必修四三角函数的图像与性质题型归纳

三角函数的图像与性质题型归纳
【知识点1 正弦曲线、余弦曲线】
1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2.图象
【知识点2 正弦函数、余弦函数的图象和性质】
函数 正弦函数y ＝sinx
余弦函数y=cosx
定义域 R R 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性
最小正周期2π
最小正周期2π
单调区间
增区间]2222[πππ
π+-
k k ，；减区间]2
3222[π
πππ++k k ， 增区间[]22k k πππ-，
减区间[]22k k πππ+，
最值点
最大值点(2,1)2
k π
π+；最小值点(2,1)2
k π
π-
-
最大值点()21k π，
最小值点()2,1k ππ+-
对称中心
()0k π，
(,0)2
k π
π+
对称轴
2
x k π
π=+
x k π=
【知识点3 正弦型函数和余弦型复合函数的性质】
函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -； （3）单调区间
求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．
比如：由)(2
22
2Z k k x k ∈+
≤+≤-π
πϕωπ
π解出x 的范围所得区间即为增区间，
由 )(2
322
2Z k k x k ∈+
≤+≤+π
πϕωπ
π解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性
正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性． ①对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2
k k z π
ϕπ=±∈时为偶函数； ②对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2
k k z π
ϕπ=±∈时为奇函数．
（5）周期
函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期为2T π
ω
=．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数sin y x =比较可知，当()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈时，
函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈解出，其对称中心的横坐标
()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
． 同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由
()2
x k k z π
ωϕπ+=±
∈解出．
【知识点4 正切函数的图象】 正切函数R x x
y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”
1．定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， 2．值域：R
由正切函数的图象可知，当()2
x k k z π
π<
+∈且无限接近于
2
k π
π+时，tan x 无限增大，记作
tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）
；当()2
x k k z π
π>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x
趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2
x k k z π
π=+
∈为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 【知识点5 正切型复合函数的性质】
1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2
x k k z π
ωϕπ+≠+∈解得x ．
2. 值域：(),-∞+∞ 3．单调区间：（1）把“
x ωϕ+”视为一个“整体”；
（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2
y x x k k z π
π=≠+
∈的相同（反）
；（3）解不等式，得出x 范围． 特别注意：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2
k k z π
ϕ=
∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||
T πω=．
题型梳理
(一) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的定义域 例1．（2019·浙江高一期中）函数1
tan 2
4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是（ ）
A.{|2,}2
x x k k Z π
π≠+∈
B.{|4,}2
x x k k Z π
π≠+∈
C.{|,}28
k x x k Z ππ
≠
+∈ D.{|,}8
x x k k Z π
π≠+
∈
【解析】令x+（k ∈Z ），解得：x
（k ∈Z ），
故函数的定义域为{x|x
，k ∈Z}
例2．（2019秋•安福县校级期中）函数22(2cos 21)y x lg x =-+的定义域为 ．
【答案】解：∵函数2
2(2cos 21)y x lg x =-+，∴2202cos 210x x ⎧-≥⎨+>⎩
，即
22
1
cos 22
x x ⎧≤≤⎪
⎨>⎪⎩． 化简可得 22
22222,33x k x k k Z ππ
ππ⎧-≤≤⎪
⎨+>>-∈⎪
⎩
，解得33x ππ-<<． 【变式训练1】．（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）函数tan 2y x =的定义域为___________________
【解析】由于正切函数tan y x =为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，
解不等式()22
x k k Z π
π≠
+∈，得()24
k x k Z ππ
+≠
∈， 因此，函数tan 2y x =的定义域为2,4k x x k Z ππ
⎧⎫+≠
∈⎨⎬⎩⎭
， 故答案为：2,4k x x k Z ππ
