微专题2三角形中的最值问题(含答案)

微专题2 三角形中的最值问题

例1 如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，AD ＝DC ，BD ＝3，则△ABC 面积的最大值为________．

(例1)

变式 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cosC cosA

. (1) 求角A 的大小；

(2) 当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围．

1. 求解最值问题时，要注意三角形内角和为π这一限制条件．例如，若△ABC 是锐角

三角形，则0π2

，sinA>cosB ，sinB>cosC. 2. 求解最值问题的关键在于将三角函数f (x )进行正确地“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f (x )

的最值．同时要注意两边之和大于第三边等隐含条件．

3. 求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围，也可利用基本不等式求范围．

1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为

32a ，则c b ＋b c

取得最大值时内角A 的值为________． 2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋42＝c 2，ab ＝4，则sinC tan 2Asin2B

的最小值是________． 3. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，则△ABC 的面积的最大值为________．

4. 如图，已知半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则四边形OACB 的面积S 的最大值是________．

(第4题)

5. 已知△ABC 的面积为S ，且BA →·BC →＝6S 7

，则sin 2A ＋sin 2C 的取值范围是________． 6. 已知△ABC 的周长为6，且BC ，CA ，AB 成等比数列，则BA →·BC →的取值范围是________．

7. 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝

⎛⎭⎫2x －7π6. (1) 求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；

(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f (A)＝32

，b ＋c ＝2，求实数a 的最小值．

8. 在锐角三角形ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，3a ＝2csinA.

(1) 若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值；

(2) 求△ABC 的周长的取值范围．

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