2012年第17届华杯赛高年级组决赛A卷详解
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是 ◆答案：1- ★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=， 故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M ==所以 1.M ≤=≤当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值 为 ◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为 正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠= ,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==, 故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为 ◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
2012华杯赛决赛冲刺班习题高年级组(详解版)
312 < 1163 < 37 2 ，则只需判断 31 以内的质数是否存在 1163 的约数就能判断 1163 是否为质数.
7.
（14 届华杯决赛） 已知三个合数 A,B,C 两两互质, 且 A×B×C=11011×28, 那么 A+B+C 的最大值为 【考点】数论，约倍质合 【答案】1626 【难度】☆☆ 【分析】 A × B × C = 11011 × 28 = 22 × 72 × 112 × 13 = (112 × 13) × 7 2 × 22 = 1573 × 49 × 4 对应 A + B + C = 1626 （13 届华杯决赛） 将六个自然数 14, 20, 33, 117, 143, 175 分组, 如果要求每组中的任意两个数都互质, 则至少需要将 这些数分成 组. 【考点】数论&组合，约倍质合&最值 【答案】3 【难度】☆☆ 【分析】由于 14 = 2 × 7 ， 20 = 22 × 5 ， 175 = 52 × 7 ，这三个数两两不互质，所以至少要分成 3 组； 例如： （14,33）为一组， （20,117）为一组， （143,175）为一组.
S ∆OBC OC 3 1 25 = = ⇒ S∆OAB = 25a ，则有 9a + 15a + 15a + 25a = 4 ⇒ a = ⇒ S∆OAB = 25a = S∆OAB OA 5 16 16
14. （12 届华杯决赛） 用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体, 从上向下看这个立体, 如下图 a, 从正面看这个立体, 如下图 b, 则这个立体的表面积最多是________.
3 2012 年华杯赛决赛冲刺班高年级组（北分教研出品）
历届华杯赛决赛试题剖析--第五讲(第十七届)
历届华杯赛决赛试题剖析5华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学组）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A 参考答案（小学高年级组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 答案：是.解答. 连接AC . 则ECKB CEB BCK S S S ∆∆=+CEB BCA S S ∆∆=+ACE S ∆=EAD S ∆=所以ECKB OBE EAD OBE S S S S ∆∆∆-=-.因此.ECKO ABOD S S = 即四边形ABOD 的面积=四边形ECKO 的面积.10. 答案：能解答. 首先构造45⨯的长方形如下:然后用50个45⨯的即可拼成2005⨯的长方形.11. 答案：2025, 3025, 9801.解答. 设一个四位卡布列克怪数为 100x y +, 其中1099,099x y ≤≤≤≤. 则由题意知2100()x y x y +=+, 两边模99得2()(mod99)x y x y +=+,因此 99|()(1)x y x y ++-, 故x y +与1x y +-中有一个能被9整除, 也有一个能被11整除（可能是同一个数）, 且有22210()100100x y x y ≤+=+<，即10100x y ≤+<. （*）若x y +能被99整除，由（*）知x y +只能是99，满足条件的四位数是9801；若x y +－1能被99整除，由（*）, 显然没有满足条件的四位数；此外，可设x y +＝9m ，x y +－1＝11n ，则有9m -11n =1, 由（*）, m 和n 均为小于12的正整数，故得到m ＝5，n ＝4， x y +只能是45，满足条件的四位数是2025；反之，可设x y +－1＝9m ，x y +＝11n ，满足条件的四位数是3025.故四位数中有三个卡布列克怪数, 它们分别为2025, 3025和9801.12. 答案：1或2解答. 对于质数3, 23 被3整除. 其余的质数, 要么是31k +型的数, 要么是32k +型的数. 由于22(31)9613(32)1,k k k k k +=++=++被3除余1, 且222(32)91243(341)1k k k k k +=++=+++,被3除也余1. 因此有（1）若这98个质数包含3时, N 被3除的余数等于97被3除的余数, 等于1. （2）若这98个质数不包含3时, N 被3除的余数等于98被3除的余数, 等于2.三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 答案：18,11,9,3解答. 设起跑时间为0秒时刻, 则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为]9,0[, ]972,972[+-k k , ,3,2,1=k ,和]10,0[, ]1080,1080[+-m m , ,3,2,1=m .其中 [a , b ] 表示第a 秒时刻至第b 秒时刻. 显然 ]9,0[ 即前9秒里两类时间段的公共部分. 此外, 考虑]972,972[+-k k 和]1080,1080[+-m m 的公共区间, m k ,为正整数, 分两种情况:1) m k 8072=, 即小李和小张分别跑了k 圈和m 圈同时回到起点, 他们二人同时在划定区域跑了18秒.2) m k 8072≠, 例如10809721080972+≤+≤-≤-m k m k ⇔1972801≤-≤k m ①.两人同时在划定区域内跑了)1080(972--+m k )7280(19k m --=. 由①知87280=-k m , 16. 于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒. 其它情况类似可得同样结果.综上, 答案为18,11,9,3.14. 答案: 150解答. 设立方体的长, 宽, 高分别为x y z ,,, 其中z y x ≤≤, 且为整数. 注意, 两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现.如果1,1==y x , 则没有两面为红色的立方块, 不符合题意. 如果1,1>=y x , 则没有只有一面为红色的立方块, 不符合题意.因此2≥x . 此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱. 一面出现红色的方块只与立方体的面共面. 有下面的式子成立40)]2()2()2[(4=-+-+-⨯z y x , （1）66)]2)(2()2)(2()2)(2[(2=--+--+--⨯z y z x y x . （2）由（1）得到16=++z y x , （3）由（2）得到85=++yz xz xy . （4）由（3）和（4）可得，86222=++z y x ，这样 9,,1≤≤z y x . 由（4）得到285))((x z x y x +=++. （5）若2=x , 则由（5）得到89189485)2)(2(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能满足（3）.若3=x , 则由（5）得到47294985)3)(3(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能满足（3）.若4=x , 则由（5）得到10111011685)4)(4(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能满足（3）.当5=x 时, 由（5）得到11521102585)5)(5(⨯⨯==+=++z y , 此时6,5==z y 满足条件.如果6≥x , 则18≥++z y x , 与（3）矛盾.综上, 6,5,5===z y x 是问题的解, 这是长方体的体积为150.。
第17届“华杯赛”笔试决赛初一组试题B及参考答案
三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 答案：最大值为 503，最小值为 14. 罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题 B 参考答案 （初一组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分）
题号 答案 1 2 2 3 93.75 4 805.4 5 40 6 671 7 4 8 4396
88 211
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） .
.
5. 如右图，四边形 MAOB 与 NAOB, 且 S 四边形 MAOB
＝40, 点 P 在线段 MN 上， 则 S 四边形 PAOB 的面积等
＝S 四边形 NAOB 于 .
6. 设 m 2 n n 2 . 当 n 取 1, 2, , 2012 时, 能被 6 整除的 m 有
个.
7. 一个学校选出 5 个年级共 8 个班, 从每个班至少选出一名学生, 则在这些选出的学生中 , 至少有 名学生 , 他们的同班同学比他们的同年级同学少.