⎧⎫+≠
∈⎨⎬⎩⎭
. 【变式训练2】．（2018·福建高一月考）函数2sin(2)1y x π=-- ）
A.5{|22,}66x k x k k Z π
πππ+
≤≤+
∈ B.5{|,}66x k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈
C.2{|22,}33x k x k k Z ππππ+≤≤+
∈ D.5{|,}1212
x k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈
【解析】要使函数有意义，则2sin （π﹣2x ）﹣1≥0，即sin2x≥12
， 则2kπ+
6π≤2x≤2kπ+56π，k ∈Z ，则kπ+12π≤x≤kπ+512
π，k ∈Z ， 即函数的定义域为5{|,}1212
x k x k k Z ππππ+≤≤+∈.故选：D ． (二) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的值域
例3．（2019·黑龙江鹤岗一中高一期末（文））在[]0,2π上，满足sin x ≥
的x
的取值范围是( ) A ．0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．5,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ C ．5,6π⎡⎤
π⎢
⎥⎣⎦
D ．2,33ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【解析】∵[0，2π]上，满足sin x ≥
x 的取值范围：3π≤x 23π≤．故选：D ．
例4．设a 为常数，且1,02a x π>≤≤，则函数()2
cos 2sin 1f x x a x =+-的最大值为（ ） A. 21a - B. 21a + C. 21a -- D. 2a
【解析】()()2
222cos 2sin 11sin 2sin 1sin ,f x x a x x a x x a a =+-=-+-=--+， 02,x π∴≤≤
1sin 1x ∴-≤≤，又1a >，所以最大值在sin 1x =是时取到， ()()2
2max 121,f x a a a ∴=--+=-综上
所述，故选B .
【变式训练1】．（2019·宁夏高一期末）函数()sin 0y b a x a =+<的最大值为1-，最小值为5-，则
()tan 3y a b x =+的最小正周期为______.
【解析】令[]sin 1,1t x =∈-，所以y at b =+，由于0a <，所以y at b =+在[]1,1-上单调递减，即有
15
b a b a -=-⎧⎨
+=-⎩，解得2,3a b =-=-，()tan 3tan(9)tan9y a b x x x =+=-=-，故最小正周期为9T π
=. 【变式训练2】．（2018·北京高一期末）已知函数()πf x 2sin x .6⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
()
I 若点(P 1,在角α的终边上，求：cos α和πf α6⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值；
()II 若ππ
x ,32⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦
，求()f x 的值域．
【解析】（1）因为点(P 1,在角α的终边上，所以sin α=1cos 2α=.
所以2sin 2sin 666f πππααα⎛
⎫
⎛
⎫-
=-+== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭（2）令6
t x π
=+
，则原函数化为()2sin g t t =.因为,32x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，所以263t ππ-≤≤， 注意到sin y t =在,62ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦单增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单减，且max 2sin 222y g ππ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，
而2sin 166g ππ⎛⎫⎛⎫-
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222sin 13
3g π
π⎛⎫
==>- ⎪
⎝⎭
，即()f x 的值域为[]1,2-.
【变式训练3】．（2019·济南市历城第二中学高一期中）已知函数()),4
f x x x R π
=-∈.
(1)求函数()f x 得单调增区间；(2)求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最值. 【解析】 (1)由2224
k x k π
-π+π≤-≤π，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调区间是3,88k k k Z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
.
(2)∵,82x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，cos(2)42x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
∴max ()f x =min ()1f x =-.
(三) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的单调性 例5．函数tan 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调递增区间是______. 【答案】3,,2828k k k ππππ⎛⎫
-+∈
⎪⎝
⎭Z 【解析】令2,2
4
2
k x k k π
π
π
ππ-
<+
<+
∈Z ，解得
328k x ππ-< ,28
k k ππ<+∈Z . 例6.（2019·浙江高一期末）函数()sin 2x 4f x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为_____；单调递增区间为_______．
【解析】因为()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，所以222T W πππ===， 因为3222,()2
