ppt版本——哈工大版理论力学课件(全套)08
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理论力学 5
三、平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，
我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示。因此图形S 的位 置决定于 xA, yA, 三个 独立的参变量。所以
理论力学
6
xA f1(t) 平面运动方程 yA f2(t) f3(t) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 在该瞬时的位置也就确定了。
平面图形S，某瞬时其上一点A速度vA , 图形角速度，沿vA 方向取半直线AL, 然后
o
度 AP vA/
则：vPvAvPA
. vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向 所以
vP 0
理论力学 15
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
P
vA
O A
AB
B P
vB
③ 已知某瞬时图形上A,B两点速度 vA,vB 的大小,且 vA AB, vB AB
vA vB (a) vA 与vB同向，
AB v , A vB (b) vA 与vB 反向 AB
来自百度文库
(a)
理论力学
(b)
17
④ 已知某瞬时图形上A，B两点的速度方向相同，且不与 AB连线垂直。此时, 图形的瞬心在无穷远处，图形的角
此瞬时AB 杆上各点的速度都相等。 但各点的加速度并不 相等。设为匀角速，则
aA aA OA2()
n
vA
O
A
vB
B
a 而 aA 的方向沿AO的， B
理论力学
aA 瞬时平移与平移不同
19
确定瞬心的一般方法：
P
P vB B vA A
A B
P
vA vB
A
vA
AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动，
而是平面运动。
理论力学
3
理论力学
4
二、平面运动的简化
刚体的平面运动 简 化
到固定平面 Ⅰ的距离不变
平面图形S在与Ⅰ 平行的平面Ⅱ内运动
平面图形S在其 自身平面内的运动
研究平面运动
不需考虑刚体的形状和尺寸，只 需研究平面图形的运动，确定平 面图形上各点的速度和加速度。
vC
理论力学
31
平面机构
理论力学
32
[例7] 平面机构中, 楔块M: a =30º ,v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动。求圆盘的 及轴O的速度和B点速度。
解：杆OC, 楔块M作平移,圆盘作平面运动， 由vA及vO方位可确定P为盘的速度瞬心。
vAv12cm/s ,
A
B
vB
vA
A
B
vA
vB
B vB
P
理论力学
20
４.速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时
转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 大小 vAAP ；方向AP，指向与 一致。 ５.注意的问题 ①速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心的速度为零, 其加速度一定不为零，不同于定轴转动。 ③刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
平面图形内点的速度分析
一、基点法（速度合成法） 已知：图形S内一点A的速度vA ，
图形角速度。求 vB 。
取A为基点, 将动系铰结于A点， 动系随基点作平移。 取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成，va vB;ve vA;vr vBA, 其中vBA大小：vBA=BA·；垂直BA并指向与 转向一致。 根据速度合成定理 va ve vr, 则Ｂ点速度为：
[例6] 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄与水平线成30º 角时，连 杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30º角。试求 图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。
解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
AB
1 PA
研究 AB，以 A为基点，且vA l , 方向如图示。 根据 vBvAvBA, 在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。 vB vA/cos l/cos45 2l()
vBAvAtgltg45l ABvBA/ABl/l （
理论力学
）
23
速度投影法 研究AB, 方向OA, vB方向沿BO直线 根据速度投影定理 vBAB vAAB
A
CACO 1 O 1A0.1866m
O2
CD CA AD 0.2366m vD CDABD 0.254m/s
理论力学
CA
ABD
C
27
[例5] 图示机构，已知曲柄OA的角速度为，角a = b = 60º , OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，求滑块C的速度。 解：AB和BC作平面运动， 其瞬心分别为P1和P2点，则
3r 3
P2
vC
30
理论力学
特别提示 每个作平面运动的刚体在 每一瞬时都有自己的速度瞬心 和角速度，并且瞬心在刚体或 其扩展部分上，不能认为瞬心 在其他刚体上。 例如, AB杆的 瞬心在P1点，BC杆的瞬心在P2
C O D 30º
vA
A 30º
P1
AB
B
vB
BC
P2
点，而且P1也不是DB杆上的点。
度是一定不相同的，不同于刚体作平移。
理论力学
21
[例1] 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径 为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。 解：很显然速度瞬心在轮子与地 面的接触点即A1
A4
A3
vA3
A2
vA1 0 vO r v
各点的速度方向分别为各点 与A1点连线的垂线方向，转向与 相同，由此可见车轮顶点的速 度最快，最下面点的速度为零。
理论力学
lim
t0
;
,
10
刚体的平面运动 分
随基点的平移
解 绕基点的转动
合成
基 点
运动规律与基 点的选择有关
、与
基点无关
运动规律与基 点的选择无关
任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点
理论力学 11
曲柄连杆机构 AB杆作平面运动 平面运动的分解
