数学苏教版必修3教学案：第1部分 第3章 3.3 几何概型

观察下面两个试验：

(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是7：00至7：10分之间的任何一个时刻．

(2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆200 km2的区域，而主着陆场为方圆120 km2的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的．

问题1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？

提示：无限个．

问题2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？

提示：是均等的．

问题3：上述两试验属古典概型吗？

提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个．

问题4：能否求两试验发生的概率？

提示：可以求出．

1．几何概型的定义

对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

2．几何概型的计算公式

在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，

则事件A发生的概率P(A)＝d的测度

D的测度

．

这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．

1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．

2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性．

[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长大于AC 的长的概率．

[思路点拨] 在AB 上截取

AC ′＝AC ，结合图形分析适合条件的区域可求概率． [精解详析] 设AC ＝BC ＝a ， 则AB ＝2a ，

在AB 上截取AC ′＝AC ， 于是P (AM >AC )＝P (AM >AC ′) ＝

BC ′AB ＝AB －AC

AB ＝2a －a 2a

＝2－22. 即AM 的长大于AC 的长的概率为2－22.

[一点通]

在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中确认边界是问题的关键．

1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________． 解析：P ＝3－1.5

3－1＝0.75.

答案：0.75

2．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[1

2，2]上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率

为________．

解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x 0∈[1

2，2]，

∴x 0∈[1，2]，从而由几何概型概率公式知所求概率 P ＝2－12－12＝23.

答案：23

[例2] (湖南高考改编)

如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________．

[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．

[精解详析] 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π， 则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2

π

.

[答案]

2π

[一点通]

解决此类问题的关键是：

(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何特征计算相关面积．

3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，

靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm ，运动员在70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为________．

解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为1

4×π×1222 cm 2的大

圆内，而当中靶点落在面积为1

4×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生

的概率P (B )＝1

4

π×12.2214

π×1222＝0.01.

答案：

0.01

4．如图，平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆O 相碰的概率．

解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域d )时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为8×10－π×2280＝1－π

20

.

[例3] (12分)用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．

[思路点拨] 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率．

[精解详析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm. (3分)

设R ＝3，r ＝1，

则区域D 的体积为V ＝4

3πR 3， (5分)

区域d 的体积为V 1＝43πR 3－4

3πr 3. (7分)

∴P (A )＝V 1V ＝1－(r R )3＝1－127＝26

27. (10分)

故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为26

27. (12分)

[一点通]

如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算

P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积

.

5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．

解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故区域d 为棱长为10的正方体，P (A )＝103303＝127

.

答案：1

27

6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M- ABCD 的体积小于1

6

的概率为________．

解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则 V M-ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，S 底ABCD ＝1，∴h ＝1

2.

∴只要点M 到平面ABCD 的距离小于1

2

.

所有满足点M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以ABCD 为底面，高为h (h ＜1

2)的长

方体，又正方体棱长为1.

∴使棱锥M -ABCD 的体积小于1

6的概率P ＝121＝12

.