4
2
8
8
k x k k x k k Z π
π
π
π
π
ππππ-
+≤-
≤
+⇒-
+≤≤
+∈， 所以增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
【变式训练1】．（2018·
浙江高一期中）函数y =
_______，值域为_______.
【解析】由题意，可知sin 0x ≥，根据正弦函数图象，得()()221k x k k Z ππ≤≤+∈，即函数y 的定义
域为()()2,21k k k Z ππ+∈⎡⎤⎣⎦，此时0sin 1x ≤≤，则函数y 的值域为[]01
，，从而问题可得解. 【变式训练2】．（2019·宁夏高一期末）函数()sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调减区间为（ ） A ．5,()36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
Z B ．,()63k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z
C ．5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z
D ．5,()63k k k ππππ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦
Z 【解析】
sin y x =的单调减区间为32,2()22ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ， 3222()2
62π
π
π
ππ∴
+-
+∈k x k k Z ,解得5()36
ππππ++∈k x k k Z ∴函数的单调减区间为5,()36k k k ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
Z .故选A . 【变式训练3】．若函数sin y a b x =-的最大值为3
2，最小值为12
-． （1）求a ，b 的值；
（2）求函数sin y a x =-取得最大值时的x 的值； （3）请写出函数sin y a x =-的图象的对称轴．
【解析】（1）因为11sinx -≤≤,所以当0b >时，有3,2
1,2a b a b ⎧
+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
解得121.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
当0
b<时，有
2
1
2
a b
a b
-=
⎪⎪
⎨
⎪+=-
⎪⎩
，
，
解得
1
2
1.
a
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
（2）由（1）知
1
2
a=，所以函数
1
sin sin
2
y a x x
=-=-，所以当
π
2π()
2
x k k
=-∈Z时，函数sin
y a x
=-
取得最大值．
（3）函数
1
sin sin
2
y a x x
=-=-，所以其图象的对称轴方程为
π
π()
2
x k k
=+∈Z．
(四) 五点法画函数图像
例7.（2018·内蒙古一机一中高一月考（理））已知函数
（1）用五点法作出函数的简图；
（2）写出函数的值域与单调区间.
【解析】（1）列表如下：
3 5 3 1 3
（2）由上图可知函数的值域，
当，即当时为增函数.
当，即当时为减函数.
函数的单调增区间为：（），减区间为：
【变式训练1】．已知函数
π
()2sin2
6
f x x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
．
（1）求函数()
f x的最小正周期及其单调递减区间；
（2）用“五点法”画出函数()
y f x
=在
7π5π
,
1212
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上的图象（列表并作图），由图象研究并写出()
y f x
=的
图象在区间,1212-
⎢⎥⎣
⎦上的对称轴和对称中心． 【解析】（1）最小正周期2π
π2T ==．由ππ3π2π22π()262
k x k k +++∈Z ， 得π2π
ππ()63
k x k k +
+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为π2ππ,π()63k k k ⎡
⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦
Z ． （2）列表如下，
从图象上可以直观看出，函数()y f x =的图象在区间7π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有—个对称中心π,012⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，无对称轴． （五）求正弦函数 余弦函数以及正切函数的周期
例8.（2019·北京高考模拟）已知函数sin y x ω=(0)ω>在(0,)4
π
上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围为____．
【解析】因为函数sin y x ω=(0)ω>在(0,)4
π
上有最大值，没有最小值， 所以，只需
3242πππωω
<≤，解得26ω<≤.故答案为26ω<≤ 例9.（2019·浙江高二期中）设函数()2sin 24f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则函数()f x 的最小正周期为______；单调递增
区间为______. 【解析】
2ω=，222
T π
ππω
∴=
=
=，由222242k x k πππ
ππ-+-
+，k Z ∈， 得38
8
k x
k π
π
ππ-
++，k Z ∈，故答案为：(1). π (2). 13,,88k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
例10.（2019·永昌县第四中学高一期末）函数1
3tan 2
4y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
【解析】由题意可知，函数1
3tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的最小正周期212
T π
π==，故选：D.