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题 B(初一组)
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题 B（初一组）
（时间: 2012 年 4 月 21 日 10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
1 2 (2) (1) | 12 | 2 = 1. 计算： 1 2 2 [1 3 2 (2)] 4
1 . 两台抽水机同时向水池注水, 当水池的 18
2 时, 第一台抽水机开始单独向水池注水, 用时 81 分钟, 所注入的 9
2012年—2015五届华杯赛小高年级组试题及答案
2012年第十七届华杯赛小高年级组初赛试题答案第1题：176第2题：865第3题：3721第4题：3第5题：120第6题：60第7题：75第8题：2012第9题：6第10题：40442013第十八届华杯赛决赛小学高年级组试题A卷2013-04-25 14:23:54 来源：华杯赛官网2013第十八届“华杯赛”笔试决赛已经结束，全国试卷小高组分A、B、C卷外，其余组别都是分A、B卷，杭州智康1对1整理了第十八届“华杯赛”决赛所有试题及答案解析。
∙2014年第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷B （小学高年级组）（时间: 2013 年3 月23 日10:00 ~ 11:00）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 一个四位数, 各位数字互不相同, 所有数字之和等于6, 并且这个数是11 的倍数, 则满足这种要求的四位数共有（ ）个.（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【答案】A【解析】四个数字互不相同，且和为6，只能是0、1、2、3；又知这个四位数是11的倍数，所以奇数位的数字和和偶数位的数字和都是3，只能是0+3=1+2； 千位可能是1、2、3；确定千位后十位也随之确定。
每个对应的个位和百位有2种可能；共有6种。
2. 932232332333+⨯+⨯⨯++⨯⨯⨯⨯个个位数字是（ ）. ?? ?????（A ）2 （B ）8 （C ）4 （D ）6【答案】B【解析】式子为10个数相加，这10个数的个位分别是2、6、8、4、2、6、8、4、2、6；易得和的个位是83. 在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（ ）中的三角形.（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】图中①、②、③三边应为顺时针关系，B 不合要求。
4. 某日, 甲学校买了56 千克水果糖, 每千克8.06 元. 过了几日, 乙学校也需要买同样的56 千克水果糖, 不过正好赶上促销活动, 每千克水果糖降价0.56 元, 而且只要买水果糖都会额外赠送5% 同样的水果糖. 那么乙学校将比甲学校少花（ ）元.（A ）20 （B ）51.36 （C ）31.36 （D ）10.36【答案】B【解析】甲花的钱是8.0656451.36⨯=元 乙花的钱是568.060.56=4001+5%-⨯（）元；差是451.36-400=51.36元5. 甲、乙两仓的稻谷数量一样, 爸爸, 妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要10 天, 12 天和15 天. 爸爸妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷, 阳阳先帮妈妈, 后帮爸爸, 结果同时运完两仓稻谷, 那么阳阳帮妈妈运了（ ）天.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C【解析】三人的效率分别是111101215，，；共同运了2仓稻谷，需要1112++=8101215÷（）天；妈妈运了1仓稻谷的812；小明帮妈妈运了412，需要5天； 6. 如图, 将长度为9 的线段AB 分成9 等份, 那么图中所有线段的长度的总和是（ ）.（A ）132 （B ）144 （C ）156 （D ）165【答案】D【解析】图中长度为1的线段有9条，长度为2的线段有8条，……1×9+2×8+3×7+…+9×1=165二、填空题(每小题 10 分, 满分40 分)7. 将乘积0.2430.325233⨯化为小数, 小数点后第2013 位的数字是________.【答案】9 【解析】243325233-3927879371079110.2430.325233====0.079119999999903727999991099999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 循环节有5位，2013≡3（mod5），第2013位和第3位一样，是9.8. 一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬, 它每向上爬3 米, 因为井壁打滑, 就会下滑1 米, 下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一. 8 点17 分时, 青蛙第二次爬至离井口3 米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为________分钟.【答案】22【解析】青蛙的运动状态如下图所示，从开始到第二次离井口3米的时间为17份，爬到井口的时间为22份。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
2012华杯赛初赛高年级组真题解析2
1
6．如右图所示，由“华”开始至“杯”结束，构成“华罗庚金杯”这五个字的不同路径共_____条(每步只能由一个字走到它上下左右相邻的某个字)。
7．A 、B 两地相距300米。
甲从A 出发，匀速向B 行走；乙、丙从B 出发，匀速向A 行走(三人未必同时出发)。
甲走了100米时与乙相遇，又走100米与丙相遇。
结果三人同时到达各自的目的地。
当这三个人中速度最快的人出发时，另两个人相距______米。
8．如右图所示，三角形ABC 为等边三角形，四边形CBDE 为正方形，且BC ＝2012厘米。
已知正方形CBDE 内有一点F (图中未标出)，满足AF ＝DF ＝EF ，则AF 的长是__________厘米。
9．甲、乙两人轮流从1～17这17个数中标记数。
规定：
⑴每次标记一个数；
⑵不能标记已标记的数；
⑶不能标记已标记数的2倍 ⑷不能标记已标记数的1
2倍
⑸谁没有数可标记谁就输
现在甲先标记了8，乙要保证自己必胜，乙接着应该标记_______。
10．[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ]，已知3[x ]－17{x }＝2012，那么，满足条件的x 的和是_____。
第17届学而思华杯赛模拟题
5.
6.
A．41 B．50 C．59 D．68 从小强家到商店来回都必须经过一个税收站， 每次通过此站都要上交自己身上所带现金
1
2012 年华罗庚金杯高年级组初试网上模拟测试
1 的 ．一天，小强拿着 900 元去商店买彩电，到商店后发现彩电的价格也是 900 元，于 3
是只好回家去取钱．如果小强总是把钱带在身上，并且当小强买完彩电最后回到家时， 身上还剩下 200 元．那么小强从家里取了________元． A．750 B．950 C．1200 D．1400
2
二、填空题(每题 10 分，共 40 分) 7.
5 9 19 3 5.22 1993 0.1 0.4 10 计算： 9 ( ) =________． 5 27 19 6 5.22 1995 0.5 1995 9 50
8.
一辆自行车下坡的速度为 12 千米/小时，在平地上的速度为 8 千米/小时，上坡的速度 为 6 千米/小时，从 A 地到 B 地先要上坡，然后平坡，最后下坡．现在知道这辆自行车 从 A 地到 B 地用了 1 小时，而返程用了 1 小时 30 分钟，那么 AB 两地相距________千 米． 如图，P 是五边形 ABCDE 内一点，AB=3 厘米，BP=4 厘米，AP=5 厘米．若 AE∥BP， PD∥BE，ED∥BC，则三角形 CDE 的面积是________平方厘米．
9.
10. 甲、乙两人预定 12 天共同完成某项工作，但两人工作到剩下 6 天时，发现仅由他们二 人不能如期完成，于是请丙一起来做，三人做了 6 天完成了预定的工作．如果此项工作 让甲、乙单独来做完成的天数之比为 2:3，让甲、丙合作与让乙、丙合作完成的天数之 比为 7:8．如果一开始就让甲、乙、丙三人一起做，需要________天完成．
2012年第十七届华杯赛小高组初赛详解
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2．以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（ A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】几何计数
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）个三角形．
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4．图中的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正 好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（ ） ． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 【考点】立体展开图 【难度】☆☆☆ 【答案】D 【解析】正方体的展开图，试着自己画一画．有 11 种， （6 种“141” ，3 种“231” ， 1 种“33” ，1 种“222” ．如图：
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6．右图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（ A．83 B．79 C．72 D．65
