平面解析几何知识点总结

基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系;

②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③.掌握圆的标准方程和一般方程.

④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用;

⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.

1直线方程的五种形式

点斜式：)(00x x k y y -=-， (斜率存在)

斜截式：b kx y += (斜率存在) 两点式：1

21121x x x x y y y y --=--，(不垂直坐标轴) 截距式：

1=+b y a x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式：0=++C By Ax

2.直线与直线的位置关系：

（1）有斜率的两直线l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2； 有：①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1；

③l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2 且b 1=b 2。

（2）一般式的直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0 有：①l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0；且B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交⇔ A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合⇔ A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。

3.点与直线的位置关系：

点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2200B A C

By Ax d +++=。

平行直线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0之间的距离为222

1B A C C d +-=

两点间距离公式：12||PP =

.4直线系方程

①过直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线系方程为：A 1x+B 1y+C 1+λ（A 2x+B 2y+C 2）=0（λ∈R ）(除l 2外)。 ②过定点00(,)M x y 的直线系方程为)(00x x k y y -=-（其中不包括直线0x x =）

③和直线0=++C By Ax 平行的直线方程为'0Ax By C ++=(')C C ≠

④和直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为'0Bx Ay C -+=

5.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等.

6.圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，其中r 为圆的半径，(a ，b)为圆心。

(2)一般式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)，其中圆心为(,)22D E -- (3) 参数方程:cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x .消去θ可得普通方程

（4）A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)为直径的圆: (x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0;

（5）.过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：

i) x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，表示过圆与直线交点圆的方程

ii) x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1)；表示过两圆交点的圆的直线方程

（1-=λ时121212()()0D D x E E y F F -+-+-=一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C 2）

（6）二元二次方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件: A=C ≠0，B=0 ，D 2+E 2-4AF>0。

7. 点P(x 0,y 0)与圆的位置关系:代入方程222()()()f x x a y b r =-+--（或22

()f x x y Dx Ey F =++++）看符号.

①点P 在圆上00(,)0f x y ⇔=②点P 在圆外00(,)0f x y ⇔>③点P 在圆内00(,)0f x y ⇔<

8.直线与圆的位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：（用几何法更具有直观性）

（1）代数法（判别式法）:Δ>、=、<0时分别相离、相交、相切。

（2）几何法，圆心到直线的距离d>、=、

9．切线方程：

圆222x y r +=上点M （x 0,y 0）的切线方程：200x x y y r +=（或0000()()0x x x y y y -+-=） 过圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上点M （x 0,y 0）的切线方程：（x 0-a ）(x-a)+(y 0-b)(y-b)=0.（或0000()()()()0x a x x y b y y --+--=）

10．切线长公式：d == =

11．弦长求法：（1）几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则d 2+(l /2)2=r 2.

（2）解析法：用韦达定理，弦长公式。

12．圆与圆的位置关系：看|O 1O 2|与r 1+r 2和|r 1－r 2|的大小关系。

特别提示:解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.

13.①中积最小

过00(,)P x y 的直线与坐标轴在P 所在的象限围成的三角形AOB(A,B 为直线与轴的交点)面积最小的时当且仅当P 为线段AB 中点，此时（1）横截距02a x =,纵截距02b y =

（2）min 002||S x y =

（3）直线方程：00

122x y x y += ②以11(,)A x y 和22(,)B x y 为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

③点（线、圆）与圆的距离的最值问题 min max ;d d r d d r =-=-=+=+心距半径心距半径 心距指点（直线或圆心）与圆心之间的距离