理论力学
12
§8-2
理论力学
1
§8-1
刚体平面运动概述
合成
简单 运动
刚体的平行移动 刚体的定轴转动
刚体的平面运动
分解
复杂 运动
一、平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终
保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的
某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。
理论力学
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，
理论力学 24
）
行星齿轮机构
理论力学
25
[例3] 行星齿轮机构。已知: R, r , o 轮A作纯滚动，轮O不动。 求 vM1,vM 2 。
。
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
vA(Rr)or
Rr o r
(
）
vM1PM1 2r
vM2PM22r
xA, yA,， 图形S
四、平面运动分解为平移和转动 当图形S 上Ａ点不动时， 则刚体作定轴转动； 当图形 S上角不变时， 则刚体作平移。 故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
理论力学 7
例如
车轮的运动
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动
3.几种确定速度瞬心位置的方法 ① 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动（称为纯滚动）, 则图形与固定面的接
触点P为速度瞬心。
② 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度vA,vB 的方向，且vA 不平行 vB 。 过A, B两点分别作速度 vA,vB的垂线,交点 P即为该瞬时的速度瞬心。
理论力学
16
vBAB vAAB
—速度投影定理
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。这种
求解速度的方法称为 速度投影法。（对任意一个刚体均成立）
理论力学 14
三、速度瞬心法 1.问题的提出
若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化。于是，自然会提出，在某一瞬时图形（或其扩展部分） 是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ 2.速度瞬心的概念
vA
ABcos30
r 3l
2 3r vA
A O 30º
D 30º
P
1 vB PBAB ABsin30 AB
AB1
B
l 2 3r 3 r 2 3l 3
连杆BC作平面运动，瞬心在P2点，则
vB
BC
C
BC
3r vB PB 3l 2
vC PCBC 2
P1
vA OA r AB vA r PA r 1
vB PBAB r 1
vB 3r 1r 3
vA
O A
AB
B
a
vB
b
O1
C
vC
BC
P2 B
BC
P2
vC PCBC 2
理论力学
3 r 3
28
曲柄肘杆压床机构
理论力学
29
vA4
O
vO
vA2
A1
vA vA 2r
2 4
2v
vA3 2r 2v
理论力学
22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 解：机构中，OA作定轴转动，AB作 平面运动，滑块B作平移。 基点法
理论力学
( PB)
33
比较上述两图可以看出，不能认为圆轮只滚
9
再例如: 平面图形S在t 时间内从位置I运动到位置II
①以A为基点: 随基点A平移到A'B''后, 绕基点转 1角到A'B'； ② 以B为基点: 随基点B平移到A''B'后, 绕基点转 2角到A'B'。
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 ；于是有
lim
vAvBcos vBvA/cos l/cos45 2l() 不能求出AB 速度瞬心法
研究AB，已知vA,vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
vAl,APl AB vA/APl/l（ vB BP AB 2l()
试比较上述三种方法的特点。
（绝对运动）
三种运动都 是刚体运动
动系Ax y 相对静系的平移 （牵连运动）
车轮相对动系Ax y 的转动 （相对运动）
理论力学
8
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以分
解为随基点的平移（牵
连运动）和绕基点的转 动（相对运动）。 车轮的平面运动
随基点A的平移
理论力学
绕基点A'的转动
vB vA vBA
理论力学 13
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基
点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称
为速度合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。 二、速度投影法（对任意一个刚体均成立） 由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系。由于恒有 vBAAB ，因此将上式在 AB上投影，有
vA
PA
12 rcosa
12 4cos300
2 3 rad/s (）
voPOrsina4sin302 34 3 m/s()
PB PO2 OB2 2POOBcos120 22 42 224 1 2 7m 2
vB PB 2 72 3 4 2118.3 m/s
Rr o 2(Rr)o, r
Rr o2(Rr)o,方向均如图示 r
理论力学
26
[例4]图示曲柄连杆机构中连杆AB上固连一块三角板ABD，机 构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为＝2rad/s，曲柄 O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2 时，AB∥O1O2 ，且AD与AO1在同一直线上， =30º 。试求三 vD D 解：运动分析：O1A和O2B作定轴转动；vA
速度 =0。于是 图形上各点的速度在该瞬时相等, 这种情况称为瞬时平移。 特别注意瞬时平移在此瞬时各点的速度相等，刚体的角速度 为零，但各点的加速度并不相等，角加速度不等于零。
vA
O
A
vB
B
理论力学
18
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆AB作瞬时平移。
此时连杆AB的图形角速度AB0 ，