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【解析】根据弃九法 ABC DEF HIJ 2HIJ 被 9 整除，所以 HIJ 被 9 整除，观察选项中只有 459 符合条 件，所以答案为 C．
【解析】 连接 EG ， 根据三角形面积的等积代换得 S△AEC S△ACG 6.75 平方厘米，
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又因为 S△ ABC
S△ABE S△AEC S△ABC 6.75 4.5 2.25 平方厘米．
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1 SWABCD 4.5 平方厘米，所以 2
二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分） 7．右图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数，要求上面部分 是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，那么上面部分的三位数是___________．
2012年第十七届华杯赛决赛真题及答案大全
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A及答案（小学中年级组）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1. 若将一个边长为6厘米的正方形盖在一个三角形上, 则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半, 占正方形面积的三分之二.那么这个三角形的面积是________平方厘米.2. 右图是两个两位数的减法竖式, 其中A, B, C, D代表不同的数字.当被减数AB取最大值时,.A×B+(C+E)×(D+F) =_________。
3. 某水池有A,B两个水龙头.如果A,B同时打开需要30分钟可将水池注满.现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水80分钟,也可将水池注满. 如果单独打开B龙头注水, 需要_______分钟才可将水池注满.4. 将六个数1, 3, 5, 7, 9, 11 分别填入右图中的圆圈内（每个仅填一个数）, 使每边上三个数的和都等于17, 则三角形点处的圆圈内所填三数之和为_______。
5.四年级一班用班费购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种文具. 要求购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数多2件, 且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半. 若购买的文具恰好用了66元, 则甲种文具最多可买__________件.6.如右图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有______种不同的走法.7. 一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥, 共用115秒,已知每辆车长6米, 相临两车间隔20米, 则这个车队一共有________辆车.8.有一个长方形, 如果它的长和宽同时增加6厘米, 则面积增加了114平方厘米. 则这个长方形的周长等于_______厘米.二、简答题（每题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9. 扑克牌的点数如图所示，最大是13, 最小是1. 现小明手里有3张点数不同的扑克牌,第一张和第二张扑克牌点数和是25, 第二张和第三张扑克牌点数和是13, 问: 第三张扑克牌的点数是多少？10.下图是一个净化水装置, 水流方向为从A先流向B, 再流到C.原来容器A-B之间有10个流量相同的管道, B-C之间也有10个流量相同的管道.现调换了A-B与B-C之间的一个管道后, 流量每小时增加了40立方米. 问: 通过调整管道布局, 从A到C的流量最大可增加多少立方米？11. 右图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小长方形（含正方形）, 如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1, 四个2, 两个3和一个4, 那么纸板剩下部分的面积最大是多少？12. 有20张卡片,每张上写一个大于0的自然数,且任意9张上写的自然数的和都不大于63. 若称写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”，问：这20张卡片中“龙卡”最多有多少张?所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少?答案一、填空（每题10 分, 共80分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案48 144 120 15 11 6 7 26二、解答下列各题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9. 答案: 1.10.答案: 200.11.答案: 112.12.答案: 7, 61.第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题B及答案（小学中年级组）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1.若将一个边长为8厘米的正方形盖在一个三角形上, 则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半, 占正方形面积的四分之三.那么这个三角形的面积是________平方厘米.2.右图的算式中,每个字母代表一个1至9之间的数，不同的字母代表不同的数字，则A+B+C=________3. 某水池有A,B两个水龙头.如果A,B同时打开需要30分钟可将水池注满.现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水40分钟,也可将水池注满. 如果单独打开B龙头注水, 需要_______分钟才可将水池注满.4. 将六个数1, 3, 5, 7, 9, 11 分别填入右图中的圆圈内（每个仅填一个数）, 使每边上三个数的和都等于19, 则三角形点处的圆圈内所填三数之和为_______。
2012年第十七届华杯赛中年级组初赛(详解)_97
2012年第十七届华杯赛中年级组初赛试卷一、选择题(每小题10 分，满分60分)1.在右面的加法算式中，每个汉字代表一个非零数字，不同的汉字代表不同的数字．当算式成立时，贺＋新＋春＝_________．放鞭炮迎龙年贺新春（A）24（B）22（C）20（D）18【考点】组合，数字谜【答案】D【分析】弃九法．算式中9个汉字，分别代表1~9．由于12345678945++++++++=，45是9的倍数；易知和也是9的倍数，选项中只有D选项18是9的倍数，所以选D．例如：3246579812.北京时间16时，小龙从镜子里看到挂在身后墙上的4块表，如下图，其中最接近16时的是_________．（A）（B）（C）（D）【考点】组合，操作【答案】D【分析】从镜子里看到的指针与实际是左右对称的，可将题中的指针以秒针所在直线为对称轴作对称，可知D选项15:55最接近16时．3.平面上有四个点，任意三个点都不在一条直线上．以这四个点为端点连接六条线段，在所组成的图形中，最少可以形成_________个三角形．（A）3 （B）4 （C）6 （D）8【考点】组合，最值【答案】B【分析】最少4个三角形，如图：4. 在10□10□10□10□10的四个“□”中填入””“”“”““÷⨯-+运算符号各一个，所成的算式最大值是_________．（A ）104 （B ）109 （C ）114 （D ）119【考点】组合，最值【答案】B【分析】最大值为109，1010101010109⨯+-÷=．5. 牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈，则羊圈的最大面积是_________平方米．（A ）100 （B ）108 （C ）112 （D ）122【考点】组合，最值【答案】C【分析】设长方形的长为a ，宽为b ，则230a b +=，推知当215a b ==时，max21515a b ⨯=⨯（），考虑到,a b 均为偶数，调整后max max21416716112a b a b ⨯=⨯⇒⨯=⨯=（）（），因此面积最大为112．6. 小虎在1919⨯的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了_________枚棋子．（A ）285 （B ）171 （C ）95 （D ）57【考点】组合，最值【答案】A【分析】4533531559=⨯⨯=⨯=⨯；当扩充的长方形为59⨯时，原长方形最大为149⨯，共使用199171⨯=个棋子；当扩充的长方形为315⨯时，原长方形最大为1615⨯，共使用1915285⨯=个棋子；二、填空题 (每小题 10 分， 满分40分)7. 三堆小球共有2012颗，如果从每堆取走相同数目的小球以后，第二堆还剩下17颗小球，并且第一堆剩下的小球数是第三堆剩下的2倍，那么第三堆原有_________颗小球．【考点】应用题【答案】665【分析】设每堆取走n 个小球后，分别剩2a ，17，a 个小球；则每堆原来各有2a n +，17n +，a n +个小球；则有：2012(2)(17)()665a n n a n a n =+++++⇒+=，即第三堆原有小球665个．8. 如图所示，计数器三个档上有10个算珠，将每档算珠分成了上下两部分，按数位得到两个三位数，要求上面的三位数的数字不同，且是下面三位数的倍数，那么满足题意的上面的三位数是________．【考点】组合，数字谜【答案】925【分析】两个三位数的和为1110，设上面三位数为abc ，下面三位数为def ，则abc k def =⋅，所以11101k def =+（），所以1k +是1110的约数．111023537=⨯⨯⨯，它大于2、小于10的约数只有3，5，6，经尝试可知，只有当16k +=时满足abc 各位数字不同； 此时11106185def =÷=⇒1855925abc =⨯=．9. 把一块长90厘米，宽42厘米的长方形纸板恰无剩余地剪成边长都是整数厘米、面积都相等的小正方形纸片，最少能剪出_________块，这种剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是_________厘米．【考点】数论，几何【答案】2520【分析】小正方形的边长应为90和42的最大公约数，()90,426=；所以最少能剪出904215710566⨯=⨯=块；所有正方形的边长之和为641052520⨯⨯=厘米．10. 体育馆正在进行乒乓球单打、双打比赛，双打比赛的运动员比单打的运动员多4名，比赛的乒乓球台共有13张，那么双打比赛的运动员有________名．【考点】应用题【答案】20【分析】设进行双打比赛的球台有x 台，单打比赛的球台有y 台，根据题意有：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+8542413y x y x y x 进行双打比赛的人数为5420⨯=人．。
