实变函数论文

实变函数课程报告

实变函数

【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n 维欧式空间为基地，重点内容是Lebesgue 测度和积分的理论，而Lebesgue 外测度是Lebesgue 积分的基础，本文主要论述了Lebesgue 外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。 【关键词】Lebesgue 外测度，测度，可测集，可测函数

1.引言

在19世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann 积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题，为了克服Riemann 积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel 建立了一维Borel 点集的测度，法国数学家Lebesgue 在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论—Lebesgue 积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般σ代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家Caratheodory 关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用）。Riemann 积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann 可积函数类之外，Lebesgue 积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设

)(x f 在],[b a 上有界，满足M x f m <<)(，任给0>δ，作分割

M

y y y m n =<<<= 10

其中，δ<--1i i y y ，并作点集

.,2,1},)(:{1n i b x a y x f y x E i i i =≤≤<≤=-

则对应于上面分割的积分和为

||1

1

∑=-n

i i i E y

,其中||i E 为点集i E 的长度，这种积分的优点在

于可以取δ很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann 可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类。积分和计算的关键是点集i E 的度量，对于通常的区间i E 的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到

在n R 中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue 外测度与测度理论。Lebesgue 外测度是对n R 中一般的点集E 给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue 积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue 外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。

2.Lebesgue 外测度

2.1 Lebesgue 外测度定义

Def 1：设n R E ⊂。若}{k I 是n R 中的可数个开矩体，具有k k I E 1

≥⊂ ，则称}{k I 为E 的

一个L —覆盖，我们称}}{|:|inf{1

*

覆盖—的为L E I I

m k k k

∑≥=为点集E 的Lebesgue 外测

度。

2.2 R n 中点集的外测度性质

（1）非负性：0,0*

*=∅≥）（m

E m （2）单调性：若21E E ⊂，则)()(2*

1*E m E m ≤

（3）次可加性：∑∞

=∞

=≤1

*1

*)()(k k k k E m E m

证明： 0>∀ε，k E ∃的L—覆盖}{k I ，使得 l k l k I E ,1

∞

=⊂ ，

k

k l l

k E m I

2

)(||*1,ε

+

<∑∞

=

∴ l k k k k I E ,1

1

∞=∞

=⊂ ，

∑∑∞

=∞

=+≤1

*1

,,)(||k k l k l

k E m I

ε

显然，},2,1,:{, =l k I l k 是k k E ∞

=1

的L—覆盖，从而有ε+≤

∑∞

=∞

=1

*

1

*

)()(k k

k k E m E m 。由ε的

任意性可知结论成立。

（4）距离可加性：设1E ，2E 是n R 中的点集，若它们的距离0)(21>E E d

)()()(2*1*21*E m E m E E m +=

证明： )()()(2*1*21*E m E m E E m +≤ 显然成立

∴ 只要证明)()()(2*1*21*E m E m E E m +≥ 即可。

设∞<)(21*

E E m ，对0>∀ε，作21E E 的

L—覆盖}{k I ，使得

ε+<∑∞

=)(||21*1

E E m I k k ，其中k I 的边长都小于

n

E E d )

(21，现将}{k I 分为如下两组： （ⅰ） ik k i i J E J J 1

121,,≥⊂ （ⅰ） lk k l l J E J J 1

221,,≥⊂

且其中任一矩体皆不同时含有1E 与2E 中的点

∴ )()(||||||)(2*1*1

1

1

21*

E m E m J J I E E m k lk k ik k k +≥+=>+∑∑∑∞

=∞=∞=ε

∴ 由ε任意性可知)()()(21*2*1*E E m E m E m ≤+

综上知 )()()(2*

1*21*E m E m E E m +=

（5）平移不变性：设n

R E ⊂，n

R x ∈0，令},{}{00E x x x x E ∈+=+，则

)(}){(*0*E m x E m =+

证明： E 的任一L—覆盖}{k I 经过0x 的平移后，}}{{0x I k +仍是}{0x E +的L—覆盖

∴ )(|||}{|}){(**1

1

00E m I x I x E m k k k k ==+≤+∑∑∞

=∞

=，即 )(}){(**0E m x E m ≤+

同理若对}{0x E +作向量0x -平移，

则有 }){(}){}{(0*00*x E m x x E m +≤-+，即 }){()(0*

*x E m E m +≤ 综上知 )(}){(*

0*E m x E m =+

3.可测集与测度

3.1 可测集与测度定义

Def 2：设n R E ⊂，若对任意的点集n

R T ⊂，有)()()(*

*

*

c

E T m E T m T m +=，

则称E 为Lebesgue 可测集，简称可测集，其中T 称为试验集，可测集的全体称为可测集类，简记为U 。对于可测集E ，其外测度称为测度记为)(E m ，也就是通常所说的n

R 上的Lebesgue 测度。

证明：对0>∀ε，T ∃的L—覆盖}{k I ，使得∑∞

=≥

+1

*

||)(k k

I

T m ε