三、平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，
我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示。因此图形S 的位 置决定于 xA, yA, 三个 独立的参变量。所以
理论力学
6
xA f1(t) 平面运动方程 yA f2(t) f3(t) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 在该瞬时的位置也就确定了。
平面图形S，某瞬时其上一点A速度vA , 图形角速度，沿vA 方向取半直线AL, 然后
o
度 AP vA/
则：vPvAvPA
. vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向 所以
vP 0
理论力学 15
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
P
vA
O A
AB
B P
vB
③ 已知某瞬时图形上A,B两点速度 vA,vB 的大小,且 vA AB, vB AB
vA vB (a) vA 与vB同向，
AB v , A vB (b) vA 与vB 反向 AB
来自百度文库
(a)
理论力学
(b)
17
④ 已知某瞬时图形上A，B两点的速度方向相同，且不与 AB连线垂直。此时, 图形的瞬心在无穷远处，图形的角
此瞬时AB 杆上各点的速度都相等。 但各点的加速度并不 相等。设为匀角速，则
aA aA OA2()
n
vA
O
A
vB
B
a 而 aA 的方向沿AO的， B
理论力学
aA 瞬时平移与平移不同
19
确定瞬心的一般方法：
P
P vB B vA A
A B
P
vA vB
A
vA
AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动，
而是平面运动。
理论力学
3
理论力学
4
二、平面运动的简化
刚体的平面运动 简 化
到固定平面 Ⅰ的距离不变
平面图形S在与Ⅰ 平行的平面Ⅱ内运动
平面图形S在其 自身平面内的运动
研究平面运动
不需考虑刚体的形状和尺寸，只 需研究平面图形的运动，确定平 面图形上各点的速度和加速度。
vC
理论力学
31
平面机构
理论力学
32
[例7] 平面机构中, 楔块M: a =30º ,v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动。求圆盘的 及轴O的速度和B点速度。
解：杆OC, 楔块M作平移,圆盘作平面运动， 由vA及vO方位可确定P为盘的速度瞬心。
vAv12cm/s ,
A
B
vB
vA
A
B
vA
vB
B vB
P
理论力学
20
４.速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时
转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 大小 vAAP ；方向AP，指向与 一致。 ５.注意的问题 ①速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心的速度为零, 其加速度一定不为零，不同于定轴转动。 ③刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
平面图形内点的速度分析
一、基点法（速度合成法） 已知：图形S内一点A的速度vA ，
图形角速度。求 vB 。
取A为基点, 将动系铰结于A点， 动系随基点作平移。 取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成，va vB;ve vA;vr vBA, 其中vBA大小：vBA=BA·；垂直BA并指向与 转向一致。 根据速度合成定理 va ve vr, 则Ｂ点速度为：
[例6] 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄与水平线成30º 角时，连 杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30º角。试求 图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。
解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
AB
1 PA
研究 AB，以 A为基点，且vA l , 方向如图示。 根据 vBvAvBA, 在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。 vB vA/cos l/cos45 2l()
vBAvAtgltg45l ABvBA/ABl/l （
理论力学
）
23
速度投影法 研究AB, 方向OA, vB方向沿BO直线 根据速度投影定理 vBAB vAAB
A
CACO 1 O 1A0.1866m
O2
CD CA AD 0.2366m vD CDABD 0.254m/s
理论力学
CA
ABD
C
27
[例5] 图示机构，已知曲柄OA的角速度为，角a = b = 60º , OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，求滑块C的速度。 解：AB和BC作平面运动， 其瞬心分别为P1和P2点，则
3r 3
P2
vC
30
理论力学
特别提示 每个作平面运动的刚体在 每一瞬时都有自己的速度瞬心 和角速度，并且瞬心在刚体或 其扩展部分上，不能认为瞬心 在其他刚体上。 例如, AB杆的 瞬心在P1点，BC杆的瞬心在P2
C O D 30º
vA
A 30º
P1
AB
B
vB
BC
P2
点，而且P1也不是DB杆上的点。
度是一定不相同的，不同于刚体作平移。
理论力学
21
[例1] 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径 为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。 解：很显然速度瞬心在轮子与地 面的接触点即A1
A4
A3
vA3
A2
vA1 0 vO r v
各点的速度方向分别为各点 与A1点连线的垂线方向，转向与 相同，由此可见车轮顶点的速 度最快，最下面点的速度为零。
理论力学
lim
t0
;
,
10
刚体的平面运动 分
随基点的平移
解 绕基点的转动
合成
基 点
运动规律与基 点的选择有关
、与
基点无关
运动规律与基 点的选择无关
任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点
理论力学 11
曲柄连杆机构 AB杆作平面运动 平面运动的分解
理论力学
12
§8-2
理论力学
1
§8-1
刚体平面运动概述
合成
简单 运动
刚体的平行移动 刚体的定轴转动
刚体的平面运动
分解
复杂 运动