【变式训练1】．（2019·湖南武冈市第一中学高一期中）下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =
B ．sin y x =
C ．tan
2
x
y = D ．cos 4y x =
【解析】A 选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误； B 选项，根据函数的图像得函数的最小正周期为π，所以该选项正确；
C 选项，函数的最小正周期为=21
2
π
π
，所以该选项错误；
D 选项，函数的最小正周期为2=42
ππ
，所以该选项错误.故选：B
【变式训练2】．（2019·广东高一期末）下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =
B ．cos y x =
C ．1
sin
2
y x = D ．cos 2y x =
【解析】对于选项A, sin y x =的最小正周期为2π,
对于选项B, cos y x =的最小正周期为2π, 对于选项C, 1
sin 2
y x =的最小正周期为4π, 对于选项D, cos 2y x =的最小正周期为π, 故选D. （六）奇偶性 对称轴与对称中心
例11.（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理））函数()2sin()2
f x x π
=+在其定义域上是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既非奇函数也非偶函数
D ．不能确定
【解析】函数()2sin()2
f x x π
=+
2cos x =，此时函数为偶函数，故选：B.
例12.（2019·天水市第一中学高一期末（文））函数3sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
图像的一条对称轴方程为（） A ．3
x π
=-
B ．3
x π
=
C ．6
x π
=
D ．6
x π
=-
【解析】依题意有2,6
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得,32
k
x k Z π
π=
+∈ ，故选B 【变式训练1】．（2019·云南高一期末）已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A.
是
的一个周期
B.
C.
的值域为R
D.
的图象关于点对称
【解析】A ．的最小正周期为，所以是
的一个周期，所以该选项正确；
B. 所以该选项是错误的；
C. 的值域为R ，所以该选项是正确的；
D.
的图象关于点
对称,所以该选项是正确的.故选：B
【变式训练2】．（2019·湖南高一期末）函数图像的一个对称中心是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】由题得,所以，所以图像的对称中
心是．当k=1时，函数的对称中心为.故选：B
【变式训练3】．（2019·辽宁高一期中）函数()tan()6
f x x π
=+的图象的一个对称中心是（ ）
A ．(
,0)3
π
B ．(
,0)4
π
C ．(
,0)2
π
D ．(
,0)6
π
【解析】由正切函数的对称中心(
,0),()2
k k Z π
∈可以推出()f x 对称中心的横坐标满足 ()6262k k x x k Z ππππ+=⇒=-+∈，带入四个选项中可知，当1k =时，3x π=.
故,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是图像的一个对称中心，选A. （七）求正弦函数 余弦函数以及正切函数的综合应用
例13.（2019·山西高一期中）函数3cos 24y x =+()x R ∈是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为2π的奇函数
【解析】2T π
πω
=
=，()3cos(2)43cos 24()f x x x f x -=-+=+=，所以函数最小正周期为π，是
偶函数，因此本题选A.
例14.已知函数()2cos 44f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
.
(1)求函数()f x 的最大值以及相应的x 的取值集合；
(2)若直线x m =是函数()f x 的图像的对称轴，求实数m 的值. 【解析】 (1)∵()2cos 44f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，∴()f x 的最大值为2，此时42,4
x k k π
π-
=∈Z ，
∴所求x 的取值集合为|()16
2k x x k π
π⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩
⎭
Z . (2)令4()4
x k k π
π-=∈Z ，则()416
k x k ππ
=
+∈Z .∵直线x m =是函数()f x 的图像的对称轴， ∴()416
k m k ππ
=
+∈Z . 【变式训练1】．（2016·天津高一期末）给出下列五个命题： ①函数
的一条对称轴是
；②函数
的图象关于点（,0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数； ④若，则
，其中；
⑤函数
图像与直线
有且仅有两个不同的交点，则取值范围为
.