华杯赛初赛备考讲义含解析(小学高年级组)
， ， ， ， 华杯赛初赛备考讲义含解析（小学高年级组）第一节 计算、几何精讲考点概述计算考点 一、整数、小数、分数的基本计算； 二、整数、小数、分数的常见巧算方法；（凑整、抵消、约分、提取公因数、裂项） 三、分数比较大小；（通分子、通分母、通分差、取倒数） 四、分数与循环小数．（纯循环小数化分数、混循环小数化分数）几何考点 一、基本面积公式；（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、扇形） 二、割补法计算面积；三、等积变换； 四、各类几何模型；（等高模型、蝴蝶模型、共角模型、一半模型、沙漏模型、金字塔模型、燕尾模型等） 五、勾股定理与弦图； 六、立体几何．（基本公式、展开图、三视图）真题精讲例题1. 将 5.425 ⨯ 0.63 的积写成小数形式是．（2007 年 12 届）【答案】 3.4180 ．【解答】 5.425=5425 = 5420 ，所以 5.425 ⨯ 0.63= 5420 ⨯ 63 = 34146 =34176 ，999 999 999 100 9990 9990而 4176 =1 ⨯ 4176 =1 ⨯ 4 180 =1⨯ 4.180 = 0.4180 ，所以 5.425 ⨯ 0.63 = 3.4180 ． 9990 10 999 10 999 10例题2. 从 1 1 1 1 1中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与 6最接近，去掉的两个数是 ()．2 3 4 5 67（A ） 1 ， 1 （B ） 1 ， 1 （C ） 1 ， 1 （D ） 1 ， 1（2010 年 15 届）25263534【答案】D ． 【解答】通分1 = 210 , 1 = 140 , 1 = 105 , 1 = 84 , 1 = 70 , 6 = 360 .2 4203 4204 4205 4206 4207 420显然，210+84+70=364 最接近 360．练习1. 2012.25 ⨯ 2013.75－2010.25 ⨯ 2015.75＝．（2013 年 18 届）2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ，…，而 1 = 2，所以从23 5 7 9 11 13 1000 20002001 【答案】7．【解答】记 x =2010.25，y = 2013.75，则原式= (x + 2) y - x ( y + 2) = 2( y - x ) = 7 ．练习2. 两数之和与两数之商都为 6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（）（2011 年 16 届）（A ） 26 4 （B ） 5 1 （C ） 6 （D ） 67 7 7 49 【答案】D ．【解答】设两数分别为 x 与 6x ，那么 7x =6，x = 6 ，所以这两个数分别为 6 与 36 ，两数之积为216 ，7两数之差为 30，216 - 30 = 6 ．7749749 7 49练习3. 若 a =2005 ⨯ 2006 , b = 2006 ⨯ 2007 , c = 2007 ⨯ 2008，则有()．2007 ⨯ 2008 2008 ⨯ 2009 2009 ⨯ 2010（A ） a > b > c （B ） a > c > b （C ） a < c < b （D ） a < b < c （2008 年 13 届） 【答案】D ．【解答】比较 a 与 b ，两边同时可以约掉2006，而2005<2007，所以 a < b ， 20082007 2009比较 b 与 c ，两边同时可以约掉 2007 ，而 2006 < 2008，所以 b < c ，故选D ． 2009 2008 2010练习4. 在 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11，…中，从开始，1 与每个数之差都小于 1 ．3 5 7 9 11 131000（2004 年 9 届）【答案】 1999 ．2001【解答】这一排分数与 1 的差分别为开始，就开始小于 11000，所以答案为 1999 ．2001例题3. 如图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC = CD = DB ，M 是 CD 的中点，H 是弦 CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12 平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．（2009 年14 届）MC DHA O N B【答案】2．【解答】如下图，可以利用等积变换变成一个扇形：MC DHA O B因为AC = CD = DB ，M 是CD 的中点，所以CM 是半圆弧的1，所以阴影扇形面积为半圆面积的1，6 6为2．例题4. 大正方形格板是由81 个1 平方厘米的小正方形铺成，B、C 是两个格点．若请你在其它的格点中标出一点A，使得△ABC 的面积恰好等于3 平方厘米，则这样的A 点共有个．（2010 年15 届）CB（A）6 （B）5 （C）8 （D）10【答案】C．【解答】方法一：从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10 条水平线，每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求．以此穷举法可以得到：第1 条水平线上没有格点符合要求，第2 条水平线上仅有A7 符合要求．如右图所示，类似可以得到格点A2，A1，A6符合要求，对称地，可以得到A ，A ，A ，A 符合要求．故答案是C．5 4 3 8方法二：先通过尝试找到A ，然后找到经过A ，而且平行于BC 的线，画出来，那么这条线经过的格1 1点都是符合要求的（等积变换），这样可以得到A ，A ，A ，A ，然后利用对称性，可以得到A ，A ，A 3 ，A8．故答案是C．2 1 6 7 5 4练习5. 正方形ABCD 的面积为9 平方厘米，正方形EFGH 的面积为64 平方厘米．如图所示，边BC 落在EH 上．已知三角形ACG 的面积为6.75 平方厘米，则三角形ABE 的面积为平方厘米．（2012 年17 届）【答案】2.25．【解答】如图：连接EG，由于AC 和EG 都是对角线，因此相互平行，所以三角形ACG 的面积等于三角形ACE 的面积，所以S△ABE =S△ACE-S△ABC=6.75 -4.5=2.25 ．练习6. 右图ABCD 是平行四边形，M 是DC 的中点，E 和F 分别位于AB 和AD 上，且EF 平行于BD．若三角形MDF 的面积等于5 平方厘米，则三角形CEB 的面积等于（）平方厘米．（2013 年18 届）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20【答案】B【解答】如右图，连接FC，BF，DE．因为M 是DC 的中点，三角形MDF 的面积等于5 平方厘米，所以由三角形面积公式可知：三角形CDF的面积等于10 平方厘米．两个三角形，同底等高，面积则相等．由此可知：由DC / / AB ，得△CEB 的面积=△BDE 的面积；由EF / /B D ，得△BDE 的面积=△BDF 的面积；由AD / /B C ，得△BDF 的面积=△C DF 的面积，所以三角形CEB 的面积等于10 平方厘米．练习7. 如右图所示，梯形ABCD 的面积为117 平方厘米．AD∥BC，EF = 13 厘米，MN = 4 厘米，又已知EF⊥MN 于O，那么阴影部分的总面积为平方厘米．（2011 年16 届）【答案】65．【解答】四边形 EMFN 的面积= 1⨯ EF ⨯ MN =26 ．（对角线相互垂直的四边形面积为对角线相乘再除2以 2），又根据蝴蝶模型， S △ABM =S △EFM ， S △DCN =S △EFN ，所以空白部分总面积为四边形 EMFN 的面积 的 2 倍，为 52，所以阴影部分总面积=117－52=65．练习8. 右图由 4 个正六边形组成，每个面积是 6，以这 4 个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为 4 的等边三角形有 个．（2011 年 16 届） 【答案】8．【解答】如图，将原图按三角形格线分割，于是我们要找的其实是由 4 个小正三 角形组成的正三角形，注意顶点必须六边形顶点，箭头朝上的有四个（如图）， 根据对称性，箭头朝下的也有 4 个，共 8 个．例题5. 如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦 AB 与小圆相切，且与直径平行，弦 AB 长12 厘米．图中阴影部分的面积是 平方厘米．（圆周率取 3．14）（2004 年 9 届）AB【答案】56.52．