ，这种教学方法能够激发学生 的学习兴趣 ，使学生对知识的掌握达到理论与实践并举 的目的．
数据插值方法是数值分析中的最基本方法之一 ，主要解决问题的是根据离散数据构造一个简单易于计 算 的函数代替原有的复杂函数．数据插值 的应用非常广泛 ，例如 ：在建筑工程的外观设计 、 物理实验中的 数据分析与处理、地理信息数据的处理、根据离散数据绘制光滑曲线、图形放大算法等方面，插值技术 的 应用 非常 重要 Ｈ ．在 数据 插值 方法 的教 学过 程 中 ，通过 一个 具有 实 际背景 的 问题对 不 同插值 方 法进行 对 比
Ｍａ． ｒ ２０１ Ｏ
文 章编 号 ：１０ — ８ ２ １ ０ ７ ９３ １（ ００）０—０ ６ ０ ２ ０８— ３
数值分析 中插值法 的教学实践研究
李 军成
（ 湖南 人文科 技学 院 数 学系 ，湖 南 娄底 ４７０ １００）
摘 要 ：插 值 方法是 数值 分析 中的 最基 本 方法之 一．在 插值 法 的教 学过程 中采 用任 务驱 动教 学法 ， 即通过一个具有实际背景的问题对不同插值方法进行对比分析 ，不仅能使学生深刻理解各种插值
arcgis中七种插值方法的对比分析
反距离权重法的工作原理反距离权重(IDW) 插值使用一组采样点的线性权重组合来确定像元值。
权重是一种反距离函数。
进行插值处理的表面应当是具有局部因变量的表面。
此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。
例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。
使用幂参数控制影响反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。
幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。
幂参数是一个正实数，默认值为2。
通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。
因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。
随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。
指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。
由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。
作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。
此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。
可将所产生的最小平均绝对误差最低的幂值视为最佳幂值。
ArcGIS Geostatistical Analyst 扩展模块提供了一种研究此问题的方法。
1. 3限制用于插值的点也可通过限制计算每个输出像元值时所使用的输入点，控制内插表面的特性。
限制经考虑的输入点数可加快处理速度。
此外，由于距正在进行预测的像元位置较远的输入点的空间相关性可能较差或不存在，因此有理由将其从计算中去除。
可直接指定要使用的点数，也可指定会将点包括到插值内的固定半径。
2. 4可变搜索半径可以使用可变搜索半径来指定在计算内插像元值时所使用的点数，这样一来，用于各内插像元的半径距离将有所不同，而具体情况将取决于必须在各内插像元周围搜索多长距离才能达到指定的输入点数。
由此将导致一些邻域较小而另一些邻域较大，这是由位于内插像元附近的测量点的密度所决定的。
另外，也可指定搜索半径不得超出的最大距离（以地图单位为单位）。
多项式插值法和拉格朗日插值
多项式插值法和拉格朗日插值教案一多项式插值法和拉格朗日插值基本内容提要1 多项式插值法的基本概念2 插值多项式的存在性与唯一性分析3 拉格朗日插值多项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求1 熟练掌握多项式插值法的基本概念2 理解插值多项式的存在性与唯一性3 掌握拉格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法6 掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程教学重点1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造2 拉格朗日插值多项式的截断误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析2 插值误差的分析与估计3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。
基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。
§2.1 多项式插值2.1.1 基本概念假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。
(2.1)把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0数）， f(x)称为被插函数。
[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法。
如果P(x)为m次多项式Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,则称该插值法为多项式插值；如果P(x)为三角多项式，则称为三角插值；如果P(x)为分段多项式，则称为分段插值。
网格插值方法的背景及原理
过各种网格插值方法的背景及原理：1 反距离加权插值法反距离加权插值法(Inverse Distance to a Power)首先是由气象学家和地质工作者提出的，后来由于D．Shepard的工作被称为谢别德法（Shepard方法），它的基本原理是设平面上分布一系列离散点，己知其位置坐标(xi,yi)和属性值zi(i=1，2，…)，p(x,y)为任一格网点，根据周围离散点的属性值，通过距离加权插值求P点属性值。
距离加权插值法综合了泰森多边形的邻近点法和多元回归法的渐变方法的长处，它假设P点的属性值是在局部邻域内中所有数据点的距离加权平均值，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
周围点与P点因分布位置的差异，对P(z)影响不同，我们把这种影响称为权函数wi(x,y)，方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额；对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时，给予一个特定数据点的权值，与指定方次的结点到观测点的距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1．0。
当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1．0的权重。
所有其它观测点被给予一个几乎为0．0的权重。
2 克里金插值法克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以法国D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
第一讲插值与拟合
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可以用范德蒙行列式和克莱姆法 则证明(习题集第一章最后一题)：
在x0, x1, …, xn处取值y0, y1, …, yn 的多项式存在且唯一，即插值问题的 解唯一存在。
常 用 的 插 值 方 法 有 Lagrange 插 值法和Newton插值法。
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2. 高次插值的Runge现象 在研究插值问题的初期，所有人
插 值 结 果 ， x,y 和 xi,yi 通 常 为 向 量 ； 'method' 表 示 插 值 方 法 ： 'nearest'— 最 邻 近 插 值 ， 'linear'— 线 性 插 值 ， 'spline'—三次样条插值，'cubic'—立
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方插值，缺省为线性插值。
例1Matlab程序 x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 1 8 15 13]; x1=13; y1=interp1(x,y,x1,'spline') xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); plot(x,y, '*',xi,yi)
成的软件和程序不可能解决建模中的
所有问题。通过上机训练，掌握一些
基本编程和计算技能(如用Matlab做
数据处理、画图, 用Maple做简单的
解析计算)，对于参加建模竞赛是绝
对必要的。
2020/4/7
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上机前，培训老师会布置上机练
习，提供相关软件或程序，讲解关键
步骤和程序语句。上机过程中，辅导
计算方法插值法(一)
高次插值通常优于 低次插值
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2.1.2 拉格朗日n次插值多项式
线性插值
L1(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
二次插值
L2 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
助教：赵渊明
上机实习作业
１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做 零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议） （一般是周三）。 ２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图 ３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并 复制结果）。 ４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、 报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列 出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做 零分处理。 5. 编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。
y0
(x ( x1
x0 )( x x2) x0 )( x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
y2
n次插值
Ln (x)
(x x1)( x x2)(x xn ) (x0 x1)( x0 x2 )(x0 xn )
y0
(x x0)( x x2)(x xn ) (x1 x0 )( x1 x2 )(x1 xn )
教学安排
1、1-18周，每周五课堂教学，逢双周五上机实习。 2、最终成绩由期中考试(30%)、期末考试(30%)、上机作业（8次） ＋课堂出勤率(40%)三部分组成。 3、上机作业及考试通知等发到公邮中。