一、平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终
保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的
某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。
理论力学
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，
理论力学 24
）
行星齿轮机构
理论力学
25
[例3] 行星齿轮机构。已知: R, r , o 轮A作纯滚动，轮O不动。 求 vM1,vM 2 。
。
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
vA(Rr)or
Rr o r
(
）
vM1PM1 2r
vM2PM22r
xA, yA,， 图形S
四、平面运动分解为平移和转动 当图形S 上Ａ点不动时， 则刚体作定轴转动； 当图形 S上角不变时， 则刚体作平移。 故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
理论力学 7
例如
车轮的运动
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动
3.几种确定速度瞬心位置的方法 ① 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动（称为纯滚动）, 则图形与固定面的接
触点P为速度瞬心。
② 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度vA,vB 的方向，且vA 不平行 vB 。 过A, B两点分别作速度 vA,vB的垂线,交点 P即为该瞬时的速度瞬心。
理论力学
16
vBAB vAAB
—速度投影定理
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。这种
求解速度的方法称为 速度投影法。（对任意一个刚体均成立）
理论力学 14
三、速度瞬心法 1.问题的提出
若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化。于是，自然会提出，在某一瞬时图形（或其扩展部分） 是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ 2.速度瞬心的概念
vA
ABcos30
r 3l
2 3r vA
A O 30º
D 30º
P
1 vB PBAB ABsin30 AB
AB1
B
l 2 3r 3 r 2 3l 3
连杆BC作平面运动，瞬心在P2点，则
vB
BC
C
BC
3r vB PB 3l 2
vC PCBC 2
P1
vA OA r AB vA r PA r 1
vB PBAB r 1
vB 3r 1r 3
vA
O A
AB
B
a
vB
b
O1
C
vC
BC
P2 B
BC
P2
vC PCBC 2
理论力学
3 r 3
28
曲柄肘杆压床机构
理论力学
29
vA4
O
vO
vA2
A1
vA vA 2r
2 4
2v
vA3 2r 2v
理论力学
22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 解：机构中，OA作定轴转动，AB作 平面运动，滑块B作平移。 基点法
理论力学
( PB)
33
比较上述两图可以看出，不能认为圆轮只滚
9
再例如: 平面图形S在t 时间内从位置I运动到位置II
①以A为基点: 随基点A平移到A'B''后, 绕基点转 1角到A'B'； ② 以B为基点: 随基点B平移到A''B'后, 绕基点转 2角到A'B'。
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 ；于是有
lim
vAvBcos vBvA/cos l/cos45 2l() 不能求出AB 速度瞬心法
研究AB，已知vA,vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
vAl,APl AB vA/APl/l（ vB BP AB 2l()
试比较上述三种方法的特点。
（绝对运动）
三种运动都 是刚体运动
动系Ax y 相对静系的平移 （牵连运动）
车轮相对动系Ax y 的转动 （相对运动）
理论力学
8
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以分
解为随基点的平移（牵
连运动）和绕基点的转 动（相对运动）。 车轮的平面运动
随基点A的平移
理论力学
绕基点A'的转动
vB vA vBA
理论力学 13
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基
点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称
为速度合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。 二、速度投影法（对任意一个刚体均成立） 由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系。由于恒有 vBAAB ，因此将上式在 AB上投影，有
vA
PA
12 rcosa
12 4cos300
2 3 rad/s (）
voPOrsina4sin302 34 3 m/s()
PB PO2 OB2 2POOBcos120 22 42 224 1 2 7m 2
vB PB 2 72 3 4 2118.3 m/s
Rr o 2(Rr)o, r
Rr o2(Rr)o,方向均如图示 r
理论力学
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[例4]图示曲柄连杆机构中连杆AB上固连一块三角板ABD，机 构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为＝2rad/s，曲柄 O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2 时，AB∥O1O2 ，且AD与AO1在同一直线上， =30º 。试求三 vD D 解：运动分析：O1A和O2B作定轴转动；vA
速度 =0。于是 图形上各点的速度在该瞬时相等, 这种情况称为瞬时平移。 特别注意瞬时平移在此瞬时各点的速度相等，刚体的角速度 为零，但各点的加速度并不相等，角加速度不等于零。
vA
O
A
vB
B
理论力学
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例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆AB作瞬时平移。
此时连杆AB的图形角速度AB0 ，