【解答】设大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，那么阴影部分面积为 1 π R 2 - 1 π r 2 = 1π ( R 2 - r 2 )，所以关 2 2 2 键是求出半径的平方差．如图，过大圆圆心作 AB 的垂线，连接圆心与 B 点，由勾股定理可得，62 + r 2 = R 2 ，所以 R 2 - r 2 = 36 ．A6 BrR那么阴影部分面积= 1⨯ 3.14 ⨯ 36=56.52 ．2例题6. 一个长方体的长、宽、高恰好是 3 个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的 2 倍，那么这个长方体的表面积是 ．（2007 年 12 届）（A ）74（B ）148（C ）150（D ）154【答案】B．【解答】设这三个连续的自然数分别为x－1，x，x＋1，那么可以列出方程：(x-1)x(x+1)=2(x-1+x +x +1)⨯ 4 ，化简后为：x(x2 -1)= 24x ，由于x 肯定不是0，所以两边同时约掉x 后，可得方程：x2 -1= 24 ，所以x = 5 ，这三个连续的自然数分别为4、5、6，那么表面积为：(4⨯5 +5⨯ 6 +4⨯6)⨯ 2=148 ．练习9. 如图所示，是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12 厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2 厘米，最多能露出4 厘米．则这个玻璃杯的容积为立方厘米．（取π= 3.14 ）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10”）（2006 年11 届）CA B【答案】226.08．【解答】沿AC 放置时，另一端沿吸管露出最少，为2 厘米，说明AC=12－2=10 厘米，沿BC 放置时，另一端沿吸管露出最多，为4 厘米，说明BC=12－4=8 厘米，根据勾股定理，AB2 = 102 - 82 = 36 ，所=9π⨯8=72π=226.08 ．以AB=6，底面半径为3，所以V杯练习10. 右图中，AB 是圆O 的直径，长6 厘米，正方形BCDE 的一个顶点E 在圆周上，∠ABE = 45︒．那么圆O 中非阴影部分的面积与正方形BCDE 中非阴影部分面积的差等于平方厘米（取π= 3.14 ）．（2013 年18 届）【答案】10.26【解答】因为∠ABE = 45︒，∠EAB 所对的圆弧和∠ABE 所对的圆弧弧度相等，且圆弧的直径相同，故∠EAB = 45︒，三角形ABE 是直角三角形．由勾股定理：2BE2 =AB2 = 62 = 36 （平方厘米），正方形BCDE 的面积＝BE2 =18 （平方厘米）．圆O 的面积－正方形BCDE 的面积＝（圆非阴影部分的面积+圆和正方形相交部分的面积）－（正方形BCDE 中非阴影部分面积+圆和正方形相交部分的面积）＝圆非阴影部分面积－正方形非阴影部分面积＝32 ⨯π-18 = 28.26 -18 =10.26 （平方厘米）．练习11. 图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）．（A）1，2 （B）2，3 （C）3，4 （D）4，5（2012 年17 届）【答案】D【解答】注意到展开图中不能出现“田”字结构，因此排除掉ABC，选D．练习12. 如图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB 的中点M 和BC 的中点N，减掉△MBN 得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD 纸片展开铺平后的图形是．（2006 年11 届）D C D CNNA MB A M【答案】D．【解答】注意对折方向，可以判断B 点是原正方形中心，因此是中心被掏空的形状，再注意减掉的形状是三角形，也就是展开后，横竖四等分以后，每一部分缺的都是三角形，结合这两点，答案为D．课后作业：1. 计算：⎡⎛0.8 +1 ⎫⨯ 24 + 6.6⎤÷9- 7.6 =（）．（2012 年17 届）⎢ 5 ⎪ ⎥14⎣⎝ ⎭ ⎦（A）30 （B）40 （C）50 （D）60【答案】B．【解答】原式= [1⨯ 24 +6.6]⨯14 - 7.6 = 30.6 ⨯14 - 7.6=47.6 - 7.6=40 ．9 92. 算式1 -27+ 2 ⨯ 0.3的值为．（2010 年15 届）0.25 + 3 ⨯1 1.3 - 0.44【答案】1 8．211 -2 5 3【解答】7 +2 ⨯ 0.3= 7 + 5 =5+2=18．0.25 + 3 ⨯1 1.3 - 0.441+39 7 3 214 4 103. 下面有四个算式：①0.6 + 0.133=0.733 ；②0.625= 5 ；8③ 5+3=5 + 3=8=1；14 2 14 + 2 16 2④3 3 ⨯ 4 1 =14 2 ．7 5 5其中正确的算式是（）（2009 年14 届）（A）①和②（B）②和④（C）②和③（D）①和④【答案】B．【解答】①式错，因为0.6 并不循环，②式对，③式错，不符合分数加法规则，④式对，因此选B．4. 题目中的图是一个正方体木块的表面展开图．若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7，则A、B、C 处填的数各是、、．（2004 年9 届）提示：注意相对两个面展开后的位置．C 2B 1A 4【答案】6、5、3．【解答】注意到，展开图中的形状，黑色两个面在合上后是相对的，所以在原图中，A 和1 相对，B 和2 相对，C 和4 相对，所以A=6，B=5，C=3．5. 如图，ABCD 是个直角梯形（∠DAB＝∠ABC＝90o）．以AD 为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36 平方厘米，连接BE 交AD 于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是平方厘米．（2006年11 届）提示：等积变换．（A）6.36 （B） 3.18 （C）2.12 （D）1.59 【答案】B．【解答】连接BD、AE，利用等积变换，S△PDC =S△PDB，所以S阴=S△EDB，再次利用等积变换，可以得到S△EDB =S△EDA，而三角形EDA 面积是长方形ADEF 的一半，为3.18，所以以S阴=S△EDB=S△EDA=3.18 ．6. 一块长方形的木板，长为90 厘米，宽为40 厘米，将它锯成2 块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？请画出分割线．（2004 年9 届）提示：阶梯形．【答案】如图，沿粗线剪开即可．．【解答】图形面积为90×40=3600 平方厘米，因此拼成的正方形边长为60 厘米，我们把这个图形画出来与原图形进行比较：3020两条边的差分别为30 和20，因此把90 厘米那边30 厘米一截，40 厘米那边20 厘米一截，分成6 块之后，稍作尝试即可．7. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．（A）0 （B）2（C）3 （D）4（2014 年19 届）【答案】C．【解答】当4 条直线都互相平行时，平面被分成5 个部分，不满足要求，因此最多只能3 条直线互相平行．构造：有3 条直线互相平行，另外一条直线与它们都互相垂直，此时平面被分成8 个部分．8. 如右图所示，AF = 7 cm，DH = 4 cm，BG = 5 cm，AE =1c m．若正方形ABCD内的四边形EFGH 的面积为78 cm2，则正方形的边长为（）cm．（A）10 （B）11 （C）12 （D）13（2014 年19 届）提示：类比弦图．【答案】C．【解答】用竖直线和水平线将正方形ABCD 分割为如右图所示的5 个长方形，中间长方形的面积是4⨯ 3＝12 ，所以，正方形的面积= (78-12)⨯ 2 +12＝144 ，正方形的边长是12．9. 如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的( )．提示：分割图形．（A）1 （B）2 （C）2 （D）52 3 5 12（2010 年15 届）【答案】A．【解答】由图可知，左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积，因此阴影部分的面积占平行四边形面积的1 . 2第二节数论、应用题精讲考点概述数论考点五、数的整除性相关知识六、质数合数七、约数与倍数八、余数问题应用题考点一、常考应用题类型（和差倍应用题，比例应用题，经济问题，浓度问题等）1. 画线段图帮助解题2. 列方程解应用题二、行程问题：1. 行程问题常见类型（相遇问题，追及问题，火车问题，流水行船问题，环形路线问题，多次相遇与追及问题等）2. 画线段图（形象直观地呈现题意，便于对题目条件进行分解与组合，挖掘隐含条件）3. 方程与比例解行程问题真题精讲例1．在一个圆周上有70 个点，任选其中一个点标上1，按顺时针方向隔一个点的点上标2，隔两个点的点上标3，再隔三个点的点上标4，继续这个操作，直到1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了2014 的点上标记的最小整数是．（2014 年19 届）【答案】5【解析】将70 个点中某个点为起始点，然后按顺时针方向依次将这70 个点记为第1 个，第2 个，第3 个，…，第70 个，用a 表示第a 个点上标记的数字是i．i i依题意a1= 1 ，a2 = 3 ，a3 = 6 ，a4 = 10 ，…，且按规律得：a 2014 =1+ 2 + 3 + + 2014 =2014 ⨯ 2015=202910522029105 = 28987 ⨯ 70 +15 ，而a5 = 15 ，因此第15 个点上标记的最小整数为5．例2．若a = 1515 15 ⨯ 333 3 ，则整数a 的所有数位上的数字和等于．（2008 年13 届）1004个15 2008个3（A）18063 （B）18072 （C）18079 （D）18054【答案】B【解析】a = 505 05 ⨯ 999 9 ，利用结论A⨯ 999 9 的数字和为9n ，可知a 的数字和为18072，选B．