结构力学结构的稳定计算.

即：(l sinl cosl)A (l cosl sinl)B 0
0 1 0 0 0
1 于是： 0 (l sinl cosl)

(l cosl sinl)
3、 展 开 、 整 理 后 ， 得 定 稳方 程 ： tgl
1 l
4、 解 稳 定 方 程 ， 得 ： pcr 2 EI 0.74
P eP P
Δ
B
A
Pe
Pc r
O
C
P
Δ
(a) 偏心受压杆
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
第14章
14.2
确定临界荷载的静力法和能量法
x
一、临界状态的静力特征
1、体系失稳前在弹性阶段工作
（1）应力、应变成线性关系。 （2）挠曲线近似微分方程成立。
y M EI
M 0,
0
或 ：EIy M
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第14章
第14章 结构的稳定计算
14.1 两类稳定问题概述
一、结构设计应满足三方面的要求 1、强度 2、刚度 3、稳定性 二、基本概念 1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态 转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称 “失稳”。 2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中 间状态（中性平衡状态）。 3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
EI l2
第14章
例14-1 试求图示结构的临界荷载。
p
C
pcr

pcr
l l
B
EI
x M(x) x y
EI
A
y
解： 1、建立坐标系、取隔 离体、写平衡方程
M p( y ) (1)
将 M EIy 代入式（ 1）： EIy py p
令 p , EI 则：y 2 y 2 (2)
2、 边 界 条 件 ： （1）x 0 （2）x 0 （3）x l y 0 y 0 y Δ- y l 1 A 0 B 1 Δ 0 0 A B 0 Δ 0
xl
y A sin x B cos x
1 α sin l A cos l B ( cos l A sin l B ) l
解为： y A cos x B sin x y A sin x B cos x
y
令
式（ 2）为常 系数二 阶非齐 微分 次 方程，其解 ： y A cos x B sin x
由边界条件确定微分方 程中的常数：
x 0 y 0 x 0 y 0 x l y 0 1 A 0 B l R 0 p R 0 A α B 1 0 p
R (l x ) p
稳定方程（特征方程： ） D 1 0 0

l 1 0 0
cos l si n l
R cosαl A sinl B 0 0 p
l cos l sin l 0 tg l l
第14章
tg l l
左式为“超越方程”
pcr pcr R
解：建立坐标系、取隔 离体、写平衡方程
M p y R (l x ) (1)
l-x
EI
l
y
M(x)
x
x
将 M EIy 代 入 式 （ 1） ： EIy py R( l x )
p , EI 则：y 2 y R (l x ) ( 2) EI
1、定义 假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相 应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。 2、步骤 （1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。 （2）列静力平衡方程。 （3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界 条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。
第14章
3、举例
p
（1）试求图示结构的临界荷载。
第14章
三、结构失稳的两种基本形式
1、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质 上的突变，带有突然性。
P
P>Pc r P
l
l l/2
Δ
C B P2
Pc r A P1 O
D D'
Δ
(a)直线平衡状态
(b) 弯曲平衡状态
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
第14章
2、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式， 但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构 不能正常工作。
解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）：
给初值后，代入方程，计 算tg l l , 使其逐渐逼近于零，从 而求得 。
2、图解法：
以l为自变量，分别绘出z= l和z=tg l的图形，求大于零的第一个交点， 确定l。
z
z tg l
z l
将 l 4.493代 入 pcr 2 EI
5 2
2 EI EI 得 ：pcr 4.4932 EI 20.19 2 l (0.7l )2
2
0
3 2
4.493
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2
l
第14章
例14-1 试求图示结构的临界荷载。
p
C
pcr

pcr
l l
B
EI
x M(x) x y y
EI
A
解： 1、建立坐标系、取隔 离体、写平衡方程 M p( y ) (1) 将 M EIy 代 入 式 （ 1） ： EIy py p p 令 , 则：y 2 y 2 (2) EI 解为： y A cos x B sin x
2、采用小挠度理论分析
y
（1）无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载值 是相同的。
（2）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而 小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。
3、静力特征
临界荷载具有“平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状 态过渡到不稳定状态的极限状态。
第14章
二、静力法