以上五个命题中正确的有 （填写所有正确命题的序号） 【解析】①将
代入可得函数最大值,为函数对称轴；②函数
的图象关于点
对称,包括点
；③
,③错误；④利用诱导公式
,可得不同于
的表达式；⑤对进行讨论,利用正弦函数图象,得出函数与直线
仅有有两个不同的交点，则
．故答案应填①②⑤.
【变式训练2】．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是4π，则ω=______，若335f πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则cos θ=______ .
【解析】根据周期的公式2||T πω=
，所以221
42
T ππωπ=
==， 则：13sin()cos 326325f πππθθθ⎛
⎫
+
=++== ⎪
⎝
⎭，27cos 2cos 1225
θθ=-=-由于
四、迁移应用
1.（2019春•南湖区校级月考）已知函数()2sin(2)13
f x x π
=--的定义域为 ．
【答案】{}7,4
12
x k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈ 2.（2019秋•黄冈期末）函数sin cos y x x =+的定义域是 ． 【答案】2,2,2k k k Z πππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭
． 3.（2019秋•射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[
6
x π
∈，
2]3
π
的值域 ． 【答案】415,
8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
4（2019春•淄博校级月考）函数3sin 3sin x
y x
-=
+的值域为 ．
【答案】1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
5.（2019•上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23
π
为最小正周期．
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间． 解：（1）f （x ）＝3sin （3x +
）．
（2）对称轴方程为,312k x k Z ππ=
+∈．增区间为22,,3
4312k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢
⎥⎣⎦． 6.（2018秋•嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π
=-+∈的最小值为1．
（Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． 【答案】∴m ＝3．,6
x k k Z π
π=-∈．
（Ⅱ）π，增区间为,,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
．
7.（2019春•郑州期末）已知函数()sin()(04
f x x π
ωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．
（Ⅰ）求3(
)4
f π； （Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π
-
，]2
π
上的图象．
解：（1）2
-
；（2）画出函数在区间上的图象如图所示：略 8.判断下列函数的奇偶性：
（1）()2f x x ；（2）33()sin(
)42
x f x π
=+；
（3）()f x =． 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数，也是偶函数． 9.判断下列函数的奇偶性． （1）1sin cos ()1sin cos x x
f x x x
--=
++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．
解：（1）非奇非偶函数；（2）偶函数． 10.求2cos(2)6y x π
=-单调性对称轴对称中心．
【答案】增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦．减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦． 对称中心为,0212k ππ⎛⎫+
⎪⎝⎭
． 11.变式训练1：求函数的对称轴，对称中心
（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123
f x x π
=-+．
解：（1）对称轴方程为：128x k ππ=
-，对称中心1
,0,2
8k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
（2）对称中心52,1,3k k Z ππ⎛
⎫+
∈ ⎪⎝
⎭，对称轴方程为：22,3
x k k Z ππ=+∈ 13.（2019春•靖远县期末）已知函数1()2cos()212
f x x π
=+．
（1）求()f x 的单调递增区间（2）求不等式()1f x >的解集． 解：（1）单调递增区间为134,4,66Z k k k Z ππππ⎡⎤
--+∈⎢⎥⎣⎦
； （2）不等式的解集为544,62
k x k k Z ππ
ππ-
+<<+∈．
14.（2019秋•福建月考）已知函数())4f x x π-，[,]82x ππ
∈-
（1）求函数()f x 的单调区间．
（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ
-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．
解：（1）单调递增区间为,88ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦；单调减区间为,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
（28
x π
=
，最小值为1-，此时2
x π
=
．
15.已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2
π
，值域为[5-，1]．
（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π
=--的最小值并求出对应x 的集合．
解：（1）2,1;2,7a b a b =-===-（2）略． 16.已知函数23
()sin cos 2
f x x a x =+-
，a R ∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；
（2）对于区间[0，)2π
上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．
解：（1）14-
；（2）实数a 的取值范围是5,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦．。