1004个5 2008个9 n个9练习1．恰有20 个因数的最小自然数是（）．（2010 年15 届）（A）120 （B）240 （C）360 （D）432【答案】B．【解析】因为20=2×10=4×5=2×2×5，因此，具有20 个因数的自然数的质因数分解形式只有19 ，⨯9 ，3 ⨯4 ，⨯⨯ 4 这4 种，对应类型的最小自然数分别为219 ，3⨯ 29 ，33 ⨯ 24 ，3⨯5⨯ 24 ，其中最小的是240，选B．练习2．在19、197、2009 这三个数中，质数的个数是（）．（2009 年14 届）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】质数判定，检验所有平方小于2009 的质数即可．练习3．若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（）．（2011 年16 届）（A）100 （B）101 （C）102 （D）103【答案】C【解析】最小连续4 个合数为24，25，26，27，它们之和为102．例3．一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180 只．有20%的狗错认为自己是猫；有20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫，那么狗有（）只．（2012 年17 届）（A）240 （B）248 （C）420 （D）842【答案】A【解析】设猫有x 只，狗有y 只，则认为自己是猫的动物共有80%x + 20% y 只，从而80%x + 20%y = 32%(x +y) ，可以得到4x =y ，再结合狗比猫多少180 只，可得x = 60 ，y = 240 ，从而狗有240 只，选A．例4．一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬，它每向上爬3 米，因为井壁打滑，就会下滑1 米，下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一．8 点17 分时，青蛙第二次爬至离井口3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．（2013 年18 届）（A）22 （B）20 （C）17 （D）16【答案】A【解析】记青蛙每向上爬行1 米，所用时间为t 分钟，则下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一，也为t 分钟．当青蛙刚爬至离井口3 米时，离井底9 米，所用时间是17 分钟．将2 米分为1 段，则一段所需时间为4t，第一次离井口3 米的时候是，向上爬了3 段之后再向上爬了3 米，第二次离井口3 米的时候是，向上爬了4 段之后再向上爬了1 米，此时总共花了17t 的时间，此时为8 点17，过了17 分钟，所以t=1，即每分钟1 米．向上爬出井口的时候，总共是向上爬了5 段，然后向上爬了2 米，总共花了22 分钟．练习5．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是( )cm．（2010 年15 届）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案】B．【解析】设剪下的长度为x cm，那么有：23 -x ≥ 2(15 -x) ，解得x ≥ 7 ，因此剪下的长度至少为7cm，选B．练习6．某次考试有50 道试题，答对一道题得3 分，答错一道题扣1 分，不答题不得分．小龙得分120 分，那么小龙最多答对了（）道试题．（2014 年19 届）（A）40 （B）42 （C）48 （D）50【答案】B【解析】得分120 分，说明至少需要答对40 道题，其余10 道题不答，满足题意．若答对41 道题，答错3 道题，其余题不答，此时得分也是120 分．若答对42 道题，答错6 道题，其余题不答，此时得分也是120 分．若答对43 道题，得分依然为120 分，需要再答错9 道题，此时至少需要有52 道题，52>50，因此不满足题意．解法二：设作对x 题，做错y 题，未答z 题，则有：3x - y =120, x +y +z = 50,合并两个等式，得到：4x =170 - z, x = 42 +2- z ，x 是非负整数，尽可能大，故z = 2, x = 42 ，即小4龙最多答对42 道试题．练习7．两个水池内有金鱼若干条，数目相同．亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33 条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3．那么每个水池内有金鱼（）条．（2010 年15 届）（A）112 （B）168 （C）224 （D）336【答案】B【解析】这是一道工程问题的变形，每个水池内有金鱼33 ÷ ( 5-3) =168 （条）．5 + 3 4 + 3解法2：可以认为是比例应用题，设亮亮第一次捞到3n 条，则红红第一次捞到4n 条，依题意，有3n + 33=5，解得n=24，因此水池内共有金鱼7n=168 条．4n - 33 3练习8．用若干台计算机同时录入一部书稿，计划若干小时完成．如果增加3 台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3 台计算机，则比原定时间多用5小时．那么原定完成录入这部书稿的时间是（）6小时．（2011 年16 届）（A）5 3【答案】A （B）103（C）56（D）116【解析】增加3 台计算机，则只需原定时间的75%，所以原先有9 台计算机；如果减少3 台计算机，则所需时间为原定时间的9=3，比原定时间多用了5小时，所以原定要5÷⎛3-1⎫=5小时．9 -32 6 6 2 ⎪ 32⎝ ⎭例6． 图中是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接 B 或者 C ．小圈轨道的周长是 1.5 米，大圈轨道的周长是 3 米．开始时， A 连接 C ，火车从 A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时 变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接．若火车的速度是每分钟 10 米，则火车第 10 次回到 A 点时用了 分钟．（2010 年 15 届）【答案】2.1【解析】根据条件，在小圈火车行驶一圈用时1.5 ÷10 = 0.15 分钟，在大圈火车行驶一圈用时3 ÷10 = 0.3 分钟．设回到 A 点时用时为 t 分钟，这样我们有下表：回到 A 的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 910到 A 点用时 0．3 0．6 0．9 1．2 1．35 1．5 1．65 1．8 1．95 2．1经过的轨道ACACACABABABABABABAC下面我们给出一个一般的解答：设玩具火车绕小圈轨道 m 圈，绕大圈轨道 n 圈，则玩具火车运动路程是 S = 1.5m + 3n ，时间是1.5m + 3n ．如果 ⎡1.5m + 3n ⎤ 是偶数，则变轨开关 AC 连通，如果 ⎡1.5m + 3n ⎤是奇数，则变轨开关 AC 10 ⎢ 10⎥ ⎢ 10⎥⎣⎦⎣⎦连通．我们寻找最小的 m + n ，使1.5m + 3n是偶数．无妨设 101.5m + 3n = 10K ，或 3m + 6n = 20K ，这里 K 是偶数，并且有 3 为约数，是玩具火车运动的时间，因此最小的 K 是 6．即求 m 和 n 使m + 2n = 40 ．12 当 n ＝3，S AA C = 2S ABC = 12 ，故开始玩具火车绕大圈轨道 4 圈之后进入小圈，时间是 10= 1.2（分钟）；当 n ＝4， m ＝5 时，⎡ 7.5 + 12 ⎤ = 1 ， ⎡ 9 + 12 ⎤= 2 ，故玩具火车绕小圈轨道 6 之后再次进入大圈轨道， ⎢ 10 ⎥ ⎢ 10 ⎥3⎣⎦ ⎣ ⎦此时1.5m + 3n＝1.5 ⨯ 6 + 3 ⨯ 4= 2.1 （分钟）（可以称为一个拟循环）1010将玩具火车再次进入大圈运行，运行圈数记为 n ． n ＝3 时， 1.5 ⨯ 6 + 3 ⨯ 7= 3 （分钟），玩具火车应2210当再次进入小圈运行，运行圈数记为 m ，既然1.5 ⨯ 7> 1 > 1.5 ⨯ 6，故玩具火车绕小圈运行 7 圈后，应 210 10再次进入大圈运行，此时 1.5m + 3n = 1.5 ⨯13 + 3 ⨯ 7= 4.05 （分钟）．10 10 将玩具火车再次进入大圈运行， 运行圈数记为 n ．既然1.5 ⨯13 + 3 ⨯11 > 5 > 1.5 ⨯13 + 3 ⨯10 ，10 10故玩具火车绕大圈运行 4 圈后，应再次进入小圈运行，此时1.5m + 3n = 1.5 ⨯13 + 3 ⨯11 = 5.25 （分钟）， 10 10则玩具火车绕大圈运行 5 圈后，1.5m + 3n = 1.5 ⨯18 + 3 ⨯11= 6 (分钟)． 10 10结论玩具火车第 29 次回到 A 时， 变轨开关 AC 连通，即回到原始状态．练习9. 4 个整数中任意选出 3 个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：4、6、 5 1 和 4 2，则原来给定的 4 个整数的和为．（2009 年 14 届）3 3 【答案】10【解析】设 4 个整数分别为 a 、b 、c 、d ，则有a +b +c +d = 4 、 a + b + d + c = 6 、a + c + d + b = 5 1、 3 3 3 3b +c +d + a = 4 2，四式相加可得 2(a + b + c + d ) = 20 ，从而 a + b + c + d = 10 ．3 3练习10. A 、B 、C 、D 、E 五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A →C ，B →E ，C →A ，D →B ，E →D ．开始时 A 、B 拿着福娃，C 、D 、E 拿着福牛，传递完5 轮时，拿着福娃的小朋友是（）．（2009 年14 届）（A）C 与D （B）A 与D （C）C 与E （D）A 与B【答案】A【解析】A 和C 之间的传递以2 为周期，B、E、D 之间的传递以3 为周期，所以5 轮之后，A 和C 之间的福娃最后在C 手中，B、E、D 之间的福娃最后在D 手中，所以最后拿着福娃的是C 与D．练习11. 某学校组织一次远足活动，计划10 点10 分从甲地出发，13 点10 分到达乙地，但出发晚了5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）．（2014 年19 届）（A）11 点40 分（B）11 点50 分（C）12 点（D）12 点10 分【答案】B【解析】从10 点10 分到13 点10 分共有3 个小时，比计划时间少用9 分钟，即每小时少用3 分钟，少用5 分钟的时候即是到达B 点的时间．此时需要5÷（3÷60）=100 分钟，即1 小时40 分钟，所以到达B 点的时间是11 点50 分．练习12. 甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，且在A，B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲车继续行驶4 小时到达B，而乙车只行驶了1 小时就到达A，则两车第15 次（在A，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了小时．（2012 年17 届）【答案】B【解析】设甲、乙的速度分别为V甲、V乙，则甲、乙相遇时，他们行驶的路程比为V甲:V乙；另一方面，第一次相遇后，甲车继续行驶4 小时到达B，乙车继续行驶了1 小时到达A，所以这两段的路程比也为V乙: 4V甲，从而V甲:V乙=V乙: 4V甲，进而有V甲:V乙= 1: 2 ，进而可以得到甲从A 到B 需要6 小时，乙需要3 小时，一个周期为12 小时且周期内相遇两次，7 个周期后，甲、乙相遇14 次，且分别回到A 和B，2 小时后，甲、乙第15 次相遇，总共用时7 ⨯12 + 2 = 86 小时．课后练习1. 任意写一个两位数，再将它依次重复3 遍成一个8 位数．将此8 位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是．（2004 年9 届）【答案】4【解析】abababab ÷ab =1010101，1010101 除以9 的余数为4．2. 2008006 共有个质因数．（2006 年11 届）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】C【解析】2008006 = 2 ⨯ 7 ⨯11⨯13⨯17 ⨯ 59 ．3. 小明所在班级的人数不足40 人，但比30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．（2014 年19 届）（A）2:3 （B）3:4 （C）4:5 （D）3:7【答案】D【解析】如果男、女生人数的比是2:3，那么全班人数一定是5 的倍数，男生14 人，女生21 人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:4，那么全班人数一定是7 的倍数，男生15 人，女生20 人，满足题意．如果男、女生人数的比是4:5，那么全班人数一定是9 的倍数，男生16 人，女生20 人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:7，那么全班人数一定是10 的倍数，但本班人数不足40 人，但比30 人多，所以男、女生人数的比不可能是3:7．4. 开学前6 天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60 道题，开学时，两人都完成了数学作业．在这6 天中，小明做的题的数目是小强的3 倍，他平均每天做（）道题．（2009 年14 届）y 7 ⎩（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15【答案】D【解析】这 6 天小明比小强多做了 60 道，平均每天多做 10 道，小明每天做题量是小强的 3 倍，所以 小强每天做 5 道，小明每天做 15 道．5. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为 9:7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7:5，那么盒子里原有的黑子数比白子数 多（ ）个．（2013 年 18 届）（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）8【答案】C【解析】设原有黑子数为 x ，白子数为 y ，得方程⎧ x - 1 = 9⎧7 x - 9y = 7⎪ ⎪ ⎪ ⎨x 7 即 ⎨⎪ = ⎪⎩ y - 1 5⎪5x - 7y = - 7由此解得x = 28 ， y = 21 ．故 x - y = 7 ．解法二：前后两次均取出一枚棋子，剩下棋子的总数不变，而 9 + 7 = 16 ，7 + 5 = 12 ，16 与 12 的最小 公倍数为 48 ，因此设取出一枚棋子后，剩下棋子的总数为 48 份．第一次余下的黑子数为 48 ÷ (9 + 7) ⨯ 9 = 27 份；第二次余下的黑子数为 48 ÷ (7 + 5) ⨯ 7 = 28 份；两次相差 1 份．而前后两次余 下的黑子数相差 1，因此 1 份对应 1 枚棋子．原有黑子 28 个，原有的白子数为 28 ÷ 7 ⨯ 5 + 1 = 21个， 黑子比白子多 28 - 21 = 7 个6. 水池 A 和 B 同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向 A 池注水，18 分钟可将无水的A 池注满；2 号阀门用来从 A 池向B 池放水，24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池．若同时打开 1 号和 2 号阀门，那么当 A 池水深 0.4 米时，B 池有（ ）立方米的水．（2013 年 18 届） 【答案】D【解析】由已知， 1 号阀门每分钟注入 1 18池水，而 2 号阀门放出 1 24池水．到A 池深 0.4 米时，正好在 A 池中留存了 1池水，31 ÷ ⎡ 1 -1 ⎤ = 24 (分钟)．⎣ ⎦3 ⎢18 24 ⎥故此时恰好放了24 分钟，正好把B 池放满，进而B 水池中有水3⨯ 2 ⨯1.2 = 7.2 （立方米）．7. “低碳生活”从现在做起，从我做起．据测算，1 公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14 吨．如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21 千克．某市仅此项减排就相当于25000 公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3 台空调计，该市家庭约有万户．（保留整数）（2010 年15 届）【答案】556【解析】25000⨯14⨯1000÷（21⨯3）≈5555555.6．8. 甲乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了米．（2014 年19 届）10080604020米/分5分10 15 20 25 30甲10080604020米/分分5 10 15 20 25 30乙【答案】300【解析】由图所示，前10 分钟，甲和乙速度相同；第10 分钟至第20 分钟，乙速度是100 米/分，甲的速度是80 米/分，故乙多走了200 米；第20 分钟至第25 分钟，甲乙速度相同；第25 分钟至30 分钟，乙的速度是80 米/分，甲的速度是60 米/分，故乙多走了100 米；乙共计多走了300 米．9. 甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇后，甲掉头返回A 地，乙继续前行．甲到达A 地后掉头往B 行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A 到B 共需小时．（2011 年16 届）【答案】7.2【解析】甲、乙相遇后，同时向B 行驶，甲先是花了3 小时到达A 地，然后甲掉头行驶了半小时和乙相遇，从而甲乙相遇后，乙行驶了3.5 小时，且这段路甲只需要2.5 小时，所以甲、乙的速度比为7:5，从而甲花了3 小时的这段路，乙需要3⨯ 7 ÷ 5 = 4.2 小时，所以乙从A 到B 共需3 + 4.2 = 7.2 小时．第三节数字谜、计数、组合精讲考点概述数字谜考点：竖式问题常用方法：（1）加数相加时每进1 位，和的数字和将比加数的数字和之和减少9．（2）与各个数位上的数字有关的问题，往往需要多次尝试才能得到结果．（3）与整除相关的问题，注意运用以前学过的整除知识．计数问题考点：1. 枚举法（有序、分类）2. 加乘原理（分类，加法；分步，乘法）3. 排列组合（排列，有序；组合，无序；常用方法，插空、捆绑、插板、排除等）4. 综合运用（结合几何、数论等知识）组合问题考点：1. 最值问题：（1）满足题目条件的情况不多时，可以用枚举法把可能的情况一一列举出来，再找出最大值或最小值．（2）两个数的和一定，当它们越接近时乘积越大．（3）极端思考与局部调整也是解决最值问题的常用方法．2. 逻辑推理、统筹对策、抽屉原理等．真题精讲。
2012年十七届华杯赛初赛中年级组详解(网络版含笔试公开题)
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷详细解答（小学中年级组网络版）（时间: 2012 年 3 月8 日19:30 ~ 20:30 ）一、选择题(每小题10分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.如下图，时钟上的表针从（1）转到（2）最少经过了（）.（A）2小时30分（B）2小时45分（C）3小时30分（D）3小时45分【解答】（1）中表所示时间是12：45，（2）表时间为15：30，经历了2小时45分2.在2012年，1月1日是星期日，并且（）.（A）1月份有5个星期三，2月份只有4个星期三（B）1月份有5个星期三，2月份也有5个星期三（C）1月份有4个星期三，2月份也有4个星期三（D）1月份有4个星期三，2月份有5个星期三【解答】1月份一共有31天，7天一个星期，周期为7，那么1月4日，1月11日，1月18日，1月25日，都是星期三，共4个，1月32日即2月1日，2月9日，2月169Y X D C B A + 日，2月23日，2月30日都是星期三，共5个3. 有大小不同的4个数，从中任取3个数相加，所得到的和分别是180, 197, 208和222. 那么，第二小的数所在的和一定不是（ ）.（A ）180 （B ）197 （C ）208 （D ）222【解答】四个数中任取3个，一共有4中取法，分别加起来得到和从小到大排列，那么缺少的数分别对应最小数，第二小数，第三小数和最大数，所以是2084. 四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面30米，丙在丁后面60米，乙在丙前面20米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ ）米.（A ）10 （B ）20 （C ）50 （D ）60【解答】丙 乙 甲 丁可以从图中看出在最前面的是甲和丁，相距10米5. 在右图所示的两位数的加法算式中, 已知22=+++D C B A , 则=+Y X （ ）.（A ）2 （B ）4 （C ）7 （D ）13 和180 197 208 222 缺少数 最大数 第三小数 第二小数 第一小数【解答】B+D=9，不可能是19，所以A+C=22-9=13，那么X=1，Y=3，X+Y=1+3=46.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有（）个.（A）12 （B）10 （C）8 （D）6【解答】如图所示二、填空题(每小题10 分，满分40分)7.如右图，用一条线段把一个周长是30 cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形. 如果小长方形的周长是16 cm，则原来长方形的面积是cm2.【解答】大长方形与小长方形的高相等高:(30-16)÷2=7厘米长:30÷2-7=8厘米面积:7×8=56平方厘米8.将10，15，20，30，40和60填入右图的圆圈中，使A, B, C三个小三角形顶点上的3个数的积都相等. 这相等的积最大为【解答】10=2×515=3×520=2×2×530=2×3×540=2×2×2×560=2×2×3×5因数2一共9个;因数3一共3个;因数5一共6个，中间三个圈里面的数,各乘了2次，三个乘积再相乘,等于原来6个数的乘积再乘上其中的三个数,结果是一个立方数因数5最多增加3个,有9个因数3最多增加3个,有6个因数2最多增加3个,有12个乘积最大为53×32×24=180009.用3, 5, 6, 18,23这五个数组成一个四则运算式，得到的非零自然数最小是 .【解答】(23-3)÷5-18÷6=110.里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城. 县城离里山镇54千米. 早上8:30一辆客车从里山镇开往县城，9:15到达，停留15分钟后开往省城，午前11:00能够到达. 另有一辆客车于当日早上9:00从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米. 那么两车相遇时, 省城开往里山镇的客车行驶了分钟.【解答】8:30—9:15,一共45分钟=0.75小时9:30—11:00,一共1.5小时9:00—9:30,一共30分钟=0.5小时县城与省城相距:189-54=135千米第一辆客车从县城出发以后的速度为每小时:135÷1.5=90千米第一辆客车从县城出发时,省城开出的客车已经行了0.5小时,行程为:60×0.5=30千米两车相遇还需: (135-30)÷(90+60)×60=42分钟省城开出的客车一共行了:42+30=72分钟11.（笔试公开题）北京时间16时, 小龙从镜子里看到挂在身后墙上的4块表, 如下图,其中最接近16时的是（）.（A）（B）（C）（D）【解答】从镜中看到的时间与原来钟表中时间左右对称，时间分别为：。
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b n 2 3b 3n 2a 2n n 2a 3b
a n 3
3. 有两个体积之比为 5:8 的圆柱, 它们的侧面的展开图为相同的长方形, 如果把该长方形的长和宽同
时增加 6, 其面积增加了 114. 那么这个长方形的面积为
.
【考点】几何，立体
【难度】☆☆☆☆
a : b 8 : 5 a 8
联立
8 5 40 .
a b 13 b 5
4. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲粮库调 90 袋到乙粮库, 则乙粮库存粮的袋数是
甲粮库的 2 倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库, 则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的 6 倍．那么甲粮
第十七届华杯赛高年级组决赛试题 A 卷
（时间: 2012 年 4 月 21 日 10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
1. 算式 10 10.5 5.2 14.6 9.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5 的值的 20 倍为
6. 张兵 1953 年出生，在今年之前的某一年, 他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和，那
么这一年他
岁.
【考点】数论，整除
【难度】☆☆☆
【答案】18
2
【分析】这一年的各位数字和为 9 的倍数，只能为 18 或 27，即张兵那年 18 岁或 27 岁 若张兵 18 岁，则这一年为1953 18 1971 ，其中1 9 7 1 18 符合要求； 若张兵 27 岁，则这一年为1953 27 1980 ，其中1 9 8 0 18 不符合要求；
：
符合要求
28 157 4396
可见，最小的四位数为 4396
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 如右图, ABCD 是平行四边形, E 为 AB 延长线上一点, K 为 AD 延长线上一点. 连接 BK, DE 相交于
一点 O. 问: 四边形 ABOD 与四边形 ECKO 的面积是否相等? 请说明理由.
3
【考点】几何，基本方法 【难度】☆☆☆☆ 【答案】相等 【分析】如下图，设四边形 ABOD 面积为 x ，四边形 ECKO 面积为 y ，三角形 EBO 的面积为 a ；
设 ABCD 的面积为 S ，连接 AC； 1
则有 y a SEBKC SBCE SBCD SBCE S ； 2 1
3
7
7a+90≤18a a≥9 （7a+90）min =153
5. 现有 211 名同学和四种不同的巧克力, 每种巧克力的数量都超过 633 颗. 规定每名同学最多拿三颗 巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组, 则人数最多的一组至少有 名同学.
【考点】组合，计数&抽屉原理 【难度】☆☆☆☆ 【答案】7 【分析】同学拿巧克力的颗数有 0、1、2、3 四种，对应取出的巧克力种类：
春光明媚 所代表的四位数最小是
.
【考点】组合，数字谜&最值 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】4396
0 0 0 【分析】分析 9 余，只有 3 6 0 三种情况符合要求；
1 4 4
研究1 2
：18 297 5346 符合要求
研究 2 1
27 198 5346
库原来最少存有
袋的粮食.
【考点】应用题&组合，最值
【难度】☆☆☆☆
【答案】153
16 【分析】两粮库粮食总量一定，两次调动后甲粮库粮食分别占总量的 和 ，可设粮食总袋数为 21a ，
37
1
6
则甲的袋数 21a 90 7a 90 ，从乙调出若干袋到甲后，甲粮库的数量为 21a 18a
取 0 颗，有 1 种情况； 取 1 颗，有 4 种取法； 取 2 颗，2 颗相同有 4 种取法，2 颗不同有 C42 6 种取法，共 10 种；
取 3 颗，3 颗相同有 4 种取法，2 颗相同有 4 3 12 种取法，3 颗不同有 C43 4 种取法，共 20 种. 则同学们拿到的巧克力种类和数量的搭配方式共1 4 10 20 35 种； 211 35 61 ，人数最多的一组至少有 7 人.
.
【考点】计算
【难度】☆☆
【答案】186
【分析】原式=10 _ 10.5 5.2 （14.6 _ 9.2）_ 5.4 3.7 + 4.6 1.5
=10 _ 10.5 （5.4 1.5 + 4.6 1.5） =10 _ 10.5 15 =9.3 9.3 20=186
2. 箱子里已有若干个红球和黑球, 放入一些黑球后, 红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后,
【答案】40
2
2
a
b
【分析】设长方形的长宽分别为
a
和
b
；则两个圆柱体积分别为：
2
b
和
2
a
2
2
a b
则有
2
b
:
2
a a:b 8:5；
1
另根据面积增加 114 可知： (a 6)(b 6) ab 114 a b 13 ;
7. 右图是一个五棱柱的平面展开图, 图中的正方形边长都为 2. 按图所示数据, 这个五棱柱的体积等
于
.
【考点】几何，立体
【难度】☆☆
【答案】7 【分析】底面积为： 22 11 3.5 ，高为 2，则体积为 3.5 2 7
2
8. 在乘法算式 草绿 花红了 春光明媚中, 汉字代表非零数字, 不同汉字代表不同的数字, 那么
红球的数量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里的黑球与红球数量的
比值为
.
【考点】应用题，比例
【难度】☆☆
【答案】 2 :1
【分析】设开始的黑球红球分别有 a 个和 b 个，每次放入 n 个球；
b 1
则有：
a
b
n
4
4b
abnn3b
a
3b a 2a 3b a 2b a : b 2 :1